应用时间序列分析习题标准答案

1、.第二章习题答案2.1（1）非平稳（2） 0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376 （3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图2.2（1）非平稳，时序图如下（ 2） - （ 3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图.2.3（ 1）自相关系数为：0.20230.0130.042-0.043-0.179-0.251-0.0940.0248-0.068-0.0720.0140.1090.2170.3160.0070-0.0250.075-0.141-0.204-0.2450.0660.0062-0.139-0.

2、0340.206-0.0100.0800.118（ 2）平稳序列（ 3）白噪声序列2.4lb=4.83 ， lb 统计量对应的分位点为0.9634 ，p 值为 0.0363 。显著性水平=0.05，序列不能视为纯随机序列。2.5（1）时序图与样本自相关图如下.（ 2） 非平稳（ 3）非纯随机2.6（ 1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：（ 2）差分序列平稳，非纯随机第三章习题答案3.1解： e( xt )0.7 e(xt 1)e( t )(10.7)e( xt )0(10.7b） xttarma(1,2) ）e( xt )0xt(1 0.7b) 1t(1 0.7b 0.72 b 2) tva

3、r ( xt )1121.960820.4920.490210223.2解：对于 ar（2）模型：1102112121120112解得：17 / 151 / 1520.50.33.3解：根据该 ar(2)模型的形式，易得：e( xt )0原模型可变为： xt0.8xt 10.15 xt 2t.var ( xt )1222 )(12 )(12 )(111(10.15)(1(10.15)0.82 =1.982320.80.15)(10.15)11 /(12 )0.6957111211200.4066222312210.2209333.4解：原模型可变形为：0.69570.150(1 b cb 2

4、) x tt由其平稳域判别条件知：当 | 2| 1， 211 且 21 1时，模型平稳。由此可知 c 应满足： | c | 1， c1 1且 c11即当 1c0 时，该 ar(2)模型平稳。3.5 证明：已知原模型可变形为：(1 bcb 2cb 3 ) xtt其特征方程为：32cc(1)(2c)0不论 c 取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。3.6 解：（ ）错，0var(xt)2 /(112 ) 。1（2）错，e( xt)( xt1)11012/(112 ) 。（ ）错，?l。3xt (l )1 xt（4）错， et (l )t lg1tl 1g2tl 2gl1t12l1t l1

5、t l 11t l 21t 1（5）错，lim var xt l?(l )lim var et (l )lim1112l 212。xt22lll11113.7 解： 11111412112211ma(1) 模型的表达式为：xttt1 。3.8 解法 1：由 xt = + t1t 12 t 2 ，得 xt 1 = + t 11 t 22 t 3 ，则.xt 0.5xt 1 =0.5+ t( 1 0.5) t 1( 2 0.5 1 ) t 2 +0.5 2 t 3 ，与 xt =10+0.5 xt1 + t0.8 t 2 +c t 3对照系数得0.510,20,10.5010.5,20.5 10.

6、8 ，故20.55, 。0.52cc0.275解法 2：将 xt10 0.5xt1t0.8 t2ct 3 等价表达为xt2010.8b2cb3t10.5b10.8b2cb3(10.5b0.52 b2 0.53 b3l ) t展开等号右边的多项式，整理为10.5b0.52 b20.53 b30.54 b4l0.8b20.80.5b30.80.52 b4lcb 30.5cb 4l合并同类项，原模型等价表达为xt2010.5b0.55b20.5k (0.530.4c )b3k tk0当 0.530.4 c0时，该模型为ma(2) 模型，解出 c0.275 。3.9 解： e( xt )0var (

7、xt )(122)21.652121121221120.980.59391.65220.40.2424k 0， k 3 。1221.65123.10 解法 1：（1） xttc( t 1t 2)xt 1t 1c ( t 2t 3)xttxt 1t 1xt 1t (c 1) t 1ct 1c.即(1b) xt1(c1)b t显然模型的 ar部分的特征根是1，模型非平稳。（ 2）ytxtxt 1t(c1) t 1 为 ma(1)模型，平稳。11c12c22c211（ 1）因为var (xt )lim(122，所以该序列为非平稳序列。解法 2：kc)k（ 2） ytxtxt1t(c1) t1 ，该序

8、列均值、方差为常数，e( yt )0,var ( yt )1(c1)22自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关1c1,k0, k2(c1)21所以该差分序列为平稳序列。3.11 解：（1） |2 | 1.21，模型非平稳；11.37382-0.8736（ 2） |2| 0.31， 210.8 1， 2110.620.5（ 3） |2| 0.31， 210.6 1 ， 211.41，模型平稳。1.21，模型可逆。10.45 0.2693i20.45 0.2693i（ 4） |2|0.41， 210.91 ， 211.71，模型不可逆。10.25692 -1.5569（ 5） |1 |0.

9、71，模型平稳；10.7|1|0.61，模型可逆；10.6（ 6） |2|0.51， 210.31， 211.31，模型非平稳。10.41242-1.2124.| 1 | 1.11，模型不可逆；11.1 。3.12 解法 1： g01， g11g010.60.30.3 ，gk1gk 11k1g10.30.6k 1, k2所以该模型可以等价表示为：xtt0.30.6kt k 1 。k0解法 2： (10.6b)xt(10.3b)txt(10.3b)(10.6b0.62 b 2)t(10.3b0.3* 0.6b20.3* 0.62 b3)tt0.3* 0.6 j1t jj 1g01， g j0.3

10、* 0.6 j 13.13解： e ()xt 3(b)t(1 0.5)2(xt)3beee(xt ) 12 。3.14证明：已知11 ， 11 ，根据 arma(1,1) 模型 green 函数的递推公式得：24g01， g11g010.50.2512 ， gk1gk11k1g11k 1, k 20122 j325gj gj 111111224571j0j111110.27212( j1)4124261111gj112j 0j 11gj gj kg j1 gj k 1gj gj k 1j0j0j 0k 1 , k2kg2jgj21g2j1j 0j 0j03.15（ 1）成立（ 2）成立（ 3）

11、成立（ 4）不成立.3.16解：（1） xt100.3* ( xt 110)t ，xt9.6?(1)e( xt 1 )e10 0.3* (xt10)t19.88xt?(2)e( xt 2 )e10 0.3* (xt1 10)t2 9.964xt?(3)(xt 3)10 0.3* (xt 210)t 39.9892xtee已知 ar(1)模型的 green 函数为： g j1j， j1，2，et (3)g0g1 t2g2 t 12t 3t 31 t21t 1var et (3)(10.320.09 2 ) * 99.8829xt3 的95的置信区间： 9.9892-1.96*9.8829 ，9.

12、98921.96* 9.8829 即 3.8275,16.1509（2） t1xt 1x?t (1)10.59.88 0.62?1(1) e( xt 2 )0.3* 0.629.96410.15xt?(2)e( xt 3 )0.09 * 0.629.989210.045xt 1var et2 (2)(10.32 ) * 99.81xt 3 的95的置信区间：10.045-1.969.81 ， 10.045 1.96* 9.81 即 3.9061,16.1839。3.17（ 1）平稳非白噪声序列（ 2） ar(1)(3) 5年预测结果如下：3.18（ 1）平稳非白噪声序列（ 2） ar(1)(3

13、) 5年预测结果如下：.3.19（ 1）平稳非白噪声序列（ 2） ma(1)(3) 下一年 95%的置信区间为（ 80.41,90.96 ）3.20（ 1）平稳非白噪声序列（ 2） arma(1,3) 序列（ 3）拟合及 5 年期预测图如下：第四章习题答案4.1解：x?t 11 ( xtxt 1xt 2xt 3 )4?1?xtxt 15xt551xt 3xt 2( xt 1xt 2 )xt 1xt 2164161616所?5以，在 xt 2 中 xt 与 xt 1 前面的系数均为 16 。4.2 解 由%xt(1%xt) xt 1x%1x(1) x%tt 1t代入数据得.x%t5.255(1)

14、5.265.5(1)x%t解得x%t5.10.4(舍去1的情况 )4.3解：（ 1）x?1xxxxx1）(20（21191817 + 16 )513+11+10+10+12 =11.25?1?x19x18x17 )1）（x22( x21+x20511.2+13+11+10+10 =11.045%0.4xt%?%（ 2）利用 xt0.6xt1 且初始值 x0x1 进行迭代计算即可。 另外，x22x21x20 该题详见 excel 。 11.79277（ 3）在移动平均法下:?1x20119x 215xi5 i 16?1?1x 201 19x 225x 215x i5 i 171116a55255

15、在指数平滑法中 :?%x22x21x200.4 x20 0.6x19b0.4b a 0.460.16。254.4解：根据指数平滑的定义有（1）式成立，（ 1）式等号两边同乘(1) 有（ 2）式成立x% t(t 1)(1)(t2)(1) 2(t2)(1)3l(1)t(1)x%t(1)(t1)(1) 2(t2)(1)3l(2)t（1） - （ 2）得.%2t(1)(1) lxt%2lt(1 )(1)xtt1%t1则 lim xtlim1 。tttt4.5该序列为显著的线性递增序列，利用本章的知识点，可以使用线性方程或者holt两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。4.6 该序

16、列为显著的非线性递增序列， 可以拟合二次型曲线、 指数型曲线或其他曲线， 也能使用 holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。4.7本例在混合模型结构，季节指数求法， 趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，结果仅供参考（1）该序列有显著趋势和周期效应，时序图如下（ 2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化，所以尝试使用加法模型拟合该序列： xtttsti t 。（注：如果用乘法模型也可以）首先求季节指数（没有消除趋势，并不是最精确的季节指数）0.9607220.9125751.0381691.0643021.1536271.1165661.0

17、42920.9841620.9309470.9385490.9022810.955179消除季节影响， 得序列 ytxtstx ，使用线性模型拟合该序列趋势影响（方法不唯一） ：tt97.701.79268t ， t 1,2,3, l（注：该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率）.得到残差序列i txtst xyttt ，残差序列基本无显著趋势和周期残留。预测 1971年奶牛的月度产量序列为)?109,110,l,120xtttsmod t 12 x,t得到771.5021739.517829.4208849.5468914.0062889.7989839.9249800.

18、4953764.9547772.0807748.4289787.3327（ 3）该序列使用 x11 方法得到的趋势拟合为趋势拟合图为.4.8 这是一个有着曲线趋势 , 但是有没有固定周期效应的序列 , 所以可以在快速预测程序中用曲线拟合（ stepar ）或曲线指数平滑（ expo）进行预测（ trend=3 ）。具体预测值略。第五章习题5.1拟合差分平稳序列, 即随机游走模型xt =xt -1 + t , 估计下一天的收盘价为2895.2拟合模型不唯一，答案仅供参考。拟合 arima(1,1,0) 模型，五年预测值为：5.3arima (1,1,0)(1,1,0)125.4 (1)ar(1)

19、， (2)有异方差性。最终拟合的模型为xt =7.472+ tt =-0.5595 t -1 +vtvt =ht etht =11.9719+0.4127vt2-15.5(1)非平稳（ 2） 取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模型ar(1， 3) 所以拟合模型为ln xarima (1,3),1,0)（ 3）预测结果如下：.5.6原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性。第六章习题6.1单位根检验原理略。例 2.1 原序列不平稳，一阶差分后平稳例 2.2 原序列不平稳，一阶与 12步差分后平稳例 2.3 原序列带漂移项平稳例 2.4 原序列不带漂移项平稳例

20、 2.5 原序列带漂移项平稳 ( =0.06) ，或者显著的趋势平稳。6.2（ 1）两序列均为带漂移项平稳（ 2）谷物产量为带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合ar（ 2）疏系数模型。（ 3）两者之间具有协整关系（ 4） 谷物产量 t23.55210.775549降雨量 t6.3（ 1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征，两个序列均为非平稳序列。但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。即 yt -xt -2 为平稳序列。（ 2）被掠食者拟合乘积模型：arima (0,1,0)(1,1,0)5 , 模型口径为 :15 xt = 1+0.92874 b5t拟合掠食者的序列为：yt

21、=2.9619+0.283994 xt -2 +t -0.47988 t -1未来一周的被掠食者预测序列为：forecasts for variable xobsforecaststd error95% confidence limits4970.792449.4194-26.0678167.652650123.835869.8895-13.1452260.816751195.098485.596827.3317362.865152291.637698.838797.9173485.357953150.0496110.5050-66.5363366.63555463.5621122.5322-

22、176.5965303.7208.5580.3352133.4800-181.2807341.95115655.5269143.5955-225.9151336.96905773.8673153.0439-226.0932373.82795875.2471161.9420-242.1534392.64755970.0053189.8525-302.0987442.109460120.4639214.1559-299.2739540.201761184.8801235.9693-277.6112647.371462275.8466255.9302-225.7674777.4606掠食者预测值为：forecasts for variable yobsforecaststd error95% confidence limits4932.769714.72