No.1检测与估计的基本理论--.ppt

1、第一章统计接收中信号检测与估计的基本理论,本章讲授的提纲,1-1 引言 1-2 简单实例 1-3 双择检测及其最佳准则 1-3-1 贝叶斯准则 1-3-2 最小错误概率准则和最大后验概率准则 1-3-3 极大极小化准则 1-3-4 纽曼-皮耳孙准则 1-4 多元信号检测及最佳准则,本章讲授的提纲,1-5 随机参量信号的检测 1-5-1 贝叶斯准则 1-5-2 纽曼-皮尔孙准则 1-6 误差的定义和分类 1-7 信号参量估计的性能 1-7-1 无偏性 1-7-2 一致性 1-7-3 充分性 1-7-4 优效性 1-7-1 克拉美-罗不等式 1-8 信号参量估计基本原理 2-6-1 经典估计方法

2、2-6-2 贝叶斯估计 2-6-3 最大后验估计 2-6-4 最大似然估计,1-1引言,通信与测量系统（包括雷达系统）的基本任务，就是在噪声背景下检测信号的存在并估计信号的参量。在统计学上，都是属于统计决策问题，我们希望所做出的判决平均看来引起的信息损失最小。 本节先讨论统计判决的简单实例,然后阐述目前常用的各种统计判决准则，最后讨论信号检测与估计的基本理论。,1-1引言,首先，用s表示信息传输系统发送端的真实状态，即信号空间的元素。它可能表示信号的存在与否。 对于检测问题，s可能有n个状态，用s1,s2,sn表示。 对于参量估计问题，s有无限个状态,如一个实数区间a,b。 为了讨论方便，假定

3、s仅有n个状态，且每个状态发生的概率为P(si)，称为先验概率。 类似地，用x表示观测结果，即输入空间的元素。由于信道存在噪声干扰，x与s一般是不同的。设x有m种状态，表示为x1,x2,xm。由于噪声的随机性，m应为无限多个，但为讨论问题的方便，暂时假定m是有限的。,1-1引言,定义： Pij=P(xi|sj) 发送端状态为sj条件下观测结果为xi的概率,条件概率矩阵,(1-1),1-1引言,为了完整描述判决过程，还需了解由于判决错误所引入的损失。 dk：认定发送端为sk的判决，即判决空间D的元素。 cki：当si为真而判决为dk（认定发送端为sk）引入的损失或代价。于是损失矩阵(或代价矩阵)

4、为：,代价矩阵,统计判决的实质是寻求一种最佳的判决规则dk，使决策引入的平均代价达到极小。这种决策过程称为Bayes(贝叶斯)判决,(1-2),1-2 简单实例,例1. 当发送端真实状态仅有两种时，即: s1: s(t)=s1(t) 和s0:s(t)=s0(t)，则变为双择检测问题，此时，最佳接收机的任务是根据输入信号x(t)，判定s1(t)和s0(t)哪一个存在。在统计学上，这相当于判决两个假设H1和H0之一为真的问题，这两个假设表示为：,于是，双择检测问题实质上就是二元假设检验问题。,1-2 简单实例,与一般决策问题的符号相同: d1表示做出假设H1为真的判决(这种判决不一定正确) d0表

5、示做出假设H0为真的判决(这种判决不一定正确) 假定观测结果x仅有m种状态：x1,x2,xm 。于是，在双择检测情况下，条件概率矩阵式（1-1）变为：,代价矩阵 (1-2)变为：,1-2 简单实例,如果已知接收端输入为xi (i=1,2,),而作出判决为d1 ,则平均代价显然为：,r(d1|xi)=C11P(H1|xi)+C10P(H0|xi),式中，根据Bayes定理有：,上式中，P(Hj)为假设Hj发生的先验概率，P(Hj|xi)为xi已知条件下Hj发生的后验概率,1-2 简单实例,同样，已知接收端输入为xi (i=1,2,)，而作出判决为d0 则平均损失显然为：,r(d0|xi)=C01

6、P(H1|xi)+C00P(H0|xi),r(d0|xi)与r(d1 | xi)表示已知输入为xi条件下，判决为d0与d1的平均代价，Bayes准则要求总的平均代价即平均风险达到最小，总平均代价定义为上述条件代价对所有xi再平均。,1-2 简单实例,显然，只要每次判决都根据低的条件代价给出，即 对于特定输入xi，如果满足：,则总能使平均风险为最小。于是r(d0|xi)r(d1|xi)可等效为（根据Bayes定理和两个代价的式子）：,1-2 简单实例,：假定H1和H0成立的条件下，接收端为xi的条件概率比，简称似然比。,于是，判决过程变为求出特定输入的似然比，然后与一门限0比较。如果0，则H1为

7、真，反之，则H0为真。,1-3双择检测与最佳准则,从判决理论的最简单情况双择检测开始研究： 此时，信息发送端只有两种状态，对应于两种假设H1和H0。在数字通信中，s1(t)可能代表“1”码的波形，s0(t)代表“0”码的波形。 双择检测问题实质上是对输入空间X进行对分，即划分为区域D1和D0。,双择检测问题是：如何判决区域D1和D0的划分，使判决在 某种意义下最佳。Bayes准则就是规定D0和D1的划分，应使 平均风险最小。,1-3双择检测与最佳准则,一、贝叶斯准则 前节的定义： Cij：Hj为真，却选择了Hi的代价。对于双择检测，i, j只能为0或1。 C10：表示本来无信号而判为有信号的代

8、价，即虚警代价。 C01：漏报代价 C00、C11：表示正确判决的代价，通常假定为零。,1-3双择检测与最佳准则,假设H1为真的条件下，作出判决的平均代价称为假设H1下的条件代价，记为r1： r1=P(D0|H1)C01+P(D1|H1)C11 假设H0为真的条件下，作出判决的平均代价称为假设H0下的条件代价，记为r0： r0=P(D0|H0)C00+P(D1|H0)C10 因为事先不知道H1或 H0为真，所以总平均代价即平均风险应等于各条件代价按其先验概率进行平均，即： R =P(H0)r0+P(H1)r1=P(H0)P(D0|H0)C00+P(D1|H0)C10+ P(H1)P(D0|H1

9、)C01+P(D1|H1)C11 （1）,1-3双择检测与最佳准则,Bayes准则要求这样地确定判决区域D0和D1，使平均风险R达到极小，这个极小化的风险称为Bayes风险。 现在将Bayes准则化为似然比准则： 由于这里仅研究双择检测，有 P(D0|H1)=1- P(D1|H1) P(D0|H0)=1- P(D1|H0) 将这些关系式代入平均风险表达式（1）得： R =P(H1)C01 + P(H0) C00 + P(H0) (C10 - C00 ) P(D1|H0)- P(H1)(C01 C11 ) P(D1|H1) (2),1-3双择检测与最佳准则,上式中，虚警概率和检测概率可以表示为：

10、 虚警概率：P(D1|H0)=D1p(x|H0)dx 检测概率：P(D1|H1)=D1p(x|H1)dx,R=P(H1)C01+P(H0)C00+D1P(H0)C10-C00p(x|H0)-P(H1)(C01-C11) p(x|H1) dx,其中，似然函数：p(x|H0)=p(x1,x2,xn|H0)， p(x|H1)=p(x1,x2,xn|H1)， 分别表示 H1、 H0条件下 接收波形样本的n维概率密度函数，称为似然函数,将虚警概率和检测概率代入（2），于是得到：,Bayes准则要求我们这样选择判决区域D1，使式中R达到极小。由于该式中前两项与判决区域D1的选择无关，因而要求第三项积分式达

11、到最小。由于被积函数可能为正，也可能为负，为了使积分达到最小，只要选择区域D1使被积函数总为负或零就能达到。,1-3双择检测与最佳准则,选择H1的判决区域D1应满足：,上式经过简单代数运算得到 ：,结论：Bayes意义下的最佳判决如下图,(3),1-3双择检测与最佳准则 Bayes准则应用举例,解：,计算0：,计算(x)：,代入判决规则：,确定区域划分：,1-3双择检测与最佳准则,二、最小错误概率准则和最大后验概率准则 1）最小错误概率准则 Bayes准则：需要知道 (a)H1、 H0先验概率,(b)各个代价因子难以确定此时采用上述两种准则。 1.最小错误概率准则 ：对于二元通信，常常假定C0

12、0= C11 =0, C01 = C10 =1 ，于是平均风险R与平均错误概率Pe相等，即R =P(H0) P(D1|H0) + P(H1) P(D0|H1)=Pe 这意味着，当两类错误代价相等时，要使R最小，也就是使Pe最小。,R=P(H0)r0+P(H1)r1=P(H0)P(D0|H0)C00+P(D1|H0)C10 +P(H1)P(D0|H1)C01+P(D1|H1)C11,1-3 双择检测与最佳准则,于是由(3)得到最小错误概率准则为：,结论：(a) 最小错误概率准则判决不要求知道代价因子 (b) 它是Bayes准则的特例( 即正确判决不付出代 价，错误判决代价为1)，也是似然比准则的

13、特例。,最小错误概率准则的判决框图为：,1-3双择检测与最佳准则,2）最大后验概率准则 最大后验概率准则是从信息论的观点来研究最佳判决系统，其出发点是在已经得到观测矢量x条件下，比较假设H1和H0的后验概率。 用P(H0|x)表示已知观测矢量x条件下假设H0 的后验概率，用P(H1|x)表示H1的后验概率。 容易想象，对应于较大后验概率的那个假设更容易出现，于是最大后验概率准则为：,1-3双择检测与最佳准则,(4)式经由概率乘法定理及一系列推导（推导过程见书）得到：,结论：该式正好和最小错误概率准则相同，说明最大后验概率准则和最小错误概率准则一致。它们是Bayes准则的同一特例，只不过提出问题

14、的方法不同而已。,1-3双择检测与最佳准则,例4：设x1,x2,xn是统计独立的、且方差为2的高斯随机变量。在假设H1下其均值为a1,在假设H0下均值为a0。应用贝叶斯准则和最大后验概率准则，选取判决门限，计算错误概率。,计算(x),写出似然函数,解:,计算0,代入判决规则,两边取对数并化简:,其中,确定区域划分：,1-3双择检测与最佳准则,划分判决区域D0和D1的界面是n维空间中的一个平面，其方程可写为：,划分区域：,1-3双择检测与最佳准则,为了说明随着测量次数n的增加，判决的错误概率越小这一物理概念，来进一步分析本例中的两种错误概率(虚警概率和漏报概率)。由于统计量mx是n个高斯随机变量

15、的线性组合，因而它也是高斯分布的，其均值在假设H1和H0下分别为a1，a0，方差为：,则mx的条件概率为：,1-3双择检测与最佳准则,而两种错误概率可写为：,1-3双择检测与最佳准则,极大极小化准则,贝叶斯准则：先验概率和代价因子； 最小错误概率准则和最大后验概率准则：先验概率，但不知道代价因子； 如果代价因子知道，而不知道先验概率，这时怎么来确定判决门限呢？,极大极小化准则,当C00= C11=0时,如果先验概率P(H1)已知，则可采用Bayes准则，此时根据书式(1-28),判决规则为：,由于R是P(H1)的严格上凸函数，R和P(H1)的关系曲线如下图:,为了说明极大极小化准则，仍然从书上

16、例（第9页）入手。,Bayes风险:,极大极小化准则,图中贝叶斯风险曲线的解释：,P(H1)=0，P(D1/H0)=0，R=0,P(H1)=1，P(D0/H1)=0，R=0,现在考虑不知道先验概率的情况下，怎么得到先验概率?一种办法是先猜测先验概率为,使用贝叶斯准则确定门限0, 计算错误概率P(D1/H0)和P(D0/H1)，即可得到平均风险R与实际的先验概率的关系是一条直线。,极大极小化准则,当猜测的先验概率: ，即猜测的先验概率等于实际的 先验概率时，平均代价最小；当二者不同时，平均风险大 于Bayes风险。当猜测的先验概率: 时，其最大可能风险将大大高于最大贝叶斯风险。为了使得最大可能的

17、风险极小化，可令 ，即工作在最大贝叶斯风险处，即Q点，此时，无论真实P(H1)为多少，其风险总为最大贝叶斯风险，然后选择适宜此时的门限判据，这就是极大极小化准则。即选择最不利的先验概率P(H1)，使贝叶斯风险极大化。,A,B,极大极小化准则,怎么求最不利的先验概率即求极大贝叶斯风险对 应的先验概率P(H1)？ 化简 上式表明：最不利的先验概率P(H1)是两种错误代 价相等时所对应的先验概率。 极大极小化准则的平均风险,极大极小化准则,极大极小化准则检测器结构与似然比准则的相同，但在计算门 限0时，先验概率P(H0)和P(H1)应选最不利的先验概率. 例5 在例1.2中，二元通信系统通常采用代价

18、因子c00=c11=0, c10=c01=1,采用极大极小化准则确定假设的先验概率? 解：由极大极小化准则满足的条件为： 即两类错误概率相等。极大极小化风险为：,即等于平均错误概率。最不利的先验概率P(H1)=P(H0)=0.5,三极大极小化准则,极大极小化解为：,它也可看作似然比准则的特例。但是,中的P(H0)和P(H1)应选为最不利先验概率。,总结,四、纽曼-皮尔孙准则,N-P准则可表述： 在给定虚警概率P(D1|H0)条件下，要求作出的判决使检测概率P(D1|H1)达到最大，或使漏报概率P(D0|H1)达到极小 。,设 P(D1|H0) =,在很多场合下，如在雷达系统中，确定各类错误的代

19、价和先验概率均十分困难，这时不能再使用前面的几种准则，而必须使用既不包括先验概率，也不估计代价的最佳准则，这就是纽曼-皮尔孙准则（简写N-P准则）。,四、纽曼-皮尔孙准则,在Bayes风险中,如令C00=C110，P(H0)C10=，P(H1)C01=1 则RB=Q。,因而N-P准则就是当P(H0)C10=，P(H1)C01=1条件下的Bayes准则，因而也是似然比准则的特例，所以N-P准 则为：,RB=P(H0)P(D1|H0)C10+P(D0|H0)C00+ P(H1)P(D0|H1)C01+P(D1|H1)C11,四、纽曼-皮尔孙准则,例6 仍然讨论例1.2中的问题，但采用N-P准则。此

20、时，要求根据一次观测数据x，在P(D1|H0)=0.1条件下，最佳的对如下两个假设做出判决：H0:x(t)=n(t), H1:x(t)=1+n(t)，n(t)服从均值为0，方差为2的高斯分布，于是似然函数为高斯函数，即：,四、纽曼-皮尔孙准则,定,查表得=1.8,四、纽曼-皮尔孙准则,检测概率：,检测准则小结,Bayes准则是一个普遍的准则，其它准则均是其特例,检测的实质是利用两种假设下统计特性差别作判决,1-4 多元信号检测及其最佳准则,上节所述双择检测问题中信息传输系统发送 端的真实状态是二元的，即s=(s0,s1)。但在 实际工程中，常常存在发送端的真实状态是 多元的情况。 如通信中使用

21、的四相码，这时 s=(s1,s2,s3,s4) 雷达中要判定目标处于m个距离单元中那一个 单元，属于m元信号检测问题 s=(s1,s2,sm),1-4 多元信号检测（多择一）,发送端m个状态对应m个假设 H1:x(t)=s1(t)+n(t);P(H1) H2:x(t)=s2(t)+n(t);P(H2) . . . Hm:x(t)=sm(t)+n(t); P(Hm) 在多元信号检测中仍然假定m个假设中最终决策只能一个假设为真，因而有：P(H1)+P(H2)+P(Hm)=1,1-4 Bayes准则,Bayes准则是使判决的平均风险达到极小的准则。 二择一: R=P(H0)P(D0|H0)C00+P

22、(D1|H0)C10+ P(H1)P(D0|H1)C01+P(D1|H1)C11 多择一：,(5)式中CijHj为真判为Hi的代价，P(Hj)假设Hj的先验概率，Di判为Hi的区域,（5）,1-4 Bayes准则,例1中的二元假设的条件代价：,下面推导多元假设的贝叶斯检验准则,式中，r(d0|x)与 r(d1|x)表示输入x条件下，判为d0和d1的 条件代价，贝叶斯准则要求总平均风险达到最小，总平均 代价定义为上述条件代价对x再平均。显然，只要每次判决都根据低的条件代价给出，即r(d0|x)r(d1|x)判为D0;如r(d1|x)r(d0|x)判为D1，则总能保证平均风险为最小。已证明r(d1

23、|x)r(d0|x)等效于:,与D1有关：,与D0有关：,1-4 Bayes准则,仿此，多元假设中与Di有关的条件代价为：,根据概率公式 乘法公式得：,与双择情况类似，只要每次判决都是在已知输入矢量x条件下，选取条件代价Ci最小的假设Hi ，必能保证平均风险达到极小。于是贝叶斯检验变为将与每个假设Hi相联系的条件代价Ci进行的比较，取其最小者作为判决结果。,1-4 Bayes准则,于是Bayes准则变为:计算 ,判决 最小的那个假设Hi为真。 应用于二元,因为i,j=0,1,由 =min得：,由于p(x)与假设无关，因而Ci最小等效于选择,于是，双择检测Bayes准则是多择检测的一个特例。,1

24、-4 最大后验概率,假定Cii=0,Cij(ij)=1，代入多元检测Bayes判决准则,1-4 最大后验概率,1-4最大似然准则,如果当：,将变为最大似然准则：,计算所有假设的后验概率，判断最大概率对应的假设，称为最大后验概率准则。它是Bayes准则的特例。,则最大后验 概率准则：,1-4 最大似然准则,1-4 例7（最大似然准则）,似然 函数：,等效于：,1-4 例7（最大似然准则）,若选择其中最大者所对应的假设,如：,1-4 例7（最大似然准则）,同理可得其余几个判决区域，如图,1-5 随机变量信号检测,在前面所述的二元信号检测和多元信号检测问题中，每种假设下的信号波形都是确知的。但在实际

25、工程中，常常需要研究信号参量未知或信号参量为随机变量时的检测问题这正是本节需要研究的内容。,1-5 随机变量信号检测,本节仅讨论双择检测中的复合假设检验问题二择一,简单假设检验：是解决单个确知信号的存在问题。,复合假设检验：是解决依赖于一组随机变量的一个信号集的存在问题。,1-5.1 Bayes准则,设,表示与假设H1有关的随机参量矢量。,：随机参数矢量的m维联合先验概率密度函数,对于代价因子，因H0为简单假设，C00和C10与无关。 在H1假设下，C01和C11可能是的函数，因而可写成C01() 和C11()。,对于似然函数：由于信号参量的随机性，在假设H1下的输入矢量x的条件概率密度依赖于

26、随机参量的取值，即可表示：p(x|,H1),而由于H0为简单假设下的，其似然函数仍写为：p(x|H0),1-5 Bayes准则,简单假设检验,复合假设检验(求假设H1下的条件代价时需对随机变量再平均),则平均风险为：,1-5 Bayes准则,1-5 Bayes准则,欲使Rmin，选择 的被积函数,即,或,1-5 Bayes准则,讨论1: 若C01 、 C11与随机参量矢量无关,则(1) 式变为：,1-5 Bayes准则,条件似然比:,结论:简单假设检验Bayes准则是复合假设检验 Bayes 准则的特例,讨论2 ： (1)式通常称为代价似然比。由(1)式可知：复合假设条件下的Bayes准则需知

27、道：代价函数，两种假设的先验概率P(H0),P(H1)及随机参量的先验密度函数p(a),1-5 Bayes准则,1-5 Bayes准则,讨论3：错误概率 在复合假设情况下，漏报概率只能对给定的参量求出,虚警概率,1-5 NP准则,由于假设H1是复合假设，H0是简单假设， 则根据式,与式,第一类错误（即虚警概率）P(D1|H0)与随机参量矢量无关，而第二类错误（漏报概率）P(D0|，H1)是的函数，N-P准则要求这样的确定判决区域D0和D1:在P(D1|H0)给定条件下使平均检测概率达到极大，亦即使平均漏报概率达到极小。,1-5 NP准则,平均检测概率可写为：,如果随机参量的矢量的先验分布p()

28、未知，则无法计算平均检测概率或平均漏报概率。于是，即使采用N-P准则，也无法避开随机参量的先验分布p()未知的问题。为了解决这一问题，下面可以分几种情况研究。,1-5 NP准则,1-5 NP准则,由此可见：判决门限 完全由P(D1|H0)确定，而与假设H1下的真实均值无关，即与H1下的先验概率分布 无关，从而形成一致最大势检验。,式中，,1-5 NP准则,2. 如一致最大势不存在，则可以假设一p(),此时平均漏报概率,1-5 NP准则,3. 先验分布p()未知，且不存在一致最大势检验, 先对进行最大似然估计，即求出满足关系式, 广义似然比：,1-6 误差的定义和分类,参量估计就是利用样本数据来

29、估计某些特定的参量(或称参数)。通常有两种参量估计的方法：点 估计和区间估计。 点估计：确定待定参量可能的估计量 区间估计：确定待定参量可能位于的区间,1-6 误差的定义和分类,点估计例子：考虑由信号s加零均值高斯白噪声 wi 组成的观测样本为：xi= s+ wi i=1,2n。由于 观测样本中的白噪声wi的均值为零 ,所以信号s 的一个可能估计是样本均值,即(x1+ x2+ xn)/n, 因此s的估计量为: = (x1+ x2+ xn)/n。,1-6 误差的定义和分类,根据样本值计算的参量估计，其精度可由如下定义的均 方误差来描述： 均方误差的第一部分是描述误差中随机部分的方差项， 即 第二

30、部分是描述误差中随机部分的偏差项的平方： 因此，均方误差是估计的方差和偏差的平方两项之和：,1-6 误差的定义和分类,标准误差 偏差 均方根误差,为了更方便起见，常将估计误差归一化，即用被估计 量除以误差，因此分别得： 归一化标准误差 归一化偏差 归一化均方误差,1.7信号参量估计的性能,基本概念 “估计量”：是一个随机变量，它是利用接收样本或观测样本来构造的待估参量 “估计值”：该随机变量的具体取值 “估计”：是指求估计量的过程 既然估计量是随机变量，它就有均值、方差等数字特征。 利用这些数字特征对估计量的性能进行比较、评价。为便于衡量以后讨论的各种估计的性能，下面先对常用的估计的性能若干标

31、准做一介绍。,n维观测矢量 x= (x1，x2， xn)由n个随机变量构成， 由x构成的某个参量 的估计量 。若一个估计量 的均值等于待估计参量的真值，即对所有 恒有：,1.7信号参量估计的性能,1.无偏性,无偏性保证估计量分布在被估计参量的均值附近,则称 为 的无偏估计量,1.7信号参量估计的性能,2.一致性,可见， 依概率收敛于,当观测样本数n时，估计量 的估计值趋向于参量真值，则称 为参量的一致估计量。所以，若 是一致估计量，则对于任意小正数，有,一致估计量的物理意义:说明所使用的样本数越多，其估计越好。,其中f(x)与无关，则称 具有充分性.,物理意义：在构造估计量 时，利用了接收样本

32、x中的有关估计量 的全部信息,设末知参量的估计量为 .如果似然函数可以分解如下形式：,1.7信号参量估计的性能,3.充分性,则 比 更有效。,1.7信号参量估计的性能,4.优效性,是末知参量的两个无偏估计量,如它们的方差满足,优效估计：具有最小方差的估计量。,1.7信号参量估计的性能,5. 克拉美-罗不等式,一个估计量最基本的特征体现在偏差和方差上。精确地表示均方误差往往是困难的。在这些情况下，希望得到均方误差可能达到的一个下限。而克拉美-罗不等式给出了估计的均方误差下限。,克拉美罗不等式,上式表明：任何无偏估计量的均方误差不可能小于一个特定的下限，这个下限取决于似然函数p(x|)。,1.7信

33、号参量估计的性能,定理1：令x= (x1，x2， xn)为一样本矢量， 是x的条件概率密度函数。若 是一个无偏估计量， 且 存在，则,5 克拉美-罗不等式(针对未知非随机参量的估计),式中 ,其中K() 是的某个不包含x的 正函数,1.7信号参量估计的性能,5 克拉美-罗不等式,证明：由假设条件得：,因此，有,上式两边对求偏微分，有,证明克拉美-罗不等式,因为,由复合函数的求导法可得,由于p(x|)是条件概率密度函数，故,（1）,（2）,（3）,将式(2)和(3)代入(1)式，得：,证明克拉美-罗不等式,（4）,将(4)式两端平方，并改写为许瓦慈不等式得：,（5）,证明克拉美-罗不等式,由假设

34、条件：,将式(6)和(7)代入(5)即可得到克拉美-罗不等式：,（6）,（7）,例题分析,例1.9 假设观测波形在观测时间0,T内可表示为: x(t)=s(t,)+wi，式中s(t,)为幅值为a的矩形脉冲信号， wi为零均值高斯白噪声样本函数。试利用矩法估计脉冲信 号的幅度，并判断其估计性能。 解（1）取样值可写为 xi=a+ wi式中，xi是x(t)的独立取样值，wi 为白噪声样本，n为样本数。因为噪声是零均值的，所以a就是观 测波形x(t)的均值。应当用样本均值作为a的估计量，于是有,例题分析,（2）无偏性,于是有,（3）一致性,当n趋于无穷时，估计误差的方差趋于零。因此样本均值 估计量

35、是均匀一致的。,例题分析,观测样本的均值估计量为：,由于噪声样本wi是零均值的高斯随机变量，因而观测样本xi是均值为a的高斯随机变量。样本均值估计量 也是高斯分布的。,（4）充分性,由于xi是独立样本，因此似然函数p(x|)是n个一维 高斯密度函数的联乘，即,例题分析,（4）充分性,例题分析,已证得 是无偏的，现在只需证明 满足式：,（4）优效性,似然函数为,（8）,1-8 参量估计原理,信号检测是利用接收样本或者样本函数作出判决,而 门限是由判决准则确定。 信号参量估计则是利用接收样本来构造函数,(在信 号存在条件下),以估计参量。如：在信号存在条件 下：,x（t）=S（t, ）+n（t）,

36、如待估计参量是时不变的,称为参量估计（第八章） 如待估计参量是时变的,称为波形估计（第九章） 待估参量仅可能取有限个数值的特殊情况下，可以 用多元假设检验同时解决检测与参量估计问题。,1-8.1 经典估计,经典方法矩法：由子样确定的经验分布的各阶矩来估计母体的矩,如：均值,的估计量,，方差,的估计量,分别为：,样本均值,样本方差,1-8.1 经典估计,例1.10设某种灯泡寿命XN(,2),其中、2都是未知 的。今随机抽取4只灯泡，分别测得其寿命(以小时计)为 1052，1453，1367，1650。试用矩法估计、2。 解：因为为全部灯泡的平均寿命， 为样本的平均寿命， 根据矩法可用样本平均值来估计总体均值，用样本方差 来估计总体方差2 ，即： =(1502+1453+1367+1650)/4=1493 s2=(1502-1493)2+(1650-1493)2/4=10551.75 得及2的估计值分别为1493小时及10551.75小时。,1) 应用Bayes估计准则到参数估计中，必须知道信号参量的先验分布密度函数p()以及对每一对( , )定义的代价函数 。 2)由于估计量 与真实参量 可能不同，一般要引入损失，因而代价函数 为非负函数。 3)