空间向量及其运算.ppt

1、3.1 空间向量及其运算,3.1.1 空间向量及其加减运算,第三章 空间向量与立体几何,问题提出,1.在平面中，什么叫向量？,即有大小又有方向的量叫做向量.,2.两个平面向量相加、相减的运算法则分别是什么？,平行四边形法则，,三角形法则.,3.如图，一块质量为500kg的均匀正三角形钢板，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且|F1|F2|F3|.若分析这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板，以及这块钢板在这些力的作用下如何运动，需要有空间向量的知识才能解决.,空间向量 及其加减运算,探究（一）：空间向量的有关概念,思考1：平面内既有大小又有

2、方向的量与空间中既有大小又有方向的量有本质差别吗？如何定义空间向量？,空间中，具有大小和方向的量叫做空 间向量.,思考2：向量的大小叫做向量的长度或模，在空间中，若向量a的起点为A，终点为B，则向量a可以怎样表示？其模怎样表示？,向量的表示：,模的表示：|a|或,思考3：在空间向量中，怎样定义零向量，单位向量，相反向量和相等向量？,零向量：模为0的向量；,单位向量：模为1的向量；,相反向量：模相等且方向相反的向量；,相等向量：模相等且方向相同的向量.,思考4：在平面向量中，若两个向量可以平移到同一条直线上，则称这两个向量为共线向量.在空间向量中，若两个向量可以平移到同一个平面内，则称这两个向量

3、为共面向量.那么空间任意两个向量共面吗？任意三个向量共面吗？,探究（二）：空间向量的加减运算,思考1：对于两个平面向量，可以利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量，如果空间向量a与b所在直线异面，如何求作它们的和向量与差向量？,思考2：如果空间三个向量a，b，c不共面，如何求作它们的和向量？,a,b,c,思考3：如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCDA1B1C1D1中，向量 表示哪个向量？,思考4：对于空间向量a，b，向量ab与ba相等吗？,交换律：abba,思考5：如图，设 ， ， ，则(ab)c与a(bc)分别等于哪个向量？由此得到什么结论？,结合律: (ab)

4、ca(bc),思考6：若ab0或ab0，则向量a与b的关系分别是什么？,相反向量,相等向量,理论迁移,例 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，化简下列各式：,1.空间向量是平面向量的拓展，其相关概念、表示方法、和差运算法则和运算律等，与平面向量具有一致性.,小结作业,2.空间向量与平面向量的区别在于表示空间向量的有向线段不一定共面，而表示平面向量的有向线段一定共面.,3.任意两个空间向量可以通过平移使其共面，因此，两个空间向量的和差运算实质是平面向量的和差运算，多个空间向量的和差运算可以转化为若干个平面向量的和差运算来解决.,作业：P86练习：1，2，3.,3.1 空间向量及其运算,3.1

5、.2 空间向量的数乘运算,第三章 空间向量与立体几何,问题提出,1.空间向量与平面向量的概念是一样的，都是指具有大小和方向的量，对于两个向量a、b，如何体现它们是空间向量还是平面向量？,表示向量的有向线段所在直线异面与共面.,2.如何求作两个空间向量的和向量与差向量？,先平移到同一个平面内，再利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量.,3.在空间中，求作三个不共面向量的和向量有何运算法则？,折线法则，平行六面体法则,4.空间向量的基本概念和加减运算，都是平面向量的推广.在平面向量中有向量的数乘运算，推广到空间，就能建立空间向量的数乘运算理论体系.,空间向量 的数乘运算,探究（一）：数

6、乘运算的含义,思考1：在平面向量中，实数与向量a的乘积a 还是一个向量，称为向量的数乘运算，其中向量a与a的大小和方向有什么关系？,概念：实数与向量a的乘积a.,大小：|a|a|;,方向：0时同向，0时反向， 0时a0.,思考2：平面向量的数乘运算在空间向量中成立吗？对于实数，则(a)，()a，(ab)分别等于什么？,(a)()a ； ()a aa； (ab)ab.,探究（二）：共线向量的概念与定理,思考1：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，如果空间向量a，b，c是一组平行向量，那么表示这三个向量的有向线段所在的直线的位置关系有哪几种可能？,

7、思考2：对空间任意两个向量a，b，若 ab，则a与b的有什么位置关系？反之成立吗？,若ab，则a与b共线；反之，当b0时不成立.,思考3：对空间两个向量a，b(b0)，a/b的充要条件是什么？,存在实数，使ab.,思考4：如图，已知点A和非零向量a，若直线l经过点A且平行于向量a所在直线，则向量a叫做直线l的方向向量，那么点P在直线l上的充要条件是什么？,存在实数t，使 ta,思考5：对空间任意一点O，向量 与 、 的关系如何？上述结论可作怎样的变式？,思考6：在直线l上取 a，则向量式 可作哪些变形？你能从中发现什么结论吗？,若 ，则点P、A、B共线的充要条件是xy1；,点P为AB的中点的充

8、要条件是,探究（三）：共面向量的概念与定理,思考2：平行于同一平面的向量，叫做 共面向量，空间任意两个向量一定共面吗？任意三个向量一定共面吗？,思考3：如果两个向量a，b不共线，若向量p与a，b共面，由平面向量基本定理知，存在实数对(x，y)，使pxayb.反之成立吗？由此可得什么结论？,若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是：存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.,思考4：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？,存在有序实数对(x，y)，使,思考5：对空间任一点O，上述向量式可变形为， 进一步变形可得什么结论？,对空间任一点O和不共线三点A、B、C，若 ，则点P在

9、平面ABC内的充要条件是 xyz1.,例1 在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：向量 与 、 共面.,理论迁移,例2 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 ， ， ， ，求证： （1）E、F、G、H 四点共面； （2）平面AC/平面EG,小结作业,1.向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上.,2.空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据.,3.利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共

10、线、共面和平行等问题，这是一种向量方法.,作业：P89练习：1，2，3.,3.1 空间向量及其运算,3.1.3 空间向量的数量积运算,第三章 空间向量与立体几何,问题提出,1.空间向量a，b(b0)共线的充要条件是什么？,存在实数，使ab.,2.如果向量a，b不共线，向量p与a，b共面的充要条件是什么？,存在惟一的有序实数对(x，y)，使pxayb.,3.若 ，则点P、A、B共线的充要条件是什么？,若 ，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？,xyz1,xy1,4.空间任意两个向量总是共面的，任何两个平面向量都有数量积，因此，空间任意两个向量也有数量积运算.,空间向量的 数量积运算,探究（一）

11、：数量积的概念,思考1：类比平面向量，对于空间两个非零向量a，b，如何确定其夹角？,在空间任取一点O，作 a， b，则AOB叫做向量a与b的夹角， 记作a，b，规定0a，b.,思考2：对于空间两个非零向量a，b，a，b与b，a，a，b与 a，b的大小关系如何？,a，bb，a,a，ba，b,思考3：若a，b90，则向量a与b的位置关系如何？,ab,思考4：对于空间两个非零向量a，b，|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b，那么ab有什么几何意义？,数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影acos的乘积，,探

12、究（二）：数量积的运算性质,思考1：aa等于什么？该等式有何应用价值？,aa|a|2，,求向量的模.,思考2：对任意向量a，b，在什么条件下ab0？,a0或b0或ab.,思考3：ab与ba有什么关系？如何解释？,abba,思考4：设为实数，(a)b与(ab)，a(b)有什么关系？如何证明？,(a)b(ab) a(b),思考5：a(bc)与abac相等吗？如何证明？,a(bc)abac,思考6：(ab)c与a(bc)相等吗？为什么？,(ab)ca(bc),思考7：若abac，能得出bc吗？,不能,理论迁移,例1 用向量方法证明三垂线定理： 平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那

13、么它也和这条斜线垂直.,例2 用向量方法证明直线和平面垂直的判定定理： 已知m，n是平面内的两条相交直线，直线lm，ln，求证：l,小结作业,1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样.,2.对于空间线线垂直，线面垂直问题可以转化为向量的数量积为零来处理，同时，利用向量的数量积还可以计算夹角和距离.,作业： P92练习：1，2，3.,空间向量及其运算,习题课,例1 在三棱锥OABC中，点M是ABC的重心，求证： .,例2 在空间四边形ABCD中，已知ABCD，ACBD，求证：ADBC,例3 如图，正方形ABCD和正方形ABEF

14、相交于AB，点M、N分别在AE、BD上，且AMDN，求证：MN/平面BCF.,例4 在正四面体OABC中，E、F分别是AB、OC的中点，求异面直线OE与BF所成的角的余弦值.,例5 如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC的夹角的余弦值.,作业： P98习题3.1A组：3，4，5.,3.1 空间向量及其运算,3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示,第三章 空间向量与立体几何,问题提出,1.平面向量基本定理是什么？,如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2

15、.,2.平面向量的坐标表示的基本原理是什么？,在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若axiyj，则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a(x，y).,若将向量a的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量a的坐标.,3.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其坐标表示.,空间向量正交分 解及其坐标表示,探究（一）：空间向量基本定理,思考1：设a，b是空间不共线的两个向量，对于空间任意一个向量p，能用向量a，b线性表示吗？,NO!,思考2:设a，b，c是空间

16、不共面的三个向量，作 a， b， c， p，过点P作PM/CO，交平面AOB于点M，那么向量 能用向量 ， 线性表示吗？,xayb,思考3：向量 与向量 的位置关系如何？向量 用向量 如何表示？,思考4：向量 与 ， 有什么关系？向量 与 ， ， 有什么关系？,思考5：上述分析表明什么结论？如何用适当的语言阐述？,若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.,思考6：上述结论就是空间向量基本定理，其中a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？零向量能否作基向量？一个基底中的三个基向量是否要起点

17、相同？,思考7：以a，b，c为基底，空间所有向量组成的集合如何表示？,p|pxaybzc，x，y，zR.,思考8：对于基底a，b，c，设 pxaybzc，当x，y，z至少一个为0时，向量p的位置分别如何？,探究（二）：空间向量的坐标表示,思考1：若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直，则称这个基底为正交基底，若三个基向量是互相垂直的单位向量，则称这个基底为单位正交基底，在哪些空间几何图形中能找到正交基底和单位正交基底？,思考2：设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底e

18、1，e2，e3可以怎样表示？,pxe1ye2ze3,思考3：若pxe1ye2ze3，则把x，y，z称为向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p(x，y，z).对一个给定的向量p，其坐标惟一吗？相等向量的坐标相等吗？,思考4：若向量p(x，y，z)，作 p，则点P的坐标是什么？,(x，y，z),理论迁移,例1 如图，点M、N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 ， ， 表示 和 .,例2 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是CD1，C1D1的中点，用基底 分别表示向量 和 .,小结作业,1.空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可

19、以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合成与分解原理.,2.把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，向量可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算，其运算原理下节课再学习.,作业： P94练习：1，2，3.,3.1 空间向量及其运算,3.1.5 空间向量运算的坐标表示,第三章 空间向量与立体几何,问题提出,1.空间向量基本定理是什么？,若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc.,2.在空间直角坐标系中，确定向量p的坐标的基本原理是什么？,若pxe1ye2ze3，则p(x，

20、y，z).,3.空间向量可以用坐标表示，从而空间向量的运算和向量的关系也可以用坐标表示，其相关结论，我们将逐一探究.,空间向量运算 的坐标表示,探究（一）：向量运算的坐标表示,思考1：向量ab用基底 i，j，k如何表示？ab的坐标是什么？,设i，j，k为单位正交基底，向量 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2).,ab(x1x2，y1y2，z1z2),思考2：根据上述原理，向量ab的坐标是什么？,ab(x1x2，y1y2，z1z2),思考3：设为实数，向量a用基底 i，j，k如何表示？a的坐标是什么？,a(x1，y1，z1),思考4：利用ax1iy1jz1k，bx2iy2jz2k，ab等于什么？,abx1x2y1y2z1z2,探究（二）：向量关系的坐标表示,设向量 a(x1，y1，z1)， b(x2，y