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1、.,一、 平面曲线积分与路径无关的条件,二 、 二元函数的全微分求积,第三节(2) 曲线积分与路径无 关的条件,第十一章,.,1 、曲线积分与路径义无关的定义,B,A,如果在区域G内有,一、 平面曲线积分与路径无关的条件,.,2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,.,注意:1.常用 来判断曲线积分与路径无关;

2、,2.当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径;,如果D是复连通域,即使 曲线积分也不一定与路径无关。,.,注意以上的结果与L的形状无关。,.,例1,解,.,.,练习 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值,解；,曲线积分与路径无关。,可沿折线积分,.,二、二元函数的全微分求积,1. 原函数:,如果存在一个函数u(x,y)，使得,du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy,原函数,全微分式,例如,全微分式,2. 判别定理,定理3. 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D内为某

3、一函数全微分,在D内恒成立.,.,3.全微分求积,当Pdx+Qdy为全微分式时， 求其原函数u(x,y)的过程.,与路径无关，可选平行于坐 标轴的折线作为积分路径.,如图取 为积分路径,得,如图取 为积分路径,得,.,例2,验证: 在整个坐标平面内是某个函数u的全微分，并求u,在整个坐标面上是某个函数 的全微分,注：起点可以任选，一般选原点,原函数可以相差一个常数,.,练习,解,.,.,或,.,例3,解,.,.,*全微分方程及其求法,定义:,若有全微分形式,例如,所以原方程是全微分方程.,全微分方程,.,全微分方程的解法:,1应用曲线积分与路径无关,则全微分方程的通解为,.,例1,这是全微分方程.,方程的通解为,.,故,

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