小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

1、最新 料推荐任意四边形、 梯形与相似模型模型三蝴蝶模型 （任意四边形模型）任意四边形中的比例关系( “蝴蝶定理”) ：as1s2 ods4s3bc s1 : s2 s4 : s3 或者 s1 s3s2 s4 ao : oc s1 s2 : s4s3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】 ( 小数报竞赛活动试题 ) 如图，某公园的外轮廓是四边形 abcd，被对角线 ac、bd 分成四个部分， aob面积为 1 平方千米， boc面积为 2 平方千

2、米 ， cod的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是6 92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？cboad【分析】 根据蝴蝶定理求得 s aod 31 21.5 平方千米，公园四边形abcd 的面积是 1 23 1.5 7.5 平方千米，所以人工湖的面积是7.56.92 0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形bgc 的面积；ag : gc ？a d12 3gbc【解析】 根据蝴蝶定理，s bgc 123 ，那么 s bgc6 ；根据蝴蝶定理，ag : gc12 : 3 6 1: 3 ( ？ )【例2】四边形 ab

3、cd 的对角线 ac与 bd 交于点 o ( 如图所示 ) 。如果三角形 abd 的面积等于三角形bcd 的1最新 料推荐面积的1 ，且 ao2 ， do3 ，那么 co 的长度是 do 的长度的 _倍。3adadoh ogbcbc【解析】在本题中，四边形 abcd 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 s abd : s bcd 1:3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要

4、一个中介来改造这个”不良四边形” ，于是可以作 ah 垂直 bd 于 h ， cg 垂直 bd 于 g ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：ao : ocs abd : s bdc1:3 ， oc 2 3 6 ， oc : od 6:3 2:1 解法二：作 ahbd 于 h ， cgbd 于 g s abd1s bcd ，3 ah1cg ，3 s aod1s doc ，3 ao1co ，3 oc 2 3 6 ， oc : od 6:3 2:1 【例

5、3】如图，平行四边形 abcd 的对角线交于 o 点， cef 、 oef 、 odf 、 boe 的面积依次是 2、4、 4 和 6。求：求 ocf 的面积；求 gce 的面积 。adofgbec【解析】 根据题意可知，bcd 的面积为 24 46 16 ，那么 bco 和cdo 的面积都是 16 28 ，所以 ocf 的面积为 844；由于 bco的面积为8， boe 的面积为6，所以 oce 的面积为 8 6 2，根据蝴蝶定理，eg : fgs coe : s cof2 : 41: 2 ，所以 s gce : s gcfeg : fg1: 2 ，那么 s gce1s cef122 123

6、3【例4】图中的四边形土地的总面积是52 公顷，两条对角线把它分成了4 个小三角形， 其中 2 个小三角形的面积分别是6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？2最新 料推荐d66ce 77ab【解析】 在 abe ， cde 中有aebced ，所以abe ， cde的面积比为 (aeeb) :( ce de ) 。同理有ade ， bce 的面积比为 ( aede ) : (beec) 。所以有 s abe s cde =s ade s bce ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2 条对角线，有图形分成上、下、左、右4 个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的

7、面积之积。即 s abe6 = s ade 7 ，所以有abe 与ade 的面积739618 公顷。比为 7 : 6 ， s abe =21 公顷， s ade =396721 公顷。67显然，最大的三角形的面积为【例5】 ( 2008年清华附中入学测试题) 如图相邻两个格点间的距离是1 ，则图中阴影三角形的面积为。aaddbbocc【解析】 连接 ad 、 cd 、 bc 。则可根据格点面积公式，可以得到abc 的面积为： 1412 ，acd 的面积为： 3321 3.5 ，42abd 的面积为： 23 124412 所以 bo : od s abc : s acd2:3.54 : 7 ，所

8、以 s abos abd3471111【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形 abc 的面积。edabc【解析】 因为 bd :ce 2:5 ，且 bd ce ，所以 da : ac2:5， s abc5， s dbc5210 2577【例6】 ( 2007年人大附中考题) 如图，边长为1 的正方形 abcd 中， be 2ec ， cffd ，求三角形 aeg的面积3最新 料推荐adadggffbecbec【解析】 连接 ef 因为 be2ec ， cffd ，所以 s def1111(3) s abcds abcd 2212因为 s aed1ag : gf116:1，s abcd

9、，根据蝴蝶定理，:1222所以 s agd6 s gdf6613s abcds adf74s abcd7131422 ，所以 s ages aeds agds abcds abcds abcd21477即三角形 aeg 的面积是 2 7【例7】如图，长方形 abcd 中， be : ec2:3 ， df : fc1: 2 ，三角形 dfg 的面积为 2 平方厘米，求长方形 abcd 的面积agdagdffbecbec【解析】 连接 ae ， fe 因为 be : ec 2:3， df : fc1: 2，所以 s def3111(3)s长方形 abcds长方形 abcd 1115210因为 s

10、aed:5s gdf10 平方厘米， 所以 s afd12 平s长方形 abcd ，ag : gf25:1 ，所以 s agd2110方厘米因为 s afd，所以长方形abcd 的面积是 72平方厘米s长方形 abcd6【例8】如图，已知正方形abcd 的边长为10 厘米， e 为 ad 中点， f 为 ce 中点， g 为 bf 中点，求三角形 bdg 的面积aedaedfofggbcbc【解析】 设 bd 与 ce 的交点为 o ，连接 be 、 df 由蝴蝶定理可知eo : ocs bed : s bcd ，而 s bed1s abcd ， s bcd14s abcd ，2所以 eo :

11、 ocs bed : s bcd1: 2，故1eoec34最新 料推荐由于 f 为 ce 中点，所以 ef11: 2 ec ，故 eo : ef 2:3 ， fo : eo211由蝴蝶定理可知s bfd : s bedfo : eo1: 2，所以 s bfds abcd ，s bed81112那么s bgds bfds abcd106.25 （平方厘米）2161016【例9】如图，在abc 中，已知 m 、 n 分别在边 ac 、 bc 上， bm 与 an 相交于 o , 若aom 、 abo 和bon 的面积分别是3、 2、1，则 mnc 的面积是amocbn【解析】 这道题给出的条件较少

12、，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解根据蝴蝶定理得s mons aoms bon31 3s aob22设 s monx ，根据共边定理我们可以得s anms abm33322，解得 x22.5，s mncs mbcx31x2【例10】( 2009 年迎春杯初赛六年级) 正六边形 a1 a2 a3 a4 a5 a6的面积是2009 平方厘米， b1b2 b3 b4 b5b6 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米a1b1a2a1b1a2b6b2b6ob2a6a3a6a3b5b3b5b3a 5b4a4a5b4a4【解析】 如图，设 b6 a2 与 b1 a3 的交点为 o ，则

13、图中空白部分由6 个与a2oa3 一样大小的三角形组成，只要求出了a2oa3 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积连接 a6 a3 、 b6 b1 、 b6 a3 设a b b的面积为”1“，则baba a ba a ba a b1161 2 6 面积为” 1“，126 面积为” 2“，那么63 6 面积为1 2 6的 2倍，为”4 “，梯形 a1 a2 a3 a6 的面积为2 24212，a2 b6 a3 的面积为” 6 “，b1 a2 a3 的面积为2根据蝴蝶定理，b1oa3os b1 a2 b6 : s a3 a2 b61: 6，故 s a oa36， s b a a31

14、2 ，216127所 以 s a oa : sa a12 :12:1: 7 ，即a2oa3的面积 为梯形a1 a2 a3 a6面 积的1 ， 故为六 边形23梯形 a a267713a1 a2 a3 a4 a5 a6 面积的1 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的163 ，所以阴影部分面积为141475最新 料推荐2009 13( 平方厘米 ) 114876最新 料推荐板块二梯形模型的应用梯形中比例关系( “梯形蝴蝶定理”) ：aads1s2 o s4s3bcb s1 : s3a 2 : b2 s1 : s3 : s2 : s4a2 : b2 : ab : ab ；2 s 的对应份数为ab梯形

15、蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果( 具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例11】如图， s22 ， s34 ，求梯形的面积s2s1s4s3【解析】 设 s1 为 a 2 份， s3 为 b2 份，根据梯形蝴蝶定理，s34 b 2 ，所以 b2 ；又因为 s22ab ，所以a1；那么 s1a21， s4a b2，所以梯形面积s s1 s2s3s4 1 24 29，或者根据梯形蝴蝶定理，sab22219 【巩固】 ( 2006 年南京智力数学冬令营) 如下图，梯形abcd 的 ab

16、平行于 cd ，对角线 ac ， bd 交于 o ，已知 aob 与 boc 的面积分别为25平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 abcd 的面积是 _平方厘米ab25o35dc【解析】 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， s aob : s boca2 : ab25: 35， 可 得 a : b5:7 ， 再 根 据 梯 形 蝴蝶 定 理 ，s aob : s doc222225: 49 ， 所 以 s doc49 ( 平方 厘 米 ) 那么 梯 形 abcd 的面 积 为a: b5: 725353549144(平方厘米 ) 【例12】梯形abcd 的对角线 ac 与 bd 交于点 o ，

17、已知梯形上底为2，且三角形 abo 的面积等于三角形 boc 面积的 2 ，求三角形 aod 与三角形 boc 的面积之比37最新 料推荐adobc【解析】 根据梯形蝴蝶定理，s aob : s bocab : b22: 3 ，可以求出 a : b2:3 ，再根据梯形蝴蝶定理，s aod : s boca2 : b 222 : 324: 9 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论【例 13】( 第十届华杯赛三角形 abd的面积三角形 cbd的面积b) 如下图，四边形abcd 中，对角线ac

18、 和 bd 交于 o 点，已知ao1 ，并且3 ，那么 oc 的长是多少？5acod【解析】 根据蝴蝶定理，三角形 abd的面积ao ，所以 ao3 ，又 ao1 ，所以 co5 三角形 cbd的面积coco53【例 14】梯形的下底是上底的 1.5 倍，三角形 obc 的面积是 9cm2 ，问三角形 aod 的面积是多少？adobc【解析】 根据梯形蝴蝶定理，a :b 1:1.52:3 ， s aod : s boca2 : b 222 : 324: 9 ，所以 s aod4 cm2【巩固】如图，梯形abcd 中， aob 、cod 的面积分别为1.2和 2.7 ，求梯形 abcd 的面积a

19、bodc【解析】 根据梯形蝴蝶定理，s aob : s acoda 2 : b 24 : 9，所以 a :b2:3 ，s aod : s aobab : a 2b : a3: 2 ， s aods cob1.231.8 ，s梯形 abcd 1.2 1.81.8 2.77.5 2【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 adg 的面积是 11，三角形 bch的面积是 23，求四边形 egfh 的面积8最新 料推荐afafbbgghhdecdec【解析】 如图，连结 ef ，显然四边形adef 和四边形 bcef 都是梯形，于是我们可以得到三角形efg 的面积等于三角形a

20、dg 的面积；三角形 bch 的面积等于三角形efh 的面积，所以四边形egfh 的面积是 11 23 34【巩固】 ( 人大附中入学测试题) 如图，长方形中，若三角形1 的面积与三角形3 的面积比为4 比 5，四边形 2的面积为36，则三角形1 的面积为 _123123【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2 分成左右两边，其面积正好等于三角形1 和三角形3，所以 1 的面积就是 364516 ， 3 的面积就是 3620 4545【例 16】如图，正方形 abcd 面积为 3平方厘米， m 是 ad 边上的中点求图中阴影部分的面积bcgamd【解析】 因为 m 是 ad 边上

21、的中点，所以am : bc1: 2，根据梯形蝴蝶定理可以知道s amg : s abg : s mcg : sbcg2 （）（）21: 2: 2 : 4，设s agm1份，则s mcd1 23份，1: 12 : 12 : 2所以正方形的面积为1 224 312份， s阴影2 2 4 份，所以 s阴影 : s正方形1: 3 ，所以 s阴影1平方厘米【巩固】在下图的正方形abcd 中， e 是 bc 边的中点， ae 与 bd 相交于 f 点，三角形 bef 的面积为1 平方厘米，那么正方形abcd 面积是平方厘米adfbec【解析】 连接de，根据题意可知be : ad 1: 2，根据蝴蝶定理得

22、s梯形（29( 平方厘米 ) ，s ecd3 ( 平）12方厘米 ) ，那么 s abcd12 ( 平方厘米 ) 【例17】如图面积为 12 平方厘米的正方形abcd 中， e, f 是 dc 边上的三等分点，求阴影部分的面积9最新 料推荐abodecf【解析】 因为 e , f 是 dc 边上的三等分点，所以ef : ab 1:3，设 soef1 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道s aoes ofb3 份，s aob9 份，s ades bcf(13) 份，因此正方形的面积为 44(13)224份， s阴影6 ，所以 s阴影 : s正方形 6 : 241: 4 ，所以 s阴影3 平方厘米【例18

23、】如图，在长方形abcd 中， ab6厘米， ad2 厘米， aeeffb ，求阴影部分的面积aefbaefboodcdc【解析】 方 法一：如图，连接de ， de 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形aed 的面积为2 6 3 2 2 平方厘米由于 ef : dc1:3 ，根据梯形蝴蝶定理，s deo: s efo3:1 ，所以 s deo3 s def ，而 s defades24平方厘米，所以32 1.5 平方厘米，阴影部分的面积为21.53.5 平方厘米s deo4方法二：如图，连接de ， fc ，由于 ef : dc1:3，设 s oef1 份，根据梯形蝴蝶定理，s oed3

24、份， s梯形 efcd(1 3)216 份， s ades bcf1 34 份，因此s长方形 abcd416424 份，s阴影4 37 份，而 s长方形 abcd 6 212 平方厘米，所以s阴影3.5 平方厘米【例19】( 2008年”奥数网杯”六年级试题) 已知 abcd 是平行四边形，bc : ce3: 2，三角形 ode 的面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是平方厘米adadoobcebce【解析】 连接 ac 由于 abcd 是平行四边形，bc :ce3: 2 ，所以 ce : ad2:3，根据梯形蝴蝶定理，s coe : s aoc : s doe : s aod22 : 23:

25、 23: 324 : 6: 6 :9 ，所以 s aoc6( 平方厘米 ) ， s aod9 ( 平方厘米 ) ，又 s abcs acd6 915 ( 平方厘米 ) ，阴影部分面积为61521( 平方厘米 ) 【巩固】右图中 abcd 是梯形， abed 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米adad992121o44becbec10最新 料推荐【分析】 连接 ae 由于 ad 与 bc 是平行的，所以aecd 也是梯形，那么s ocds oae 根据蝴蝶定理， s ocds oaes oces oad236，4 9 36，故 s ocd所以 s ocd6 ( 平方厘米 ) 【巩固】 ( 2008 年三帆中学考题 ) 右图中 abcd 是梯形， abed 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米adad881616ob2b2ecec【解析】 连接 ae 由于 ad 与 bc 是平行的，所以aecd 也是梯形，那么s ocds oae 根据蝴蝶定理， s ocds oaes oces oad2 8 16216，所以 s ocd4 ( 平方厘米 ) ，故 s ocd另解：在平行四边形abed 中， s ade11168