2010年高考数学试卷真题上海卷理科

1、绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1不等式的解集为_；2若复数为虚数单位），则_；3若动点P到点F（2，0）的距离与它到直线的距离相等，则点P的轨迹方程为_；4行列式的值为_；5圆C：的圆心到直线的距离_；6随机变量的概率分布率由下图给出：x78910P（）0303502015则随机变量的均值是_；72010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数

2、，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_。8对任意不等于1的正数，函数的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是_。9从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率_（结果用最简分数表示）。10在行列矩阵中，记位于第行第列的数为。当时，_。11将直线、（，）轴、轴围成的封闭图形的面积记为，则_。12如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为_；xOyE1E213如图所示，直线与双曲线：的渐近线交于两点，记，

3、。任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是_。14以集合 的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件： （1）都要选出； （2）对选出的任意两个子集A和B，必有或。那么共有_种不同的选法。二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15 “”是“”成立的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分条件 （D）既不充分也不必要条件16直线的参数方程是，则的方向向量可以是 （A）（） （B）（）（C）（） （D）（）17若是方程的解，则属于区间（A）（） （B）（）

4、（C）（） （D）（）18某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为来源:则此人能（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形（C）作出一个直角三角形 （D） 作出一个钝角三角形三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19（本题满分12分）已知，化简：=020（本题满分13分）本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且， （1）证明：是等比数列； （2）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由 21（本题满分13分）本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小

5、题满分8分。A1A2A3A4A5A6A7A8B1B2B3B4B5B6B7B8如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用96米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面） （1）当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到001平方米）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为03米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。若实数、满足，则称比远离 （1）若比

6、1远离0，求的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离； （3）已知函数的定义域任取， 等于和中远离0的那个值写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分已知椭圆的方程为，点P的坐标为（） （1）若直角坐标平面上的点、满足，求点的坐标； （2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点若，证明：为的中点； （3）对于椭圆上的点 ，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围参考答案一、填空题：1【答案】解析：由【命题立意】本题考查了分式不等式的求解问

7、题, 考查分类思想方法的应用【解题思路】由可得, 解之得,不等式的解集是【易错点】分式不等式中字母系数为负时需要先变号为正, 否则解集将出现错误2【答案】解析：因为，所以，所以【命题立意】本题考查了复数的基本运算,属基础概念题型【解题思路】, 3【答案】解析：依题意可以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以的轨迹方程为的轨迹方程为【命题立意】本题考查了抛物线的标准方程及抛物线的概念, 考查函数与方程思想【解题思路】动点到点的距离与它到直线的距离相等，点P的轨迹为抛物线, 其中F（2,0）为焦点, 直线为准线, 即,解之得,其中对应的抛物线的标准方程为4【答案】0解析：【命题立意】本题考查了行列

8、式及三角函数的二倍角公式, 属基础公式题型【解题思路】5【答案】3解析：圆即为：，其圆心，由点到直线的距离公式可得【命题立意】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离,考查数形结合思想【解题思路】圆的圆心（1,2）到直线的距离6【答案】82解析：【命题立意】本题考查了离散型随机变量的分布列及均值的计算问题，考查数据的统计与处理能力【解题思路】由概率分布率可得随机变量的均值为7【答案】解析：因为表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数所以显然是累加起来的求和，故空白的执行框内应填入：【命题立意】本题考查了算法的程序框图及算法流程图,考查算法思想的应用【解题思路】S的初始值为0, 每个

9、整点时输入的人数的值均需要累加到S上, 则空白的执行框内应填入【易错点】对变量的错误认识, 在赋值框中的表达式容易出现填等错误8【答案】解析：方法一：求出反函数的解析式，由所以函数的反函数的解析式为，令，可知与轴的交点坐标是。方法二：反函数的图像与轴的交点关于直线对称的点即为原函数的图像与轴的交点，令，从而原函数与与轴的交点为，所以反函数的图像与轴的交点坐标是【命题立意】本题考查了函数与反函数的关系,考查函数与方程思想及数形结合思想【解题思路】函数与轴的交点坐标为, 即, 则, 即得点在其反函数的图象上9【答案】解析：基本事件总数为，事件的基本事件为，从而，事件的基本事件为，所以，又事件与是互

10、斥事件从而。【命题立意】本题考查了古典概型的计算问题, 考查分析问题与解决实际问题的能力【解题思路】52张中随机抽取2张共有种方法, 其中事件A:抽得红桃K只有1种方法,事件B:抽得黑桃有13种方法, 则概率为10【答案】45解析：可知这个数列的每一行，每一列，每一斜行的和均为，从而当时，【命题立意】本题考查了数阵与数列的通项与数列的求和问题, 考查归纳猜想能力及统计能力【解题思路】由矩阵可得, 11【答案】1解析：依题意可知过点，过点，又与的交点可由方程组 ，如图所示，设其为点，从而围成的封闭图形即为四边形，又的面积为，又直线的方程为，点到直线的距离，所以四边形的面积为，所以排版时请添加轴x

11、yO11nn【命题立意】本题考查了数列的极限计算及数列的通项的求解问题, 考查极限思想及分析问题与解决实际问题的能力【解题思路】由三条直线所围成的三角形所表示的阴影部分如右图所示, 其面积,【易错点】考生将求出后,不是立即求该值的极限,而是想象成数列的通项,想方没法求该数列的前项和,想去求该和的极限值,属审题不清错误12【答案】解析：四面体是以为底，为高的三棱锥，【命题立意】本题考查了平面图形的折叠及空间几何体的体积计算问题,考查空间想象能力【解题思路】由题意可得,折叠后的几何体是底面为斜边长等于4的等腰直角三角形,高为的三棱锥, 其体积13【答案】解析：依题意可知两渐近线方程为：从而，所以设

12、点，则，又由从而有，所以代入，得【命题立意】本题考查了双曲线的几何性质及平面向量的基本定理,考查数形结合及数据处理的能力【解题思路】设双曲线方程为, 由题意可得, 且渐近线的斜率,解之得, 即双曲线方程为,任取双曲线上一点的坐标为P（,）,则由可得 代入可得,即得【题眼】题中所给的向量关系实际上是曲线参数方程的另一种表示方式, 其通过向量展示了另一类轨迹的求解方式,值得很好去品味14【答案】36解析：依题意可知子集A和B可互换，即视为一种选法。从而对子集分类讨论， （1）若是单元集或若是四元集，根据题意是选出4个不同的子集，所以不符合要求 （2）若是二元集，则有种情况，此时相应的只有两种，共有

13、种选法， （3）若是三元集，则有种情况，此时相应的只有6种，共有种选法，综上所述，共有。【命题立意】本题考查了集合的子集及利用排列组合知识解决实际问题, 考查分析问题与解决实际问题的能力【解题思路】若其中一个集合为一元集（如），则另一个集合必为含有该元素的二元或三元集,这样的集合对共有个; 若其中一个集合为二元集（如,）, 则另一个集合必为含有该两个元素的三元集,这样的集合对共有个,综上可得共有24+12=36种不同的选法【易错点】题意的理解是一个难点,另外分类点较多也是制约思维的一个瓶颈二、选择题：15【答案】A解析：，可以得到，但是，则有，不一定有。所以是“充分不必要条件”【命题立意】本题

14、考查了三角函数的性质及充要条件, 考查逻辑推理能力【解题思路】当时, ; 当时, ,“”是“”成立的充分不必要条件, 故应选A16【答案】C解析：依题意可以直线直线的一般方程为，直线的斜率为，所以其中一个方向向量为（）【命题立意】本题考查了直线的普通方程与参数方程的互化及直线的方向向量问题,考查函数与方程思想【解题思路】直线的参数方程可化为普通方程为,该直线的斜率为,则直线的方向向量可以是, 取时, C选择支中向量满足条件, 故应选C17【答案】C解析：设，因为，从而选C【命题立意】本题考查了函数的零点及求方程的近似解问题, 考查函数与方程思想方法的应用【解题思路】设, 由, ,可得函数在区间

15、上有一个零点, 即方程的解, 故应选C【易错点】上海市允许考生使用计算器, 但使用计算器的前提是将需要运算的代数式列出,即建立固定的函数模型18【答案】D解析：因为满足两边之和大于第三边，所以能够作出三角形，又因为，故这个三角形是钝角三角形.【命题立意】本题考查了解三角形及余弦定理的应用, 考查灵活选择公式解决实际问题的能力【解题思路】设三条高长度分别为对应的底边分别为、,根据面积相等可得, 则可得, 且,的内角A为钝角,即一定是钝角三角形,故应选D【题眼】利用三角形的高度及其与面积的关系,分析最大的边长,利用余弦定理判断对应角的余弦值,便可粗略判断该三角是锐角还是钝角三角形三、解答题19原式

16、=lg（sinx+cosx）+lg（cosx+sinx）-lg（sinx+cosx）2=020（1）当n=1时,解得当n 4分 5分 （2） 8分 10分= n=15取得最小值 13分 （1） 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；（2） 由（1）知：，得，从而（nN*）；解不等式SnSn+1，得，当n15时，数列Sn单调递增；同理可得，当n15时，数列Sn单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值21 （2）当r=03时,由2r+h=12,解得圆柱的高h=06（米） 如图所示,以直线 建立空间

17、直角坐标系,则有 10分异面直线 13分 （1） 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=12-2r（0r|cosx|,即,同理,若|cosx|sinx|,则于是函数f（x）的解析式是F（x）= 11分函数f（x）的最小正周期T=2 12分函数f（x）是非奇非偶函数, 13分当x=2k或x=2k+,函数f（x）取得最大值1当x=2k+或x=2k+,函数f（x）取得最大值-1 15分函数f（x）在区间 18分 （1） ；（2） 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a3+b3比a2b+ab2远离；（3） ，性质：1f（x）是偶函数，图像关于y轴对称，2f（x）是周期函数，最小正周期，3函数f（x）在区间单调递增，在区间单调递减，kZ，4函数f（x）的值域为23（1）设点M的坐标为由题意可知 4分 （2） 由, 7分由 10分 （1） ；（2） 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以D0，即，设C（x1,y1）、D（x2,y2），CD中点坐标为（x0,y0），则，由方程组，消y得方程（k2-k1）x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；（3） 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点，2求出直线OE的斜率，3由知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率，4从而得直线CD的方程：，5将直线CD与椭圆的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标欲使