基本不等式(均值不等式)技巧

1、最新 料推荐基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若 a,br ，则 a2b2(2)r ，则 ab22b2ab若 a,ba2b （当且仅当 a时取“ =”）2. (1) 若 a, br* ，则 abab(2)若 a,br* ，则 ab 2ab（当且仅当 ab2时取“ =”）2(3) 若 a, br * ，则 abab(当且仅当 ab 时取“ =”）2333abca3 b3 c3( 、 、r)，时“ ”(4) abc 3abca b c当且仅当a = b = c3,=号成立；abc3abc33 abcabc(a、 b、cr ) ,当且仅当 a = b = c时,“ =”号成立

2、 .34. 若 a, br ，则 ( ab) 2a2b2（当且仅当 ab 时取“ =”）22注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”222(3) 熟悉一个重要的不等式链：aba bab 。1122ab1最新 料推荐【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（ 利用均值不等式做题时， 条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）51：已知 x42. 当，求函数 y4 x21的最大值。4 x5时，求 yx(82x) 的

3、最大值。3：设 0x3，求函数 y4x(32x) 的最大值。24、求函数 yx12 ( x 1)的最小值。2( x1)5已知 x0, y0 ，且满足3x2 y12 ，求 lg xlg y 的最大值 .6已知 x， y 为正实数，且 x2 y 2 1，求 x1 y 2的最大值 .27若 a, b, c0 且 a( abc) bc42 3 , 求 2abc 的最小值 .技巧一答案：1解：因 4x50 ，所以首先要“调整”符号，又 (4 x 2)1不是常数，所以对 4x 24 x5要进行拆、凑项，x5 , 5 4x 0，y 4x 215 4 x13 2 3 144 x55 4 x当且仅当 54x1，

4、即 x1 时，上式等号成立，故当x1时， ymax 1。5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。2 解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8 为定值，故只需将y x(8 2x) 凑上一个系数即可。当，即 x 2 时取等号当 x 2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8。评注： 本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。323、解： 0x 3 2 x0 y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 22x 3 2x9222当且仅当 2 x32

5、x, 即 x30, 3时等号成立。424 解析：2最新 料推荐12 (x 1) (x 1)12 1(x 1)x 1x 11y x2(x222(x2 1(x 1)2(x1)1)1)33x1 x 111)21315 ，当且仅当 x112 ( x 1) 即 x2时，“=”222(x2222(x1)号成立，故此函数最小值是5 。2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、 拆项（常常是拆底次的式子） 等方式进行构造。5、分析 lg xlg ylg( xy) ,xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式xy 是否3x 与 2 y 的和为定值 12

6、 ，故应先配系数，即将xy 变形为3x 2 y定值， 而已知是6，再用均值不等式 .解： x0, y0lg xlg ylg( xy)lg 3x 2 y613x2 y21212lg2lg266lg 6当且仅当 3x2y ，即 x2, y3 时，等号成立 .所以 lg xlg y 的最大值是 lg 6.6 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式a 2 b 2ab2。同时还应化简1y 2中 y2 前面的系数为1 ，x1 y 2 x21 y2 222x1y 22 2下面将 x，1y 22 2分别看成两个因式：1y2x 2 (1y 2 )2x 2 y 213x 2222即 x 1 y 2 2 x

7、2 222 41y 2322 2 47 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用ab2ab +b 来解决 . 换个思路，可考虑将2abc 重新组合，变成(a b)(ac) ，而 (ab)(ac) 等于定值4 23 ，于是就可以利用均值不等式了 .3最新 料推荐解：由 a, b, c0, 知2a bc(ab) (a c)2( ab)(ac)2 a2abacbc242 32 32,当且仅当 bc,即 b c3 1 a时，等号成立 .故 2a b c的最小值为 2 3 2.技巧二： 分离或裂项1. 求 yx27 x10 ( x 1) 的值域。x 12 求函数 y= （1+x） 的值域 .（）x

8、 1+2x1 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当, 即时 , y2 （ x1)45 9（当且仅当 x 1时取“”号）。x 12、解：可将上式转化为y（ x+1）x 1 -11+2(x+1-1)=（ x+1）=1212（x+1）-3(x） 11 +2（ ）（1+x -3当时，）x+10x+1x-11（） 22，此时y1（+21+x）22-3x+1当 x01+2（ ）（1+2（ ）-2 2 此时y-1（1+x =-（-1-x,）2 2+3x+1-x-1所以值域为：（-，11,+)2-3-22 2+3技巧三：换元1、求 yx27x10 (x1) 的

9、值域。x1yx22x5 的最大值 .2、求函数4最新 料推荐3、已知正数 x、y 满足 811，求 x 2y 的最小值。xy4、已知 x，y 为正实数，且 x2 y 21，求 x1 y 2的最大值 .2参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x 1，化简原式在分离求最值。y2）= t25t4t45(t 1) 7(t1 +10ttt当, 即 t=时 ,y 2t459 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值， 通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg( x)ab( a 0, b 0) ， g( x) 恒正

10、或恒负的形式，g( x)然后运用基本不等式来求最值。2 分析 可先令 x 2 t ，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决 .解：令x 2t,t0, xt 22, 则yt(t0)2t 21当 t0时， y0;当 t0时， y11211422t2ttt当且仅当 2t= 1，即 t2 时，取等号 .t2所以 x3 时 ,取最大值为2 .243、解法三 ：（三角换元法）8sin2xx8xsin 2x令则有1cos2y1yxcos 2xx 2y828csc2 x2sec2 x8(1cot2 x) 2(1tan2 x) 10 8cot2 x 2 tan2 x10 2sin2 xcos2xx1

11、2,此时 y3 时“ ”号成立，故最小值(8cot2 x) (2tan2 x)，易求得18=是 18。5最新 料推荐技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）811、已知正数 x、y 满足 x y，求x2y的最小值。112、已知 a， b 为正实数， 2b ab a 30，求函数y ab 的最小值 .y23、设 x, y, z 为正实数， x2y3z0 ，则 xz 的最小值是 .1 解法：（消元法）由81得 yx， 由 y0x0又 x0x8则 x 2 yx1xxy88x2xx2(x 8) 16x216(x8)1610 2 (x8) 161018。当且x 816x8x 8x 8x

12、8仅当x 8即 x12,此时y3 时“=”号成立，故此函数最小值是。x188 2 b 2 30b法一： a 30 2b，30 2b bb 1b 1ab b 1由 a 0 得， 0 b 15 2t 234t 31令 t b+1 ， 1 t 16 ， abt162t t 81 ab 18 y 18 当且仅当 t 4，即1616 2 （ t t） 34 t tb 3， a 6 时，等号成立。x3zy2y2，则可对 xz 进行消元，3 分析 本题也是三元式的最值问题 . 由题意得用 x, z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题 .解：由 x, z0, yx3z , 可得2y2x29z26

13、 xz6xz6xzxz=4xz3,4xz当且仅当x3z,即xy, zy 时，取 “ ” .=3故 y2 的最小值为 3. xz技巧五：整体代换(条件不等式 )6最新 料推荐1：已知 x0, y 0191 ，求 xy 的最小值。，且yx2、已知正数 x、 y 满足 811 ，求 x2y 的最小值。xy1错解 ：x 0, y 0 ，且 19，x y19x y 292 xy 12故 x1xyxyyxy min12 。错 因 ： 解 法中 两 次连 用基 本 不 等 式， 在 x y 2xy 等 号 成立 条 件 是 xy ， 在199199x , 取等号的条件的不一致，产生错误。因此，2等号成立条件

14、是x即 yxyxyy在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解 ：x0, y 0, 1 91，x yx y1 9y 9x 10 6 10 16x yxyxy当且仅当y9 x191 ，可得 x4, y12 时， xy16 。时，上式等号成立， 又minxyxy变式： （ 1）若 x, y r且 2 x y1，求 11 的最小值xy(2) 已知 a, b, x, yr且 ab1 ，求 xy 的最小值xy2、解法：（利用均值不等式）81x16yx 16 y811x2y2y)18, 当且仅当xy()(x10x10 2xx16 yxyyyyx即

15、x12, y3时“ =”号成立，故此函数最小值是18。技巧六：转化为不等式11. 已知 a， b 为正实数， 2b ab a 30，求函数 y ab 的最小值 .2、已知正数 x、y 满足 xy x y 3，试求 xy 、 xy 的范围。1 解：由已知得：30 ab a 2b a 2b 2 2 ab 30 ab 2 2 ab令 u ab则 u2 2 2 u 30 0， 5 2 u 3 27最新 料推荐 ab 32 ， ab 18， y118点评：本题考查不等式a b（a, br）2ab的应用、不等式的解法及运算能力；如 何 由 已 知 不 等 式ab a 2b 30 a, b r出 发 求 得

16、 ab 的 范 围 ，关 键 是 寻 找 到（）a b与 ab 之间的关系，由此想到不等式ab（a, b）abr ，这样将已知条件转换2为含 ab 的不等式，进而解得ab 的范围 .1 解法：由 x0, y0 ，则 xyxy3xy3x y2xy ，即 (xy)2 2 xy30解得xy1(舍或xy3，当且仅当x且xyxy3即xy 3时取“=”号，)y故 xy 的取值范围是 9,) 。又 xy 3xy( xy)2(xy)24(xy)120xy2(舍 )或 x y6，2时取“ =”号，故 xy 的取值范围是 6,当且仅当 xy且xy x y3即 xy 3)技巧六：取平方1、 已知 x， y 为正实数

17、， 3x 2y 10，求函数 w3x 2y 的最值 .2:求函数 y2 x152 x( 1x5 ) 的最大值。22解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ba 2 b 222，本题很简单3x 2y 2（3x ） 2（ 2y） 2 23x2y 2 5解法二： 条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。w0，w2 3x2y 2 3x 2y 1023x 2y 10 (3x )2(2y )2 10 (3x 2y)20 w 20 25解析：注意到2 x1与 52x的和为定值。y2(2x152 x) 242 (2 x 1)(52x)4

18、(2 x1)(5 2 x) 8又 y0，所以 0y22当且仅当 2x 1= 52x ，即 x3故 ymax2 2时取等号。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数调性。af ( x)x的单x8最新 料推荐1：求函数 yx25的值域。x24、若 x、yr ，求 f ( x)x4x1)的最小值。2(0x1 解：令24t (t2) ，则 yx25x241t1(t2)xx24x24t因 t

19、0, t11 ，但 t1 解得 t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为 y t1 在区间 1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数， 故 y5 。t2所以，所求函数的值域为5 ,。22 解法一 ：（单调性法）由函数f()axb (a、b0) 图象及性质知，当时，xxx (0,14 是减函数。函数 f ( x)xx证明：任取 x1 , x2(0,1 且 0x1x21 ，则 f ( x1 )f ( x2 )( x1x2 )( 44 )x1x2( x1x2x1( x1x2 )x1x24，x2 ) 4x1x2x1x2 0 x1x2 1 ， x1 x20, x1 x240 ，x1 x

20、2则 f ( x1 )f ( x2 )0f ( x1 )f ( x2 ) ，即 f( x)x4在 (0,1上是减函数。x故当 x1 时， f ( x)x4 在 (0,1上有最小值 5。x42解法二：（配方法）因 0x1，则有 f (x)x(x)24，易知当 0x 1xx时，2x0且单调递减，则 f (x)( 2x)24在 (0,1上也是减函数，即xxf ( x)x4 在 (0,1上是减函数，当 x1 时， f ( x)x4 在(0,1上有最小值 5。x4x4解 法 三 ：（ 导 数 法 ） 由f (x) xx得 f ( x) 1x2 ， 当 x( 0 , 1时 ，f ( x )1420，则 函 数 f ( x )x4在 (0,1 上 是减 函 数 。 故 当 x 1 时，x4 在 (0,1上有最小值 5。xf ( x )xx解法四 ：（拆分法） f ( x)x4 (0x1)( x1)32x135 ，当且仅x1xxx9最新 料推荐当 x1时“ =”号成立，故此函数最小值