一元二次方程根与系数的关系习题1

1、最新 料推荐1、一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的求根公式为2、一元二次方程 ax 2bxc0(a0)根的判别式为：b 24ac（1） 当0 时，方程有两个不相等的实数根。（2） 当0 时，方程有两个相等的实数根。（3） 当0 时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则；方程有两个相等的实数根，则；方程没有实数根，则。 韦达定理相关知识 1 若 一 元 二 次 方 程 ax 2bx c 0( a 0) 有 两 个 实 数 根 x1和 x2 ， 那 么x1x2， x1 x2。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理 。2、如果一元二次方程 x 2pxq0 的

2、两个根是 x1 和x2 ，则 x1x2，x1x2。3、以 x1和 x2 为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是 x2(x1x2 )xx1 x2 04、在一元二次方程 ax 2bxc 0( a 0) 中，有一根为0，则 c；有一根为 1，则 ab c；有一根为 1 ，则 abc；若两根互为倒数 ,则 c；若两根互为相反数，则 b。5、二次三项式的因式分解 (公式法 )在 分 解 二 次 三 项 式 ax 2bx c 的 因 式 时 ， 如 果 可 用 公 式 求 出 方 程ax 2bxc0(a0) 的两个根 x1和x2 ，那么 ax2bxca( xx1 )( xx2 ) 如果方程ax2bxc0

3、(a0) 无根 则此二次三项式ax2bxc不能分解 ., 基础运用 例 1：已知方程3 2(1)2 0的一个根是 1，则另一个根是xkx，k。1最新 料推荐变式训练：1、已知 x1是方程 3x 22xk0 的一个根，则另一根和k 的值分别是多少？2、方程 x2kx60 的两个根都是整数，则k 的值是多少？例 2：设 x1 和x2 是方程 2x24x30 ，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（ 1） x 2x 2（2） ( x1 1)( x2 1)（ ） 11（ ）x2 )2123x24 (x1x1变式训练：1、已知关于 x 的方程 3x 210xk0 有实数根，求满足下列条件的k 值：

4、（ 1）有两个实数根。（2）有两个正实数根。（3）有一个正数根和一个负数根。（4）两个根都小于2。2最新 料推荐2、已知关于 x 的方程 x2 2axa0 。（ 1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（ 2） a 取何值时，方程有两个正根。（ 3） a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。（ 4） a 取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例 3：已知方程 ax 2bxc0(a0) 的两根之比为1：2，判别式的值为 1，则 a与 b是多少？例 4、已知关于 x 的方程 x22(m2)x m 25 0 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大 16，求m 的值。例 5、若方程

5、x24xm0 与 x2x2m0 有一个根相同，求m 的值。3最新 料推荐基础训练：1关于 x 的方程 ax 22x10 中，如果 a0 ，那么根的情况是（）（ a）有两个相等的实数根（b）有两个不相等的实数根（ c）没有实数根（d）不能确定2设 x1 , x2 是方程 2x 26x30 的两根，则 x1 2x2 2 的值是（）（ a） 15 （b）12 （c）6 （ d） 33下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（ a） 2y 2 +5=6y（b）x2+5=25 x （c）3 x 22 x+2=0 （d）3x2 26 x+1=04以方程 x2 2x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是

6、（）（ a） y2+5y6=0 （ b） y2 +5y6=0 （ c） y2 5y6=0 （d）y25y6=0 5如果 x1，x2 是两个不相等实数，且满足 x122x11，x222x2 1，那么 x1x2 等于（）（ a） 2（ b） 2（c）1（ d） 16. 关于 x 的方程 ax2 2x10 中，如果 a0，那么根的情况是（）（ a）有两个相等的实数根（b）有两个不相等的实数根（ c）没有实数根（d）不能确定7. 设 x1，x2 是方程 2x26x30 的两根，则 x12x22 的值是（）（ a） 15 （b）12 （c）6 （ d） 38如果一元二次方程x24xk20 有两个相等的实

7、数根，那么k9如果关于 x 的方程 2x2(4k+1)x 2 k 2 1 0 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是10已知 x ，x2 7x40的两根，则 xx ，xx，是方程 2x121212（ x1 x2）2 11若关于 x 的方程 (m2 2)x 2 (m2)x 1 0 的两个根互为倒数，则 m.4最新 料推荐二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（ 1） x2 x=5 (2)9x26 2 +2=0 (3)x2 x+2=02、当 m=时，方程 x2+mx+4=0有两个相等的实数根；2当 m=时，方程 mx+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于 x 的方程 10

8、x2 (m+3)x+m7=0，若有一个根为0，则 m=，3，则 m=这时方程的另一个根是；若两根之和为 5，这时方程的两个根为.4、已知 32 是方程 x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。222没有实数根。5、求证：方程 (m +1)x 2mx+(m+4)=06、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1 5 和 1+ 5 。5最新 料推荐7、设 x1,x 2 是方程 2x2+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：x2x12(1) (x 1+1)(x 2+1)(2)x1+x2（3）x1+ x 1x2+2 x 122是一个完全平方式，则 m= ;8、如果 x 2(m+1)x

9、+m+59、方程 2x(mx 4)=x 26 没有实数根，则最小的整数m=;10、已知方程 2(x 1)(x 3m)=x(m4) 两根的和与两根的积相等， 则 m=;11、设关于 x 的方程 x26x+k=0 的两根是 m和 n，且 3m+2n=20，则 k 值为;12、设方程 4x27x+3=0 的两根为 x1,x 2，不解方程，求下列各式的值:(1) x22(2)x1 x2（3） x1211 +x2x2 （4）x1x2 x 1213、实数、分别满足方程 19 299 10 和且 1999 2 0 求代数 4 1式的值。6最新 料推荐14、已知 a 是实数，且方程 x2+2ax+1=0有两个

10、不相等的实根，试判别方程 x2+2ax+11 2 (a 2 x2 a2 1)=0 有无实根？15、求证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子 (x 1)(x 2) k2 都可以分解成两个一次因式的积。16、实数 k 在什么范围取值时，方程kx 22( k1)x(k1)0有实数正根？7最新 料推荐训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t 4=0,; (2)16x2+9=24x,;(3)5(u 2 +1) 7u=0,;2、若方程 x2 (2m1)x+m2 +1=0 有实数根，则 m的取值范围是;3、一元二次方程 x2+px+q=0 两个根分别是 2+ 3和 23 ，则 p

11、=,q=;4、已知方程 3x2 19x+m=0的一个根是 1，那么它的另一个根是，m=;5、若方程 x2+mx 1=0 的两个实数根互为相反数，那么m的值是;6、m,n是 关 于 x 的 方程 x2-(2m-1)x+m 2+1=0的 两 个 实 数 根 ， 则 代 数 式n。m=7、已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于 6，求 k 的值 ;8、如果 和 是方程2x2+3x1=0 的两个根，利用根与系数关系，求作一个一11元二次方程，使它的两个根分别等于 + 和+ ;9、已知 a,b,c 是三角形的三边长，且方程 (a 2+b2+c2)x 2+2(a+b+c)x+

12、3=0 有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10. 取什么实数时，二次三项式2x2(4k+1)x+2k 21 可因式分解 .8最新 料推荐11. 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 2（3） 10 的两实数根为 , ，11若 ，求的取值范围。训练（二）1、已知方程 x23x+1=0 的两个根为 , ，则 +=,=;2、如果关于x 的方程 x24x+m=0 与 x2x2m=0 有一个根相同，则m 的值为;213、已知方程 2x 3x+k=0 的两根之差为 22 ，则 k=;4、若方程 x2+(a 2 2)x 3=0 的两根是 1 和 3，则 a=;5、方程 4x22(a-b)x ab

13、=0 的根的判别式的值是;6、若关于 x 的方程 x2+2(m 1)x+4m2=0 有两个实数根， 且这两个根互为倒数， 那么 m的值为;7、已知 p0,q0 ，则一元二次方程 x2 +px+q=0的根的情况是;8、以方程 x2 3x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是;9、设 x1,x 2 是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：(1)x122122(2)11x +x xx1 x29最新 料推荐10m取什么值时，方程222x (4m+1)x+2m 1=0（ 1）有两个不相等的实数根， （ 2）有两个相等的实数根， （3）没有实数根；11设方程 x2+px+q=0 两根之比

14、为 1:2 ，根的判别式=1，求 p,q 的值。12是否存在实数 k ，使关于 x 的方程 9x 2(4k7) x6k 20 的两个实根 x1, x2 ，满足 x1 3 ，如果存在，试求出所有满足条件的 k 的值，如果不存在，请说明 x2 2理由。10最新 料推荐一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程 ax2+bx+c=0(a0) 的两根是 x1、x2，那么 x1+x2=， x1x2=。2、已知 x1、x2是方程 2x2+3x4=0的两个根，那么： x+x =； x x=； 11；1212x1x2x2 +x2=；(x+1)(x2+1)=； xx 12112=。3、以 2和3为

15、根的一元二次方程 ( 二次项系数为 1) 是。4、如果关于 x的一元二次方程 x2+2x+a=0的一个根是 12，那么另一个根是，a的值为。5、如果关于 x 的方程 x 2+6x+k=0 的两根差为 2，那么 k=。6、已知方程 2x2+mx 4=0两根的绝对值相等，则 m=。7、一元二次方程 px2+qx+r=0(p0)的两根为 0和 1，则 qp=。、已知方程x2mx+2=0的两根互为相反数，则 m=。8、已知关于x的一元二次方程 (a2 1)x 2(a+1)x+1=0 两根互为倒数，则9a=。24x 6=0的两根为 x1和 x2，且x1+x2= 2，则10、已知关于 x的一元二次方程 m

16、xm=， (x 1+x2) x1 x2 =。11、已知方程 3x2+x 1=0，要使方程两根的平方和为13 ，那么常数项应改9为。12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为 6，则这个方程为。11最新 料推荐13、若 、 为实数且 +3+(2 ) 2=0，则以 、 为根的一元二次方程为。 ( 其中二次项系数为 1)14、已知关于 x的一元二次方程 x22(m 1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数， 则m=；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。15、已知方程 x2+4x 2m=0的一个根 比另一个根 小4，则=；=；m=。16、已知关于 x 的方程 x23x+k=0 的两根立方和为

17、 0，则 k=17、已知关于 x的方程 x23mx+2(m1)=0 的两根为 x1、x2，且 113 ，则x1x 24m=。18、关于 x的方程 2x23x+m=0，当时，方程有两个正数根；当 m时，方程有一个正根，一个负根；当 m时，方程有一个根为 0。19、若方程 x24x+m=0与 x2x2m=0有一个根相同，则 m=。20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x2=0两根的二倍， 则所求的方程为。21、一元二次方程 2x23x+1=0的两根与 x2 3x+2=0的两根之间的关系是。22、已知方程 5x2+mx10=0的一根是 5，求方程的另一根及 m的值。23、已知 2+3 是x

18、2 4x+k=0的一根，求另一根和 k的值。24、证明：如果有理系数方程 x2+px+q=0有一个根是形如 a+ b 的无理数 (a、b均为有理数 ) ，那么另一个根必是 a b 。25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根12最新 料推荐的绝对值大 ?(1) x 23x50, (2)x 2263026、已知 x1和x2是方程 2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系， 求下列各式的值：x 31x 2+x1x3227、已知 x1和x2是方程 2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：11x12x 2228、已知 x1和x2是方程 2x23x

19、1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(x21x22)229、已知 x1和x2是方程 2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x1x230、已知 x1和x2是方程 2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x22x131、已知 x1和x2是方程 2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系， 求下列各式的值：x51x22+x21x5232、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+6 和2 6 。33、已知两数的和等于 6，这两数的积是 4，求这两数。34、造一个方程，使它的根是方程 3x27x+2=0的根； (1) 大3；(2)2 倍；(3

20、) 相反数； (4) 倒数。13最新 料推荐35、方程 x2+3x+m=0中的 m是什么数值时，方程的两个实数根满足： (1) 一个根比另一个根大 2； (2) 一个根是另一个根的 3倍； (3) 两根差的平方是 17。36、已知关于 x的方程 2x2 (m1)x+m+1=0的两根满足关系式 x1x2=1，求m的值及两个根。2237、 是关于 x的方程 4x 4mx+m+4m=0的两个实根，并且满足(1)(1) 19 ，求 m的值。10014最新 料推荐38、已知一元二次方程 8x2 (2m+1)x+m7=0，根据下列条件，分别求出m的值：(1) 两根互为倒数；(2) 两根互为相反数；(3)

21、有一根为零；(4) 有一根为 1；(5)两根的平方和为1 。6439、已知方程 x2+mx+4=0和x2(m 2)x 16=0有一个相同的根，求 m的值及这个相同的根。40、已知关于 x的二次方程 x22(a 2)x+a 25=0有实数根，且两根之积等于两根之和的 2倍，求 a的值。15最新 料推荐41、已知方程 x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于 3，两根的平方和等于 29，求 b、c的值。42、设： 3a2 6a11=0，3b2 6b11=0且ab，求 a4b4的值。43、试确定使 x2+(a b)x+a=0的根同时为整数的整数 a的值。16最新 料推荐44、已知一元二次

22、方程 (2k 3)x 2+4kx+2k5=0，且4k+1是腰长为 7的等腰三角形的底边长，求：当 k取何整数时，方程有两个整数根。45、已知： 、 是关于 x的方程 x2+(m2)x+1=0的两根，求 (1+m+2)(1+m + 2) 的值。46、已知 x 1,x2是关于 x的方程 x2+px+q=0的两根， x 1+1、x 2+1是关于 x的方程 x 2+qx+p=0的两根，求常数 p、 q的值。17最新 料推荐2247、已知 x1、x2是关于 x的方程 x +m x+n=0的两个实数根； y1、y2是关于 y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且 x1 y1=2,x 2y2=2，求 m

23、、 n的值。2 2248、关于 x的方程 m x+(2m+3)x+1=0有两个乘积为 1的实根， x +2(a+m)x+2a2 有大于 且小于 的根。求 的整数值。m +6m 4=002a49、关于 x的一元二次方程 3x2(4m21)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求 m的值。18最新 料推荐50、已知： 、 是关于 x的二次方程： (m 2)x 2+2(m4)x+m4=0的两个不等实根。(1) 若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2) 若 2+2=6时，求 m的值。51、已知关于 x的方程 mx2 nx+2=0两根相等，方程 x24mx+3n=0的一个根是

24、另一个根的 3倍。求证：方程 x 2(k+n)x+(k m)=0一定有实数根。52、关于x的方程 x 22 mx1 n 2 =0，其中 m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底4边长。(1) 求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是 8，等腰三角形的面积是 12，求这个三角形的周长。19最新 料推荐53、已知关于 x的一元二次方程 x2+2x+p2=0有两个实根 x1和 x2(x 1x2) ，在数轴上，表示 x2的点在表示 x1的点的右边，且相距 p+1，求 p的值。54、已知关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根为 、，且两个关于 x的方程 x2+( +1)

25、x+ 2=0与x2+( +1)x+ 2=0有唯一的公共根， 求a、b、c的关系式。20最新 料推荐2255、如果关于 x的实系数一元二次方程 x +2(m+3)x+m +3=0有两个实数根 、 ，那么 ( 1) 2+( 1) 2的最小值是多少 ?56、已知方程 2x25mx+3n=0的两根之比为 23，方程 x2 2nx+8m=0的两根相等 (mn 0) 。求证：对任意实数 k，方程 mx 2+(n+k 1)x+k+1=0恒有实数根。57、(1)方程 x2 3x+m=0的一个根是2 ，则另一个根是。(2)若关于 y的方程 y2 my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么 m，n应满足。21最新

26、 料推荐58、不解方程 ,求下列各方程的两根之和与两根之积x 2+3x+1=0；59、不解方程 ,求下列各方程的两根之和与两根之积3x22x1=0；60、不解方程 ,求下列各方程的两根之和与两根之积 2x 2+3=0；61、不解方程 ,求下列各方程的两根之和与两根之积2x2+5x=0。22最新 料推荐62、已知关于 x 的方程 2x2+5x=m的一个根是 2，求它的另一个根及 m的值。63、已知关于 x 的方程 3x21=tx的一个根是 2，求它的另一个根及 t的值。64、设x 1，x2是方程 3x22x 2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(x 1 4)(x24)；(2

27、)x13x24+x14x 23；(3) x11x21；3x23x1(4)x13+x23。23最新 料推荐65、设 x 1，x 2是方程 2x24x+1=0的两个根，求 x1x2的值。66、已知方程 x2+mx+12=0的两实根是 x1和x2，方程 x 2mx+n=0的两实根是 x1+7和 x2+7， 求 m和n的值。67、以 2， 3为根的一元二次方程是()a.x 2+x+6=0b.x 2+x6=0c.x2x+6=0d.x 2 x 6=068、以 3， 1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是()a.3x 22x+3=0b.3x2+2x3=0c.3x2 6x9=0d.3x2+6x9=024最新

28、 料推荐69、两个实数根的和为 2的一元二次方程可能是()a.x 2+2x3=0b.x 2 2x+3=0c.x2+2x+3=0d.x 22x 3=070、以 3， 2为根的一元二次方程为，以31， 3 1 为根的一元二次方程为，22以 5， 5为根的一元二次方程为，以 4， 1 为根的一元二次方程为。471、已知两数之和为 7，两数之积为 12，求这两个数。72、已知方程 2x23x3=0的两个根分别为 a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是：(1)a+1.b+1(2) 2b , 2a a b773、一个直角三角形的两条直角边长的和为 6cm，面积为 2 cm2，求

29、这个直角三角形斜边的长 。74、在解方程 x 2+px+q=0时，小张看错了 p，解得方程的根为 1与 3；小王看错了q，解得方程的根为 4与 2。这个方程的根应该是什么 ?25最新 料推荐75、关于 x 的方程 x 2 ax3=0有一个根是 1，则a=，另一个根是。、若分式 x22x 3 的值为 0，则 x的值为761x()a. 1b.3c.1或3d. 3或 177、若关于 y的一元二次方程 y2+my+n=0的两个实数根互为相反数，则()a.m=0 且n0b.n=0且m 0c.m=0且n0d.n=0且m 078、已知 x 1，x 2是方程 2x 2+3x 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1)(2x13)(2x23)；(2)x13x 2+x1x23。79、已知 a2=1a，b2=1b，且 a b，求 (a1)(b 1)的值。26最新 料推荐80、如果 x=1 是方程 2x2 3mx+1=0的一个根，则 m=，另一个根为。81、已知2， 110，m，n为实数，且1，则m +m4=04m1 =n2nnm。n82、两根为 3和 5