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文档简介

1、第二章 Volterra 方程的求解2.1 第二类Volterra方程求解积分方程是近代数学的一个重要分支，它与微分方程、泛函分析、计算数学和有机分析等有着紧密的联系.同时，它也是解决力学、数学物理和工程技术等问题的一种重要工具.本章首先介绍积分方程的基本概念，其次利用压缩映照原理讨论积分方程的可解性及逐次逼近方法，并扼要介绍Fredholm定理，讨论一些非线性积分方程的解法.第二类Volterra方程一般形式为： , (2.1.1)A 化为常微分方程求解例2.1.1解 由，得,求导得即.例2.1.2 解 求导得定解条件化为微分方程容易得到.定理2.1.1 如果第二类Volterra方程(2.

2、1.1)的核为的次多项式,令，.则(2.1.1)可化为常微分方程求解.例2.1.3 .解 ，,.B.迭代法首先,一般地,如为方程, (2.1.2)的解,则它们的任意线性组合也是方程之解.显然为上面方程之解,称之为平凡解,如为上面方程之解,且不恒为零,称之为非零解或非平凡解.定义2.1.1 凡使齐次方程(2.1.2)具有非平凡解的那些值,称为特征值,而对应于特征值的那些解称为特征函数.下面研究方程(2.1.1)之解,有定理定理2.1.2 设核在区域上连续,在上连续,则方程(2.1.1)有唯一解,且可表示为 ， (2.1.3)其中,，解的展开级数(2.1.3)一致收敛.推论2.1.3 Volter

3、ra方程没有特征值。例 解 ，故可得下面给出迭代解的其他形式.，.记，称为次迭核,为解核.例 ，解，可得，所以例 解 可得所以C：卷积型Volterra方程， (2.1.3)对于此类特殊形式的方程,我们用Laplace变换求解.设连续,具有指数阶,即.定义：其中实数为实数.称为函数的Laplace变换. 变换有与变换类似的性质，这是两种常用的积分变换. 称下面积分为函数的卷积：定理2.1.4(卷积定理), (2.1.4) 对第二类Volterra方程(2.1.3)两边用Laplace变换,利用卷积定理得,即 , (2.1.5)对(2.1.5)求Laplace逆变换,得, (2.1.6)(2.1

4、.6)即为方程(2.1.3)的解.例 解 ,推出,查Laplace逆变换表,容易得出逆变换为.所以方程解为例 解 所以,所以2.2 第一类Volterra方程定理2.2.1 对第一类Volterra方程 , （2.2.1）若可微，且分别在及三角域上连续，则（2.2.1）与第二类Volterra方程 （2.2.2）等价.证明 注意含参变量积分求导公式 （2.2.3）对（2.2.1）两边求导因为，同除之得此外，容易看出（2.2.1）有解，则这是必要条件，也称为相容性条件.例 解 两边求导,这是一个第二类卷积型Volterra方程.用Laplace变换，得，作逆变换例 解 两边求导再求导.例 解 求导得，注意：这是一个第一类Volterra方程，所以无解.习题21、用迭代法解方程 2、求下列核的解核 3、

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