中考专题复习轴对称最值

1、最新资料推荐2015 中考专题复习轴对称之最值例题讲解1（ 2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，rtoab 的顶点 a 在 x 轴的正半轴上 顶点 b 的坐标为 （ 3，），点 c 的坐标为（， 0），点 p 为斜边 ob 上的一个动点，则pa+pc 的最小值为（）a b cd 22（ 2011?本溪）如图，正方形abcd 的边长是4， dac 的平分线交dc 于点 e，若点 p、q 分别是 ad和 ae 上的动点，则dq+pq 的最小值（）a 2b 4c 2d 43（ 2013?宛城区一模） 点 a ，b 均在由边长为1 的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示，若

2、 p 是 x 轴上使得 |pa pb|的值最大的点， q 是 y 轴上使得qa+qb 的值最小的点， 则 op+oq=（）a b 4cd 54如图， a 是半圆上的一个二等分点，b 是半圆上的一个六等分点，p 是直径 mn 上的一个动点，o 半径 r=1 ，则 pa+pb 的最小值是（）a 2b cd5如图，在平面直角坐标系中，点a （ 2， 4）， b（ 4， 2），在 x 轴上取一点p，使点 p 到点 a 和点 b的距离之和最小，则点p 的坐标是（）a （ 2， 0）b （ 4，0）c （ 2， 0）d （ 0， 0）1最新资料推荐6如图， mn 是 o 的直径，点a 是半圆上的三等分点，

3、点b 是劣弧 an 的中点，点p 是直径 mn 上一动点若mn=2，则 pa+pb 的最小值是（）a 2b c 1d 27如图，正方形abcd 的面积为16， abe 是等边三角形，点e 在正方形 abcd 内，在对角线bd 上有一点 p，使 pc+pe 的和最小，则这个最小值为（）a 4b 2c 2d 28（ 2013?资阳）如图，在 rt abc 中， c=90 ， b=60 ，点 d 是 bc 边上的点， cd=1 ，将 abc 沿直线 ad 翻折，使点 c 落在 ab 边上的点 e 处，若点 p 是直线 ad 上的动点，则 peb 的周长的最小值是_9（ 2012?青岛）已知：如图，在

4、 rt abc 中， c=90，ac=6cm ， bc=8cm ， d、 e 分别是 ac 、ab 的中点，连接 de，点 p 从点 d 出发，沿 de 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 q 从点 b 出发，沿 ba 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 p 停止运动时，点 q 也停止运动连接 pq，设运动时间为 t（ s）（0 t4）解答下列问题：（ 1）当 t 为何值时， pqab ？（ 2）当点 q 在 be 之间运动时，设五边形 pqbcd 的面积为 y（ cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（ 3）在（ 2）的情况下，是否存在某一时刻t，使 pq 分四边形 bcd

5、e 两部分的面积之比为spqe： s 五边形pqbcd =1： 29？若存在，求出此时t 的值以及点 e 到 pq 的距离 h；若不存在，请说明理由2最新资料推荐10（ 2013?南充）如图，公路ab 为东西走向，在点a 北偏东 36.5方向上，距离5 千米处是村庄m ；在点 a 北偏东 53.5方向上， 距离 10 千米处时村庄 n（参考数据； sin36.5=0.6，cos36.5=0.8，tan36.5=0.75 ）（ 1）求 m ，n 两村之间的距离；（ 2）要在公路 ab 旁修建一个土特产收购站 p，使得 m ， n 两村到 p 的距离之和最短，求这个最短距离11（2013?日照）问

6、题背景：如图（ a），点 a 、b 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 c，使 ac 与 bc 的距离之和最小，我们可以作出点 b 关于 l 的对称点 b ，连接 a b 与直线 l 交于点 c，则点 c 即为所求（ 1）实践运用：如图（ b），已知， o 的直径 cd 为 4，点 a 在 o 上， acd=30 ， b 为弧 ad 的中点， p 为直径 cd 上一动点，则 bp+ap 的最小值为 _ （ 2）知识拓展：如图（ c），在 rt abc 中， ab=10 ， bac=45 ， bac 的平分线交 bc 于点 d， e、 f 分别是线段 ad 和 ab 上的动点，求 be+

7、ef 的最小值，并写出解答过程12（2010?天津）在平面直角坐标系中，矩形oacb 的顶点 o 在坐标原点，顶点a 、b 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，oa=3 ， ob=4 ， d 为边 ob 的中点（ 1）若 e 为边 oa 上的一个动点，当 cde 的周长最小时，求点e 的坐标；（ 2）若 e、 f 为边 oa 上的两个动点，且ef=2，当四边形cdef 的周长最小时，求点e、 f 的坐标（温馨提示： 可以作点 d 关于 x 轴的对称点 d，连接 cd与 x 轴交于点 e，此时 cde 的周长是最小的 这样，你只需求出 oe 的长，就可以确定点 e 的坐标了）3最新资料推荐13（

8、 2010?淮安）（1）观察发现：如（ a）图，若点a ， b 在直线 l 同侧，在直线l 上找一点p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作点b 关于直线l 的对称点b ，连接 ab ，与直线l 的交点就是所求的点p再如（ b）图，在等边三角形abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点， ad 是高，在ad 上找一点 p，使 bp+pe 的值最小做法如下：作点b 关于 ad 的对称点，恰好与点c 重合，连接ce 交 ad 于一点，则这点就是所求的点p，故 bp+pe 的最小值为 _ （ 2）实践运用：如（ c）图，已知o 的直径 cd 为 4， aod 的度数为60，点 b 是的中点，

9、在直径cd 上找一点p，使 bp+ap 的值最小，并求bp+ap 的最小值（ 3）拓展延伸：如（ d）图，在四边形abcd 的对角线ac 上找一点p，使 apb= apd 保留作图痕迹，不必写出作法14（ 2009?漳州）几何模型：条件：如下图，a、 b 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线l 上确定一点p，使 pa+pb 的值最小方法：作点a 关于直线l 的对称点a ，连接 a b 交 l 于点 p，则 pa+pb=a b 的值最小（不必证明） 模型应用：（ 1）如图 1，正方形 abcd 的边长为2，e 为 ab 的中点， p 是 ac 上一动点连接bd ，由正方形对称性可知， b 与

10、d 关于直线ac 对称连接ed 交 ac 于 p，则 pb+pe 的最小值是_；（ 2）如图 2，o 的半径为 2，点 a 、b、c 在 o 上，oa ob，aoc=60 ，p 是 ob 上一动点， 求 pa+pc 的最小值；（ 3）如图 3， aob=45 ， p 是 aob 内一点， po=10， q、 r 分别是 oa 、 ob 上的动点，求 pqr 周长的最小值4最新资料推荐2013 年 12 月 1066077065的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共7 小题）1（ 2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，rtoab 的顶点 a 在 x 轴的正半轴上 顶点 b 的坐标为 （

11、 3，），点 c 的坐标为（， 0），点 p 为斜边 ob 上的一个动点，则pa+pc 的最小值为（）a b cd 2考点 ： 轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质专题 ： 压轴题分析： 作 a 关于 ob 的对称点d，连接 cd 交 ob 于 p，连接 ap，过 d 作 dn oa 于 n，则此时 pa+pc的值最小，求出 am ，求出 ad ，求出 dn 、cn ，根据勾股定理求出 cd，即可得出答案解答： 解：作 a 关于 ob 的对称点 d，连接 cd 交 ob 于 p，连接 ap ，过 d 作 dn oa 于 n，则此时 pa+pc 的值最小， dp=pa ， pa+pc=pd+p

12、c=cd ， b （3，）， ab=， oa=3 ， b=60 ，由勾股定理得：ob=2，由三角形面积公式得：oa ab=obam ， am= ， ad=2 =3， amb=90 ， b=60 ， bam=30 ， bao=90 ， oam=60 ， dn oa ， nda=30 ， an=ad=，由勾股定理得：dn=， c（，0），5最新资料推荐 cn=3 =1 ，在 rt dnc 中，由勾股定理得：dc=，即 pa+pc 的最小值是，故选 b点评： 本题考查了三角形的内角和定理，轴对称最短路线问题，勾股定理，含30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出p 点的位置，题目比较好，难度适中2

13、（ 2011?本溪）如图，正方形abcd 的边长是4， dac 的平分线交dc 于点 e，若点 p、q 分别是 ad和 ae 上的动点，则dq+pq 的最小值（）a 2b 4c 2d 4考点 ： 轴对称 -最短路线问题；正方形的性质专题 ： 压轴题；探究型分析： 过 d 作 ae 的垂线交ae 于 f，交 ac 于 d ，再过 d作 dp ad ，由角平分线的性质可得出d是d 关于 ae 的对称点，进而可知 dp即为 dq+pq 的最小值解答： 解：作 d 关于 ae 的对称点 d ，再过 d 作 dpad 于 p， dd ae ， afd= afd ， af=af ， dae= cae ，

14、daf daf ， d 是 d 关于 ae 的对称点， ad =ad=4 ， d p即为 dq+pq 的最小值，四边形abcd 是正方形， dad =45 ， ap =pd，在 rtap d中，2222， ad ，pd+ap =ad =166最新资料推荐 ap =pd，2222pd=ad ，即 2pd=16， pd=2，即 dq+pq 的最小值为2故选 c点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键3（ 2013?宛城区一模） 点 a ，b 均在由边长为 1 的相同小正方形组成的网格的格点上， 建立平面直角坐标系如图所示，若 p 是 x 轴上使得 |pa pb|的

15、值最大的点， q 是 y 轴上使得 qa+qb 的值最小的点， 则 op+oq=（）a b 4cd 5考点 ： 轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质分析： 连接 ab 并延长交x 轴于点 p，作 a 点关于 y 轴的对称点a 连接 a b 交 y 轴于点 q，求出点 q 与 y轴的交点坐标即可得出结论解答： 解：连接ab 并延长交x 轴于点 p，由三角形的三边关系可知，点p 即为 x 轴上使得 |pa pb|的值最大的点，点 b 是正方形的中点，点 p 即为 ab 延长线上的点，此时p（ 3， 0）即 op=3；作 a 点关于 y 轴的对称点 a 连接 a b 交 y 轴于点 q，则 a b

16、 即为 qa+qb 的最小值， a （ 1， 2）， b（ 2， 1），设过 a b 的直线为： y=kx+b ，则，解得， q（ 0， ），即 oq= ， op+oq=3+ = 故选： c7最新资料推荐点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意得出p、q 两点的坐标是解答此题的关键4如图， a 是半圆上的一个二等分点，b 是半圆上的一个六等分点，p 是直径 mn 上的一个动点，o 半径 r=1 ，则 pa+pb 的最小值是（）a 2b cd考点 ： 轴对称 -最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系分析： 本题是要在mn 上找一点p，使 pa+pb 的值最小，设a 是 a

17、 关于 mn 的对称点，连接a b，与mn 的交点即为点 p此时 pa+pb=a b 是最小值，可证 oa b 是等腰三角形，从而得出结果解答： 解：作点 a 关于 mn 的对称点 a ，连接 a b，交 mn 于点 p，连接 oa ， aa 作 oq ab ，点 a 与 a 关于 mn 对称，点a 是半圆上的一个二等分点， aon= aon=90 ， pa=pa， b 是半圆上的一个六等分点， bon=30 ， aob= a on+ bon=120 ，又 oa=oa =1， a =30 ， a q=oa cos30=， a b= pa+pb=pa +pb=a b=故选： c点评： 此题考查了

18、轴对称最短路线问题，正确确定p 点的位置是解题的关键，确定点 p 的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要5如图，在平面直角坐标系中，点a （ 2， 4）， b（ 4， 2），在 x 轴上取一点p，使点 p 到点 a 和点 b的距离之和最小，则点p 的坐标是（）8最新资料推荐a （ 2， 0）b （ 4，0）c （ 2， 0）d （ 0， 0）考点 ： 轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质分析： 作 a 关于 x 轴的对称点c，连接 ac 交 x 轴于 d，连接 bc 交交 x 轴于 p，连接 ap ，此时点p 到点 a 和点 b 的距离之和最小，求出c（的坐标，设直线cb

19、 的解析式是y=kx+b ，把 c、 b 的坐标代入求出解析式是y=x 2，把 y=0 代入求出x 即可解答：解：作 a 关于 x 轴的对称点 c，连接 ac 交 x 轴于 d ，连接 bc 交交 x 轴于 p，连接 ap ，则此时 ap+pb 最小，即此时点p 到点 a 和点 b 的距离之和最小， a （ 2， 4）， c（ 2， 4），设直线 cb 的解析式是 y=kx+b ，把 c、 b 的坐标代入得：，解得： k=1， b=2， y=x 2，把 y=0 代入得： 0=x 2，x=2 ，即 p 的坐标是（ 2， 0），故选 c点评： 本题考查了轴对称最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与

20、图形性质等知识点，关键是能画出p 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目6如图， mn 是 o 的直径，点a 是半圆上的三等分点，点b 是劣弧 an 的中点，点p 是直径 mn 上一动点若mn=2，则 pa+pb 的最小值是（）9最新资料推荐a 2b c 1d 2考点 ： 轴对称 -最短路线问题；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理分析： 本题是要在mn 上找一点p，使 pa+pb 的值最小，设a 是 a 关于 mn 的对称点，连接a b，与mn 的交点即为点p此时 pa+pb=a b 是最小值， 可证 oa b 是等腰直角三角形，从而得出结果解答： 解：作点a 关于 mn 的对称点a

21、 ，连接 a b，交 mn 于点 p，连接 oa ， oa ，ob ， pa，aa 点 a 与 a 关于 mn 对称，点a 是半圆上的一个三等分点， aon= aon=60 ， pa=pa，点 b 是弧 an 的中点， bon=30 ， aob= a on+ bon=90 ，又 oa=oa =， a b=2 pa+pb=pa +pb=a b=2 故选 d点评： 本题结合图形的性质，考查轴对称最短路线问题其中求出boc 的度数是解题的关键7如图，正方形abcd 的面积为16， abe 是等边三角形，点e 在正方形 abcd 内，在对角线bd 上有一点 p，使 pc+pe 的和最小，则这个最小值为

22、（）a 4b 2c 2d 2考点 ： 轴对称 -最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质专题 ： 计算题分析： 根据正方形的性质，推出c、 a 关于 bd 对称，推出cp=ap，推出 ep+cp=ae ，根据等边三角形性质推出ae=ab=ep+cp ，根据正方形面积公式求出ab 即可，10最新资料推荐解答：解：正方形abcd ， ac bd ，oa=oc ， c、a 关于 bd 对称，即 c 关于 bd 的对称点是 a ，连接 ae 交 bd 于 p，则此时 ep+cp 的值最小， c、a 关于 bd 对称， cp=ap ， ep+cp=ae ，等边三角形 abe ， ep+cp=ae=a

23、b ，正方形abcd 的面积为16， ab=4 ， ep+cp=4，故选 a 点评： 本题考查了正方形的性质，轴对称最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定 p 的位置和求出 ep+cp 的最小值是 ae ，题目比较典型， 但有一定的难度， 主要培养学生分析问题和解决问题的能力二填空题（共1 小题）8（ 2013?资阳）如图，在 rt abc 中， c=90 ， b=60 ，点 d 是 bc 边上的点， cd=1 ，将 abc 沿直线 ad 翻折，使点 c 落在 ab 边上的点 e 处，若点 p 是直线 ad 上的动点，则 peb 的周长的最小值是1+考点 ： 轴对称 -最

24、短路线问题；含30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）专题 ： 压轴题分析： 连接 ce，交 ad 于 m ，根据折叠和等腰三角形性质得出当p 和 d 重合时， pe+bp 的值最小，即可此时 bpe 的周长最小， 最小值是 be+pe+pb=be+cd+de=bc+be ，先求出 bc 和 be 长，代入求出即可11最新资料推荐解答：解：连接ce，交 ad 于 m ，沿 ad 折叠 c 和 e 重合， acd= aed=90 ， ac=ae ， cad= ead ， ad 垂直平分 ce，即 c 和 e 关于 ad 对称， cd=de=1 ，当 p 和 d 重合时， pe+bp 的值最小

25、，即此时 bpe 的周长最小，最小值是be+pe+pb=be+cd+de=bc+be， dea=90 ， deb=90 ， b=60 ， de=1 ， be=，bd=，即 bc=1+， peb 的周长的最小值是bc+be=1+=1+，故答案为： 1+点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，含30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出p 点的位置，题目比较好，难度适中三解答题（共6 小题）9（ 2012?青岛）已知：如图，在rt abc 中， c=90，ac=6cm ， bc=8cm ， d、 e 分别是 ac 、ab 的中点，连接 de，点 p 从点 d 出

26、发，沿 de 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 q 从点 b 出发，沿 ba 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 p 停止运动时，点 q 也停止运动连接 pq，设运动时间为 t（ s）（0 t4）解答下列问题：（ 1）当 t 为何值时， pqab ？（ 2）当点 q 在 be 之间运动时，设五边形 pqbcd 的面积为 y（ cm2），求 y 与 t 之间的函数关系式；（ 3）在（ 2）的情况下，是否存在某一时刻t，使 pq 分四边形 bcde 两部分的面积之比为spqe： s 五边形pqbcd =1： 29？若存在，求出此时t 的值以及点 e 到 pq 的距离 h；若不存在，请

27、说明理由考点 ： 相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；勾股定理；三角形中位线定理12最新资料推荐专题 ： 代数几何综合题；压轴题；动点型分析： （ 1）如图 所示，当 pq ab 时， pqe 是直角三角形解决问题的要点是将 pqe 的三边长pe、qe、 pq 用时间 t 表示，这需要利用相似三角形（pqe acb ）比例线段关系（或三角函数）；（ 2）本问关键是利用等式 “五边形 pqbcd 的面积 =四边形 dcbe 的面积 pqe 的面积 ”，如图 所示为求 pqe 的面积，需要求出 qe 边上的高，因此过 p 点作 qe 边上的高，利用相似关系（ pme abc ）求出高的表达

28、式，从而问题解决；（ 3）本问要点是根据题意， 列出一元二次方程并求解假设存在时刻 t，使 spqe：s 五边形 pqbcd=1：29，则此时 s= s 梯形 dcbe，由此可列出一元二次方程，解方程即求得时刻t；点 e 到 pq 的pqe距离 h 利用 pqe 的面积公式得到解答： 解：（ 1）如图 ，在 rt abc 中，ac=6 ， bc=8 ab= d、 e 分别是 ac 、 ab 的中点ad=dc=3 ， ae=eb=5 ， de bc 且de=bc=4 pq ab ， pqb= c=90又 de bc aed= b pqe acb由题意得： pe=4 t， qe=2t 5，即，解得

29、 t=；（ 2）如图 ，过点 p 作 pm ab 于 m ，由 pme acb ，得，得 pm=（ 4 t）s=eq?pm= （ 5 2t） ? （ 4 t） = t2t+6，pqes 梯形 dcbe=（ 4+8 ） 3=18， y=18 （t2t+6 ） =t2+t+12（ 3）假设存在时刻t ，使 spqe： s 五边形 pqbcd=1： 29，13最新资料推荐则此时 spqe=s 梯形 dcbe， t 2 t+6= 18，即 2t2 13t+18=0 ，解得 t1=2， t2=（舍去）当 t=2 时，pm=（ 4 2） =， me=（ 4 2） =，eq=5 22=1， mq=me+eq

30、=+1=， pq= pq?h= ， h=?=（或）点评：本题是动点型综合题，解题关键是掌握动点运动过程中的图形形状、图形面积的表示方法所考查的知识点涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的难度注意题中求时刻 t 的方法：最终都是转化为一元一次方程或一元二次方程求解10（ 2013?南充）如图，公路ab 为东西走向，在点a 北偏东 36.5方向上，距离5 千米处是村庄m ；在点 a 北偏东 53.5方向上， 距离 10 千米处时村庄 n（参考数据； sin36.5=0.6，cos36.5=0.8，tan36.5=0.75 ）（

31、 1）求 m ，n 两村之间的距离；（ 2）要在公路 ab 旁修建一个土特产收购站 p，使得 m ， n 两村到 p 的距离之和最短，求这个最短距离14最新资料推荐考点 ： 解直角三角形的应用-方向角问题；轴对称-最短路线问题专题 ： 应用题；压轴题分析： （ 1）过点 m 作 cd ab ，ne ab ，在 rt acm 中求出 cm ，ac ，在 rt ane 中求出 ne，ae ，继而得出md ，nd 的长度，在rt mnd 中利用勾股定理可得出mn 的长度（ 2）作点 n 关于 ab 的对称点 g，连接 mg 交 ab 于点 p，点 p 即为站点，求出 mg 的长度即可解答： 解：（

32、1）过点 m 作 cd ab ， neab ，如图：在 rt acm 中， cam=36.5 ， am=5km ， sin36.5 = =0.6， cm=3 ， ac=4km ，在 rt ane 中， nae=90 53.5=36.5 ， an=10km ， sin36.5 = =0.6， ne=6 ， ae=8km ， md=cd cm=ae cm=5km ，nd=ne de=ne ac=2km ，在 rt mnd 中， mn=km（ 2）作点 n 关于 ab 的对称点 g，连接 mg 交 ab 于点 p，点 p 即为站点，此时 pm+pn=pm+pg=mg ，在 rt mdg 中， mg=

33、5km答：最短距离为5km点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数值求解相关线段的长度，难度较大11（2013?日照）问题背景：如图（ a），点 a 、b 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 c，使 ac 与 bc 的距离之和最小，我们可以作出点 b 关于 l 的对称点 b ，连接 a b 与直线 l 交于点 c，则点 c 即为所求15最新资料推荐（ 1）实践运用：如图（ b），已知， o 的直径 cd 为 4，点 a 在 o 上， acd=30 ， b 为弧 ad 的中点， p 为直径 cd上一动点，则bp+ap 的最小值为2（ 2）知识拓展

34、：如图（ c），在 rt abc 中， ab=10 ， bac=45 ， bac 的平分线交 bc 于点 d， e、 f 分别是线段 ad 和 ab 上的动点，求 be+ef 的最小值，并写出解答过程考点 ： 轴对称 -最短路线问题分析： （ 1）找点 a 或点 b 关于 cd 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和mn 的交点 p 就是所求作的位置根据题意先求出cae ，再根据勾股定理求出ae ，即可得出pa+pb 的最小值；（ 2）首先在斜边 ac 上截取 ab =ab ，连结 bb ，再过点 b 作 b f ab ，垂足为 f，交 ad 于 e，连结 be，则线段 bf 的长即为所

35、求解答：解：（ 1）作点 b 关于 cd 的对称点 e，连接 ae 交 cd 于点 p 此时 pa+pb 最小，且等于 ae 作直径 ac ，连接 ce根据垂径定理得弧bd= 弧 de acd=30 ， aod=60 ， doe=30 ， aoe=90 ， cae=45 ，又 ac 为圆的直径， aec =90 ， c=cae=45 ， ce=ae=ac =2，即 ap+bp 的最小值是 2 故答案为： 2 ；（ 2）如图，在斜边 ac 上截取 ab =ab ，连结 bb ad 平分 bac ，点 b 与点 b关于直线 ad 对称过点 b作 b f ab ，垂足为 f，交 ad 于 e，连结

36、be，则线段 bf 的长即为所求 （点到直线的距离最短）在 rt afb 中， bac=45 ， ab =ab=10 ， b f=ab ?sin45=ab ?sin45=10=5， be+ef 的最小值为16最新资料推荐点评： 此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点p位置是解题关键12（2010?天津）在平面直角坐标系中，矩形oacb 的顶点 o 在坐标原点，顶点a 、b 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，oa=3 ， ob=4 ， d 为边 ob 的中点（ 1）若 e 为边 oa 上的一个动点，当 cde 的周长最小时，求点e 的坐标；（ 2）

37、若 e、 f 为边 oa 上的两个动点，且ef=2，当四边形cdef 的周长最小时，求点e、 f 的坐标（温馨提示： 可以作点 d 关于 x 轴的对称点 d，连接 cd与 x 轴交于点 e，此时 cde 的周长是最小的 这样，你只需求出 oe 的长，就可以确定点 e 的坐标了）考点 ： 轴对称 -最短路线问题；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析： （ 1）由于 c、d 是定点，则cd 是定值，如果 cde 的周长最小，即de+ce 有最小值为此，作点 d 关于 x 轴的对称点d，当点 e 在线段 cd 上时， cde 的周长最小；（ 2）由于 dc、

38、 ef 的长为定值，如果四边形cdef 的周长最小，即de+fc 有最小值为此，作点 d 关于 x 轴的对称点d，在 cb 边上截取cg=2 ，当点 e 在线段 d g 上时，四边形cdef 的周长最小解答： 解：（ 1）如图，作点d 关于 x 轴的对称点d，连接 cd与 x 轴交于点e，连接 de若在边 oa 上任取点e与点 e 不重合，连接ce、 de、 de由 de+ce=de+ce cd=de+ce=de+ce ，可知 cde 的周长最小在矩形 oacb 中， oa=3 ， ob=4 ， d 为 ob 的中点， bc=3 ， do=do=2 ，db=6 ，17最新资料推荐 oe bc

39、， rt doe rt dbc ，有点 e 的坐标为（ 1， 0）；（ 2）如图，作点 d 关于 x 轴的对称点 d，在 cb 边上截取 cg=2 ，连接 dg 与 x 轴交于点 e，在 ea 上截取 ef=2， gc ef， gc=ef ，四边形gefc 为平行四边形，有ge=cf ，又 dc、 ef 的长为定值，此时得到的点e、 f 使四边形cdef 的周长最小 oe bc ， rt doe rt dbg ，有点 e 的坐标为（ ， 0），点 f 的坐标为（， 0）（ 10 分）点评：此题主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说

40、明最短的依据是三角形两边之和大于第三边13（ 2010?淮安）（1）观察发现：如（ a）图，若点a ， b 在直线 l 同侧，在直线l 上找一点p，使 ap+bp 的值最小做法如下：作点b 关于直线l 的对称点b ，连接 ab ，与直线l 的交点就是所求的点p再如（ b）图，在等边三角形abc 中， ab=2 ，点 e 是 ab 的中点， ad 是高，在ad 上找一点 p，使 bp+pe 的值最小18最新资料推荐做法如下：作点b 关于 ad 的对称点，恰好与点c 重合，连接ce 交 ad 于一点，则这点就是所求的点p，故 bp+pe 的最小值为（ 2）实践运用：如（ c）图，已知o 的直径 cd 为 4， aod 的度数为60，点 b 是的中点，在直径cd 上找一点p，使 bp+ap 的值最小，并求 bp+ap 的最小值（ 3）拓展延伸：如（ d）图，在四边形 abcd 的对角线 ac 上找一点 p，使 apb= apd 保留作图痕迹，不必写出作法考点 ： 轴对称 -最短路线问题分析： （ 1）首先由等边三角形的性质知，ce ab ，在直角 bce 中， bec=