二维随机变量及其分布.ppt

1、4 二维随机变量及其分布,一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 二、二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 三、二维连续型随机变量的联合概率密度与边缘概率密度 四、二维随机变量的独立性 五、二维随机变量的条件分布 六、推广（了解）,E: 将一枚硬币连掷三次.,: 二维随机变量的定义,令 X=“正面出现的次数”,则由X,Y构成的二维向量(X,Y),即为定义在E上的二维随机变量。,Y=“正反面次数之差的绝对值”,例子:,二维随机变量的定义:,设E是一个随机试验,其样本空间为S .设X、Y是定义在S上的两个随机变量，由 X,Y 构成的向量(X，Y)称为S的一个二维随机变量。,注意：研究二

2、维随机变量(X,Y),不仅 要研究这两个随机变量之间的相互关系, 还要研究X与Y各自的性质。这就是所 谓联合分布与边缘分布的问题。,(1)定义:设(X,Y)为二维随机变量,对任意实数,为二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。,一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数,1、联合分布函数: F(x,y),x、y, 称,(2)联合分布函数的几何意义,(X,Y)平面上随机点的 坐标,F(x,y)即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点,而位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。,2）0 F（x，y） 1，且,(3)F（x，y）的性质,3) F（x，y）分别关于x和y为右连续函数,1) F（x

3、，y）分别关于x和y为不减函数,F(-,-)=0, F(+,+)=1,即 F（x，y）= F（x+0，y） F（x，y）= F（x，y+0）,2、(X,Y)的边缘分布函数:,设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y),分别把(X,Y)关于X和Y的分布函数FX(x)和FY(y)叫做二维随机变量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数.,注意：求边缘分布时,我们总假设联合分布为已知。,(X,Y) 平面上的随机点,边缘分布函数的几何意义,随机点（X，Y）落 在直线 左方的无穷区域内的概率值。, 随机点（X，Y）落在直线 下方的无穷区域内的概率值。,二、二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律

4、,1、定义 若二维 R.v.（X，Y）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。,中心问题：(X,Y)可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？,（xi,yj),(1)公式法,2、二维D.R.v.（X，Y）的联合分布律:,(2)表格法,例1 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，试求(X,Y)的联合分布律。,（0,3）（1,1）（2,1）（3,3）,P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8,解: (X,Y)所有可能的取值为：,例2 设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(

5、X,Y)的分布律。,分析 (X,Y)的可能取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、 (3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).,解：设X可能的取值为i=1,2,3,4； Y可能的取值为j=1,i.则,说明:P(AB)=P(A)P(B/A),(X,Y)的联合分布律为:,X,Y,设（X，Y）的联合分布律 pij已知 ,则(X,Y)关于X和Y的边缘分布律为：,我们常在表格上直接求边缘分布律,1,例3:求上例中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.,1,作业: 在一个装有3个红球2个白球的盒子中连续取球两次，每次取一只，设,求（X1 ,

6、X2）的联合分布律及边缘分布律. 假设：（1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式,分析 (X,Y)的可能取值为(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1).,三、二维连续型随机变量,定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任意实数 x，y 有,则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）称为（X，Y）的联合概率密度函数。,下面研究一下概率密度函数f(x,y)的性质,1、联合概率密度函数:f(x,y),2、f(x,y)的性质：,1) 非负性: f(x,y) 0；,几何解释？,P51 中间,2) 规范性:,例1:设二维随机变量(X,

7、Y)的概率密度为:,3、由f(x,y)求fX(x)和fY(y)：,设连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y),复习:,同理:,例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,例3:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,补充: (二维均匀分布) 设G为平面上的有界区域 ，其面积为A .若二维随机变量(X,Y)的概率密度为:,例4:设平面区域D由曲线,及直线,所围成，二维随机变量（X , Y）,在区域D上服从均匀分布，则（X , Y）,关于X的边缘概率密度在,处的值为 ,二维正态分布：,记为:,四、随机变量的独立性,1、定义：设X与Y是两个随机变量,若对任意的 x,y有,复习: 两个事件A

8、与B独立性的定义,P(AB)=P(A)P(B),说明:随机变量独立性的结论,(1)由定义可知：若X与Y独立,则,(2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:,例如:验证P54例3与例4中X与Y的独立性。,(3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:,例1:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:,例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,定义：设（X，Y）的联合分布律为,为在 Y=yj 的条件下X的条件分布律.,五、二维随机变量的条件分布,1、当（X，Y）为离散型随机变量时,为在 X=xi 的条件下随机变量Y的条件分布律.,例1:求在p54例3中在 X=2 的条件下Y的条件分布律,

9、2、当（X，Y）为连续型随机变量时,P(Y=yk/X=2) 0 0,类似地可定义：,为在条件,为在条件Y =y下X 的条件概率密度.,例1:设二维随机变量(X,Y)的 概率密度为,下Y 的条件概率密度.,六、n维随机变量（随机向量）P59,由上可知，当X和Y相互独立时，下列两式成立：,2.4小节 1、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 2、二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律 3、二维连续型随机变量的联合概率密度与边缘概率密度 4、二维随机变量的独立性 5、二维随机变量的条件分布,例3:下表给出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值,试完成下表:,

10、例3:下表给出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值,试完成下表:,例4 袋中2黑球3白球，从中连续取球两次，每次取一只，设随机变量X、Y如下：,求（X，Y）的联合分布律及边缘分布律。 假设：（1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式,分析 (X,Y)的可能取值为(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)；,解:(1)在放回抽样下，两次抽取相互独立，故,PX=0,Y=0= PX=0.PY=0 =3/5 .3/5 =9/25,(2)在不放回抽样情况下,P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0/X=0)=3/52/4=3/10,X 0 1 p.j

11、Y 0 1 pi.,解:,(1)在放回抽样下，两次抽取相互独立，故,PX=0,Y=0= PX=0。PY=0=3/5 。3/5 =9/25,类似地可有 PX=0,Y=1=6/25，PX=1,Y=0=6/25， PX=1,Y=1=4/25， 列表如下,而在不放回抽样下， PX=i,Y=j= PY=jX=i。PX=i，i,j=0,1 故有,X 0 1 p.j Y 0 1 pi.,注： 由此例可见:不同的联合分布可有着相同的边缘分布,从而边缘分布不能唯一确定联合分布！,返回,1,三、二维连续型随机变量的联合概率密度与边缘概率密度,复习: 一、二维随机变量的联合分布函数与边 缘分布函数,二、二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律,例5 已知(X,Y)服从G:x2+y2