二次函数压轴题练习汇编

1、16（2012湖北咸宁3分）对于二次函数，有下列说法：它的图象与轴有两个公共点；如果当1时随的增大而减小，则；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为其中正确的说法是 （把你认为正确说法的序号都填上）河北12如图6，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点则以下结论：无论取何值，的值总是正数当时，其中正确结论是（）24.如图，顶点为P（4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON（1）求该二次函数的关系式.（2）若点A的坐标是（6，3），求ANO的面积.（

2、3）当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：证明：ANM=ONMANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由.24、已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且AB=2.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E,D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒 ；设,当t为何值时，s有最小值，并求出最小值。 （3

3、）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。25.已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过点，方程的两根为，且。（1）求抛物线C1的顶点坐标.（2）已知实数，请证明：,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设， 是C2上的两个不同点，且满足： ，.请你用含有的表达式表示出AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则P，Q两点间的距离）【答案】解：（1）抛物线过（,）点，3a。a 。x2bx x2b

4、x=的两根为x1，x2且，且b。b。抛物线的顶点坐标为（，）。别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则由 得 ，即。AOB的最小值为，此时m,(,)。直线OA的一次函数解析式为x。25抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EFx轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若MNC=90，请指出实数m的变化范

5、围，并说明理由【解答】解：（1）由题意得：，解得：，抛物线解析式为；（2）令，x1= -1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，解得：，直线BC的解析式为，设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，SBDC=SPDC+SPDB，当时，BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，OF=1，EF=4，OC=3，过C作CHEF于H点，则CH=EH=1，当M在EF左侧时，MNC=90，则MNFNCH，设FN=n，则NH=3-n，即n2-3n-m+1=0，关于n的方程有解，

6、=（-3）2-4（-m+1）0，得m，当M在EF右侧时，RtCHE中，CH=EH=1，CEH=45，即CEF=45，作EMCE交x轴于点M，则FEM=45，FM=EF=4，OM=5，即N为点E时，OM=5，m5，综上，m的变化范围为：m525.在-次数学活动课上，老师出了-道题： (1)解方程x2-2x-3=0. 巡视后老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。 接着,老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题： (2)解关于x的方程mx2+(m一3)x一3=0(m为常数，且m0). 老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着,老师将第二道题变式为第三道题：(3)已知关于x

7、的函数y=mx2+(m-3)x-3(m为常数). 求证：不论m为何值,此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点(设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C)； 若m0时,设此函数的图象与x轴的另一个交点为反B,当ABC为锐角三角形时,求m的取值范围；当ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围. 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题. 25.解：（1）由x22x30，得（x+1）(x3)=0x1=1,x2=3 （2）方法一：由mx2+(m3)x3=0得（x+1）(mx3)=0 m0, x1=1,x2= 方法2：由公式法： x1=1,x2=（3）1当m=0时，函数y= mx2+(m3)x3为y=

8、3x3，令y=0,得x=1令x=0,则y=3. 直线y=3x3过定点A（1,0）,C（0，3）2当m0时，函数y= mx2+(m3)x3为y=（x+1）(mx3)抛物线y=（x+1）(mx3)恒过两定点A（1，0）,C（0，3）和B（，0）当m0时，由可知抛物线开口向上，且过点A（1，0）,C（0，3）和B（，0）， 观察图象，可知，当ABC为Rt时，则AOCCOB32=1 OB=9.即B(9,0) 当.即：m 当m时，ABC为锐角三角形 观察图象可知 当0m90,当m90 ABC是钝角三角形. 当0m或m0且m3时， ABC为钝角三角形 24（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田12分）如

9、图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过A（1，0），B（4，0）两点， ，解得：。抛物线解析式为。当y=2时，解得：x1=3，x2=0（舍去）。点D坐标为（3，2）。（2）

10、A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为一边时，AEPD，P1（0，2）。当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，P点的纵坐标为2。代入抛物线的解析式：，解得：。P点的坐标为（，2），（，2）。综上所述：P1（0，2）；P2（，2）；P3（，2）。（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方。设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（），当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，PQ=。又CQO+FQP=90，COQ=QFP=90，FQP=OCQ，COQQFP，即，解得F Q=a3OQ=OFF Q=a（a3）=3， 。此时a

11、=，点P的坐标为（）。当P点在y轴左侧时（如图2）此时a0，0，CQ=a，PQ=。又CQO+FQP=90，CQO+OCQ=90，FQP=OCQ，COQ=QFP=90。COQQFP。，即，解得F Q=3a。OQ=3，。此时a=，点P的坐标为（）。综上所述，满足条件的点P坐标为（），（）。25（2012湖北武汉12分）如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C(1)求点C的坐标；(2)如图1，平行于y轴的直线x3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线xa 交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE43，求a的值；(3)如图2，将抛物

12、线C1向下平移m(m0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQx轴于点Q，当NP平分MNQ时，求m的值解：（1）当x=0时，y2。A（0，2）。 设直线AB的解析式为，则，解得。 直线AB的解析式为。 点C是直线AB与抛物线C1的交点， ，解得（舍去）。 C（4，6）。（2）直线x3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E， ，DE=。 FG：DE43，FG=2。 直线xa交直线AB于点F，交抛物线C1于点G， 。FG=。 解得。（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NHy轴于点H。 设点M的坐标为（t,0），抛物线C2的解析式为。 。P（0，）。 点

13、N是直线AB与抛物线C2的交点， ，解得（舍去）。N（）。 NQ=，MQ=。NQ=MQ。NMQ=450。 MOT，NHT都是等腰直角三角形。MO=TO，HT=HN。 OT=t，。 PN平分MNQ，PT=NT。 ，解得（舍去）。 。26（2012湖北襄阳12分）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO

14、以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）四边形ABCO为矩形，OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10。由折叠的性质得，BDCEDC，B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD。由勾股定理易得EO=6。AE=106=4。设AD=x，则BD=CD=8x，由勾股定理，得x2

15、+42=（8x）2，解得，x=3。AD=3。抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），解得。抛物线的解析式为：。（2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90，DEA=OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，PC=102t。当PQC=DAE=90，ADEQPC，即，解得。当QPC=DAE=90，ADEPQC，即，解得。当或时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似。（3）存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：M1（4，32），N1（4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）。25（2012湖北孝感12分）)

16、如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQAC交x轴于点Q当点P的坐标为 时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为 时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)【答案】解：（1）抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)， 可设抛物线的解析式为。 又抛物线yax2bxc(a0) 与y轴交于点C(0，3

17、)， ，解得。 抛物线的解析式为。即。 又，抛物线顶点D的坐标为（1，4）。（2）设直线BD的解析式为， 由B（3，0），D（1，4）得，解得。直线BD的解析式为。 点P在直线PD上，设P（p，）。 则OA=1，OC=3，OM= p，PM=。 。 ，当时，四边形PMAC的面积取得最大值为，此时点P的坐标为（）。 （3）（2，3）；（）。如图，四边形PQAC是平行四边形时，CPx轴，点P在抛物线上，点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称。 C(0，3)，P（2，3）。如图，四边形PQAC是等腰梯形时， 设P（m，）， 过点P作PHx轴于点H，则H（m，0）。易得ACOQNP，。OA=1，OC=3

18、，HP=，即。AQ=AO+OHQH=。又由勾股定理得，。由四边形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ2=CP2，整理得，解得或。当时，由知CPAQ，四边形PQAC是平行四边形，不符合条件，舍去。当时，CP与AQ不平行，符合条件。P（）。25、 如图11，已知二次函数的图像过点A(-4，3），B(4，4). （1）求二次函数的解析式：ZxxkCom （2）求证：ACB是直角三角形； （3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）将A(-4，3），B(4，4)代

19、人中，整理得： 解得 二次函数的解析式为： ， （2）由 整理 X1=-2 ，X2= C （-2，0） D 从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65 AC2+ BC2=AB2 故ACB是直角三角形 （3）设 （X0） PH= HD= AC= BC= 当PHDACB时有： 即： 整理 （舍去）此时， 当DHPACB时有： 即： 整理 （舍去）此时， 综上所述，满足条件的点有两个即 25如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，

20、并求出点M的坐标（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MAMB=MAMC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MAMB的值最小。设直线AC的解析式为y=kxb，A（4，0），C（0，3）， ，解得。直线AC的解析式为：y=x3。令x=1，得

21、y= 。M点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若BCAP1，此时梯形为ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6， BC=2，P1ABC。四边形ABCP1为梯形。若ABCP2，此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N，BCx轴，ABCP2，四边形ABCN为平行四边形。AN=BC=2。N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线CN的解析式为： y=x+3。点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上

22、，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为6。P2（6，6）。ABCN，AB=CN，而CP2CN，CP2AB。四边形ABCP2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（2，0）或（6，6）。24如图8，抛物线：与轴的交点为，与轴的交点为，顶点为,将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线,它的顶点为.图8（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与轴的另一个交点为,点是线段上一个动点（不与重合），过点作轴的垂线，垂足为,连接.如果点的坐标为,的面积为S，求S与的函数关系式，

23、写出自变量的取值范围，并求出S的最大值；（3）设抛物线的对称轴与轴的交点为，以为圆心，两点间的距离为直径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由.24（本小题满分10分）解：（1）抛物线的顶点为，的解析式为=，.1分抛物线是由抛物线绕点旋转得到，的坐标为，抛物线的解析式为：，即.3分（2）点与点关于点中心对称，.设直线的解析式为，则 .4分又点坐标为，S=，5分当时，S有最大值，6分但,所以的面积S没有最大值 7分（3）抛物线的解析式为，令得.抛物线的对称轴与轴的交点为，,又G的半径为5，点在G上. 8分过点作轴的垂线，垂足为，则. 9分又,直线与G相切. 10分湖南娄底24已知二次函数y=x2

24、（m22）x2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1x2，与y轴交于点C，且满足（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由解答：解：（1）二次函数y=x2（m22）x2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1x2，令y=0，即x2（m22）x2m=0 ，则有：x1+x2=m22，x1x2=2m=，化简得到：m2+m2=0，解得m1=2，m2=1当m=2时，方程为：x22x+4=0，其判别式=b24ac=120，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍

25、去；当m=1时，方程为：x2+x2=0，其判别式=b24ac=90，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意m=1，抛物线的解析式为y=x2+x2（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形ZxxkCom如图所示，连接PAPBACBC，过点P作PDx轴于D点抛物线y=x2+x2与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，A（2，0），B（1，0），C（0，2），OB=1，OC=2PACB为平行四边形，PABC，PA=BC，PAD=CBO，APD=OCB在RtPAD与RtCBO中，RtPADRtCBO，PD=OC=2，即yP=2，直线解析式为y=x+3，xP=1，P（1，2

26、）所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（1，2）25如图所示，已知二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PHl，H为垂足（1）求二次函数y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使y0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解答

27、：解：（1）二次函数y=ax2+bx1（a0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），解得a=，b=0，二次函数的解析式为y=x21，（2）令y=x21=0，解得x=4或x=4，由图象可知当4x4时y0，（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4，当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25，由此发现|PO|2=|PH|2，设P点坐标为（m，n），即n=m21 |OP|=， |PH|2=n2+4n+4=n2+m2，故对于任意实数m，|PO|2=|PH|2；（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP

28、成立，POH为正三角形，设P点坐标为（m，n），|OP|=， |OH|=， |OP|=|OH|，即n2=4，解得n=2，当n=2时，n=m21不符合条件，故n=2，m=2时可使POH为正三角形26我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2（1）求C1和C2的解析式；（2）如图，过点B作直线BE：y=x1交C1于点E（2，），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B

29、、C为顶点的PBC与BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线C1、C2都过点A（3，0）、B（3，0），设它们的解析式为：y=a（x3）（x+3）。抛物线C1还经过D（0，3），3=a（03）（0+3），解得a=。抛物线C1：y=（x3）（x+3），即y=x23（3x3）。抛物线C2还经过A（0，1），1=a（03）（0+3），a=抛物线C2：y=（x3）（x+3），即y=x2+1（3x3）。（2）直线BE：y=x1必过（0，1

30、），CBO=EBO（tanCBO=tanEBO=）。由E点坐标可知：tanAOE，即AOECBO，它们的补角EOBCBx。若以点P、B、C为顶点的PBC与BOE相似，只需考虑两种情况：CBP1=EBO，且OB：BE=BP1：BC，由已知和勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。3：=BP1：，得：BP1=，OP1=OBBP1=。P1（，0）P2BC=EBO，且BC：BP2=OB：BE，即：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2OB=。P2（，0）综上所述，符合条件的P点有：P1（，0）、P2（，0）。（3）如图，作直线l直线BE，设直线l：y=x+b。当直线l与抛物线C1只有一个交点时：x+b=x23，即：x2x（3b+9）=0。由=（1）24（3b+9）=0。得。此时，。该交点Q2（）。过点Q2作Q2FBE于点F，则由BE：y=x1可用相似得Q2F的斜率为3，设Q2F：y=3xm。将Q2（）代入，可得。Q2F：y=3x。联立BE和Q2F，解得。F（）。Q2到直线 BE：y=x