高中数学 因式分解学案 苏教版必修

1、因式分解一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议因式分解公式法掌握熟悉因式分解的常用方法，会选择适当的方法分解因式分组分解法拆项添项法换元法十字相乘法求根法待定系数法二、 预习指导1 预习目标通过复习初中所学的整式乘法公式，推出立方和、立方差等公式；回顾并总结已学的因式分解的概念和一些基本的方法如(公式法、分组分解法、提取公因式法等) 2 预习提纲(1) 高中代数学习中常用公式：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式 ；完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：立方和公式 _；立方差公式 _；三数和平方公式 _；两数和立方公式 _；两数差立方公式 _对上面列出的五个

2、公式，请同学们补充完整公式应用如(1)计算：解法一：原式 解法二：原式 再如；已知，求的值解： 点评：以上两道例题关键是要对一些整式的乘法公式非常熟悉(2) 因式分解的常用方法：提取公因式法十字相乘法分组分解法求根法待定系数法拆项、添项法掌握以上这些方法的特点，技巧等3 典型例题(1) 提取公因式法例1 把下列式子分解因式： (1)； (2). 解：(1)(2) 点评：通过观察整式中的公因式，及时进行提取公因式来分解因式(2) 十字相乘法例2 分解因式：(1)； (2)； (3)； (4)； (5)分析：学习十字相乘法，能熟练运用十字相乘法分解因式解：(1)如图11，将二次项x2分解成图中的两

3、个x的积，再将常数项2分解成1与2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2中的一次项，所以，有aybyx1= x2Oyxx2x1Oby11图134312图12x23x2(x1)(x2) 1211图11(2)由图12，得2x25x12(x4)(2x3)(3)由图13，得 (4) (5) 点评：十字相乘的关键在于要会熟练的把常数项分解然后再交叉相乘求和这一过程因为对于系数较大，分解种类较多的问题就需要多次尝试(3) 分组分解法例3 分解下列因式：(1)；(2)；(3)；(4)分析：思路突破：分别运用提取公因式法、公式法、分组分解法求解(1)思路一：从次数的角度看，可以将x2与

4、y2，2x与2y合并，分组分解思路二：从合并同类字母的角度看，可以将x2,2x；y2,2y分组后再分解(2)从次数角度看2a2与a2b，bc2与2ac分组分别都可以分解因式，但它们之间没有公因式，从数字角度看可以将2a2与2ac，bc2与a2b分组，再分解因式(3)先分组再分解，也可利用公式法(立方和公式与和的立方公式)分解因式解：(1)解法一： 解法二：(2)(3)解法一: 解法二： (4)解法一：解法二：(4) 求根法例4 把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)；(2)分析：关于x的二次三项式ax2bxc(a0)的因式分解可用公式法求解，也可用求根法求解，即若关于x的方程的两个实数根是、

5、，则二次三项式就可分解为解：(1)解法一：(x1)22解法二：令0，则解得， 点评：解法一其实是利用配方法求根，解法二是利用了求根公式(2)解法一：解法二：令0，则解得，点评：在用求根法分解类似“”这类式子时，求根的方法一般可以采用配方法和求根公式法(5) 待定系数法例5 分解因式：分析：通过观察我们可以发现 当取时，上式为0，因此可知为上式的一个因式因此可设解：根据已知条件，设 ， 则， 由此可得解之得， 点评：此题先是试根，然后根据先有的因式再用待定系数法求解(6) 拆项、添项法例6 分解因式：分析：本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧解：

6、解法1 将常数项8拆成19原式 x39x19(x31)9x9(x1)(x2x1)9(x1)(x1)(x2x8) 解法2 将一次项9x拆成x8x原式 x3x8x8(x3x)(8x8)x(x1)(x1)8(x1)(x1)(x2x8) 解法3 将三次项x3拆成9x38x3原式9x38x39x8(9x39x)(8x38)9x(x1)(x1)8(x1)(x2x1) (x1)(x2x8) 解法4 添加两项x2x2原式 x39x8x3x2x29x8x2(x1)(x8)(x1)(x1)(x2x8)点评：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观

7、察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种4 自我检测(1)若是一个完全平方式，则等于_(2)若是一个完全平方式，则_(3)填空： ( )； ； (4)分解因式： ； ； ； ； 三、课后巩固练习 A组1将下列多项式分解因式： (1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)2把下列各式分解因式：(1) ； (2)； (3)； (4)3把下列各式分解因式：(1)； (2)；(3)； (4)； (5)； (6) x2x(a2a)4分解因式：(1) ； (2) ； (3) ； (4)； (5)；(6) 5已知a2b3，求a22a4b24b4ab3的值B组

8、6.在整数范围内分解因式：(1； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)；(9)； (10)；7.在整数范围内分解因式：； ； ； 8在整数范围内分解因式：；(5)； (6)；(7)； (8)；(9) ； (10)；C组；10三边，满足，试判定的形状11已知多项式可以分解为的形式，求的值12为何值时，多项式有一个因式是13如果有两个因式，则=_14已知是多项式的因式，则_；_15已知是的一个因式，求的值16为何值时，多项式能分解成两个一次因式的积四、 学习心得五、 拓展视野形如的多项式的分解形如的多项式的分解，常用的方法有：求根法、待定系数法、双十字相乘法和双零分解法当然

9、结合多项式的特点可以采用灵活的方法，如若已知它的一个因式，可用分析二次项和常数项的方法，较容易的求得现举例说明：方法一、求根法利用求根法因式分解，形如的二元二次多项式可看成关于(或)的一元二次多项式用求根公式求出两根，则原式在实数范围内，原多项式分解成两个一次因式，必须是关于的方程的判别式是的一次式的完全平方式，为此这个判别式的判别式必须是0例1 为何值时，能分解成两个一次式的乘积，并进行分解分析：把上面的多项式看成的一元二次式，令这个一元二次式为0，解出的两个值，则原式6，这里只须研究何值时，是的一次式即可解：设0，把此式看成关于的一元二次方程，则该方程的判别式：，要使方程的解为的一次式，必

10、须为完全平方式，那么判别式的判别式必须是零，(1)当时，由解得则原式(2)当时，由解得则原式练习：把分解因式答案：原式方法二：待定系数法用待定系数法因式分解的一般步骤：1.根据多项式的特点，确定所能分解成的形式要尽量减少待定系数的个数，以利求解2.利用多项式恒等定理，列出以待定系数为未知数的方程或方程组3.解方程组，如方程或方程组有解，则原式可以分解为所设的形式；如果无解，则原方程组不能分解为所设的形式如果方程组有解，把解得的待定系数的数值代入所设的分解式中例2 为何值时，多项式可分解为两个一次因式的积分析：先设可分解成两个一次式，原式中的是的项未知系数为使待定系数尽量少，可先考虑，所以可设：

11、原式，也可以先考虑，所以可设：原式，这里只解前者解：设 由两边对应项系数相等得：，解此方程组得或当时，原式可分解为；当时，原式可分解为=练习：为何值时，能分解成两个一次式的乘积，并进行分解答案：解得或原式可分解为或说明：上面方法是常用的两种方法，特别是求待定系数很有效；不含待定系数的也可用双十字相乘法方法三、双十字相乘法双十字相乘法即运用两次十字相乘法，第一次运用十字相乘法将多项式中的二次齐次式分解因式，然后再运用一次十字相乘法其理论依据：若可分解为，则当时，例3 把分解因式解：可先用十字相乘法，把分解， ，然后再用十字相乘法，于是原式练习：分解因式答案：原式方法四、双零分解法理论依据：若可分解为，则当时有；当时有因此在分解上述二元二次多项式时，可令得关于的二次三项式分解为；再令得关于的二次三项式并分解为；注意这里两分解式中的常数项应相同，如果不同就要变形使其相同这时有例4 分解因式解：令有；令有所以有练习