分数的意义和性质能力培训

1、分数的意义和性质能力培训培训教师：刘新民一、能力指导例1：有同样大小的红、黑、白三种颜色的珠子共89个，按1个红珠、3个白珠、2个黑珠的顺序排列。三种颜色的珠子各占总数的几分之几？6个1组6个1组分析与解答：要求出三种颜色的珠子各占总数的几分之几，应先求出每种颜色的珠子各有多少个。三种颜色的珠子是按1个红珠、3个白珠、2个黑珠的顺序排列，周期为1+3+2=6（个），那么89个珠子共有896=14（组）5（个），如下图：黑白白白红黑黑白白白红89=614+5从上图中可看出89个珠子中共有14个周期，还剩5个，而每个周期中有1个红珠、3个白珠、2个黑珠，那么14个周期中红珠有114=14（个），白

2、珠有314=42（个），黑珠有214=28（个），剩下的5个珠子中有1个红珠，3个白珠和1个黑珠，所以这89个珠子中共有红珠14+1=15（个），白珠42+3=45（个），黑珠28+1=29（个），所以红珠占总数的1589=，白珠占总数的4589=，黑珠占总数的2989=。例2：四名射击运动员在训练场进行射击训练。他们每人都打了6发子弹，且都打中了一次十环，三次九环，两次八环。现在知道他们剩下的子弹总数等于他们出来时两人所带的子弹数。他们出发时，一共带了多少发子弹？分析与解答：由他们剩下的子弹总数等于他们出来时两人所带的子弹数可知他们用的子弹数也等于他们出来时两人所带的子弹数，他们用了64=2

3、4（发）子弹，那么他们出来时每人带了242=12（发）子弹，所以他们出发时一共带了124=48（发）子弹。例3：一个分数的分子与分母的和是42，如果分子加上8，这个分数就等于1.这个分数原来是多少？分析与解答：如果分子加上8，这时分子、分母的和是42+8=50，这时这个分数就等于1，说明此时分子与分母相等，即分子、分母各502=25，那么原来的分子是25-8=17，所以这个分数原来是。例4：从2，3，5，7，11这五个数中，任取两个不同的数分别作为一个分数的分子与分母，这样的分数有多少个？分析与解答：根据组合的有关知识可知，从五个数中任取两个数共有1+2+3+4=10（种）不同的取法，也就是说

4、分子、分母不交换位置可以组成10个不同的分数，再把分子、分母交换位置有可以组成10个不同的分数，所以一共可以组成102=20（个）这样的分数。例5：一个分数，分母比分子大15，它的分数值等于，这个分数是多少？分析与解答：由题意可知，原来的分数的分子与分母的差是15，而分数值的分子与分母的差是8-3=5，根据分数的基本性质，把的分子与分母同时扩大155=3倍，即=就是要求的这个分数。例6：一个分数，它的分子和分母同时除以一个相同的数的，原分子与分母的和是80，求这个分数。分析与解答：原来分数的分子和分母同时除以一个相同的数的，则原来分数与的大小是相等的，因为原分数的分子与分母的和是80，分子、分

5、母同时除以一个相同的数后的分子与分母的和是9+7=16，分子与分母的和从80变成16，缩小了8016=5倍，那么将的分子与分母同时扩大5倍就是原来的数，即=。例7：求9021和9991的最大公因数。分析与解答：这两个数比较大，它们的公因数很难找，可以用辗转相除法来求，先用较大数除以较小数，即99919021=1970，再用上次的除数除以所得余数，即9021970=9291，还是用上次的除数除以所得余数，即970291=397，还用上次除数除以余数，即29197=3，直到整除为止，那么最后一个除数97就是9021和9991的最大公因数。例8：张老师给全班同学带来一些糖果。如果把110块糖果平均分

6、给同学们，则多5块；如果把210块糖平均分给同学们。则正好分完；如果把240块糖果平均分给同学们，则还少5块。张老师的班级最多有多少名同学？分析与解答：把110块糖果平均分给同学们，则多5块，如果从中取出5块，即110-5=105（块）则正好分完，同理把240块糖果平均分给同学们，则还少5块，如果再加5块，即240+5=245（块）则正好分完，把210块糖平均分给同学们，也正好分完，说明这个班的人数是105，245和210的公因数，最多有多少名同学，就是求这三个数的最大公因数，即105，245和210的最大公因数是35，故张老师的班级最多有35名同学。例9：将一块长是120m、宽80m的长方形

7、土地划分成面积相等的小正方形。小正方形的面积最大是多少？分析与解答：要使小正方形的面积最大，那么它的边长要最大，由题意可知小正方形的边长是120和80的公因数，最大的边长是这两个数的最大公因数，即最大边长是40m，所以小正方形面积最大是4040=1600（m）。例10：分数的分子、分母同时加上一个数，约分后得，同时加上的这个数是多少？分析与解答：一个分数的分子和分母同时加或减一个数，分子和分母的差不变。由于分数的分子、分母的差是13-5=8，分子和分母的差是2-1=1，分子、分母的差从8变成1，说明原分数的分子和分母同时缩小了81=8倍，那么分子和分母同时扩大8倍就是原来的分数，即原来分数为=

8、，那么同时加上的这个数是8-5=3。例11：一个分数的分母减去3得，将它的分母加上1，则得，求原分数是多少？分析与解答：由题意可知，新分数的分子未变，那么可以把和根据分数的基本性质把它们化成分子相同的两个分数，即=；=，其中和，和，和均不符合题意，所以把这两个分数分别化成和，所以原分数的分母为12+3=15，16-1=15，则原分数为。例12：是最简真分数，可以取的整数有多少个？分析与解答：要使是最简真分数，不能是24的因数，且24，即19，不能是2、3、4、6、8、12的倍数，则不能为1，3，4，5，7，9，10，11，13，15、16、17那么可以取0，2，6，8，12，14，18共7个。

9、例13：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？b1a115ba分析与解答：假设这两个数分别为a和b，再根据两个数的最大公因数是15用短除法分解这两个数，商为a1、b1最后根据两个数的最小公倍数是90分别求出这两个数，具体过程如下：根据最小公倍数的求法，15a1b1=90，则a1b1=6=16=23。当a1、b1分别为1和6时，a=151=15，b=156=90当a1、b1分别为2和3时，a=152=30，b=153=45综合上述，这两个数分别是15和90或者30和45。例14：两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？分析与解

10、答：因为两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，又因为最大公因数和最小公倍数的积是60720=43200，其中一个数是180，所以另一个因数为43200180=240。例15：一盒围棋子，4颗，4颗地数多3颗，6颗，6颗地数多5颗，15颗，15颗地数多14颗，这盒围棋的数量在150至200之间，问这盒围棋子共有多少颗？分析与解答：由已知条件可知，这盒围棋子只要多加1颗，正好是4，6，15的公倍数是60，这盒围棋的数量在150至200之间，则603=180（颗），从总数中减去加的1颗，所以这盒围棋子共有180-1=179（颗）。例16：加工某种机器零件要经过三道工序。第一道工序每

11、人每小时可完成6个零件，第二道工序每人每小时可加工5个零件，第三道工序每人每小时可加工15个零件。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几人？分析与解答：要使加工生产均衡，三道工序加工的零件总数是相等的。根据题意可知，三道工序加工的零件总数应是6，5，15的的公倍数，要求三道工序至少各分配几人，应先求出6，5，15的最小公倍数，即30。所以第一道工序至少要分配306=5（人），第二道工序至少要分配306=5（人），第三道工序至少要分配3015=2（人）。例17：一次会餐共用了75个碗，每人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，四人一碗水果，参加会餐的有多少人？分析与解答：根据题意，参加这次会餐的

12、人数是1，2，3，4的最小公倍数，即12人，这12人要121+122+123+124=25（个）碗，因为75个碗里面共有7525=3（个）25（个）碗，所以参加会餐的有123=36（人）例18：、两个自然数同时满足以下两个条件：（1） （2）+=22求、的值。分析与解答：根据分数的基本性质，分子、分母同时扩大3倍，即=；=，因为，则可以是和，满足+=22的只有，所以=3，=19。例19：把0.和0.2化成分数。分析与解答：（1）0.是纯循环小数，可以移动循环节把它转化成分数。0.= 0. 0.100=53. -得：0.100-0.= 53. -0.990.=53 则0.=（2）0.2是混循环小

13、数，同样可以移动循环节的方法把它转化成分数。0.210=2. 0.21000=231. -得：0.21000-0.210=231.- 2.9900.2=229 则0.2=总结：1. 纯循环小数化成分数：分子是又一个循环节的数字组成；分母的各位数字都是9,9的个数与循环节的位数相同。用字母表示为0.=。2. 混循环小数化成分数：分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的前几位数字是9，末几位数字是0,9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。用字母表示为0.a=。例20：一个分数的分子缩小到原来的后，化成小数是0.04.

14、原分数的分母扩大到原来的几倍后能化成小数0.02？分析与解答：分子缩小到原来的后，化成小数是0.04，即那么原来分数为=，因为0.02=，所以原分数的分母扩大到原来的10025=4倍后能化成小数0.02。二、能力训练。1. 为庆祝中国共产党成立90周年，张老师带领手工小组的同学把40张彩纸平均分成了8份。折花朵用去了4份，做彩带用去的彩纸是折花朵份数的一半，余下的做小旗。做彩带、做小旗各用去彩纸的几分之几？2. 在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树、1棵柳树的规律栽。杨树、柳树各占植树总数的几分之几？3. 一个分数，分子和分母的和是28，如果分子减去2，这个分数就等

15、于1，原分数是多少？4. 一个假分数的分子是47，把它化成带分数后，分子、分母和整数部分是3个连续的自然数。这个假分数是多少？化成的带分数是多少？5. 一个分数的分数值是，如果分子加3，这个分数就等于自然数1，求这个分数。6. 求8251和6105的最大公因数。7. 把38个苹果和31个梨分给若干个小朋友，使每个小朋友分得的苹果的个数相同。结果苹果多2个，梨多3个，分到苹果和梨的小朋友最多是几个？每人分得几个苹果和几个梨？8. 有三根木料，长度分别是120、180和300.现在要把它们截成相等的小段，且每根都不能有剩余，每根小棒最长是多少厘米？一共可以截成多少段？9. 的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分后是，减去的这个数是多少？10.一个分数，分子加分母等于168；分子、分母都减去6，分数变成，原分数是多少？11. 两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？12. 有一车饮料，3箱3箱地数剩1箱；5箱5箱地数剩1箱；7箱7箱地数剩1箱。这车饮料至少有多少箱？13. 学校在甬路的一旁栽了一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是80m，原来每隔2m栽一棵，现在小树长大了，改为每