历届大学物理力学试题解答

1、历届大学物理力学试题解答 （共21题）,1、均匀细杆AOB 的A 端，B 端和中央位置O处各有1个光滑的小孔先让杆在光滑的水平大桌面上绕 O 孔以角速度 w。作顺时针方向旋转如图（图平面为大桌面）。今将一光滑的细杆迅速插入 A 孔，棍在插入前后无任何水平方向的移动，稳定后，在迅速拔A棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入B 孔，再次稳定后，又在迅速拔出 B 棍的同时，将另一光滑细棍如前所述插入 O 孔。试求：最终稳定后，细杆AOB 绕O 孔旋转方向和旋转角速度的大小。,解：, 插入A孔前后,插入 B 孔前后,wB,反向转了,再次插入O孔前后,逆时针转,2、质量分别为m1 和m2 的 两物块与劲度

2、系数为 k 的 轻弹簧构成系统如图，物块与物体（平面）光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为 l 。物体静止。将右侧外力撤去，系统质心 C 可获得的最大加速度为 ，可获得的最大速度值为 。,m1,m2,k,解：,F,m1,N,f,f,F,m2,质心 的最大加速度,质心 的最大速度,m1,m2,k,F,m2过平衡位置时的速度,= 0,3、如图所示。表面呈光滑的 刚体无转动地竖直下落。图中虚线对应过刚体唯一地 最低点部位P1 的水平切平面。图中竖直虚线P1 P2 对应着过 P1 点的铅垂线， C 为刚体的 质心。设C与铅垂线P1 P2确定的平面即为铅垂面，将C到P1 P2 的距离记为 d ，刚体质量

3、为 m。刚体相对于过 C 点且与图平面垂直的水平转轴的 转动惯量为 JC . 设 JCm d 2。已知刚体与水平地面将发生的碰撞为弹性碰撞，且无水平摩擦力，试在刚体中找出这样的点部位，它们在刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间，速度方向相反，大小不变。,C,d,P1,P2,v0,解：,解：,C,d,P1,P2,y,P0,4、 两个质量相同的小球A 、B, 用长为 2a 的无弹性且的不可伸长的绳子联结。开始时A、B 位于同一竖直线上， B在A 的下方， 相距为a，如图所示。今给A 一水平初速度v0 ， 同时静止释放B ，不计空气阻力。且设绳子一旦伸直便不再回缩，问：经过多长时间，A、B 恰好在同一水平

4、线上？,解：,选择质心系，角动量守恒,绳子拉紧前， A 、B相对于质心的速度大小为,绳子拉紧后， A 、B相对于质心做圆周运动，速度设为 vt,从释放到绳子拉直所用时间,C,B,vt0,a,v0,A,B,C,A,B,解：,30,vt,vt,5、 某惯性系中有两个质点A、B， 质量分别为 m1、 m2 ，它们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距 l0，质点A静止，质点B 沿连线方向的初速度为 v0 .为使质点 B 维持速度v0不变，可对质点 B 沿连线方向施一变力 F，试求：（1）两质点的最大间距，及间距为最大时的 F 值（2）从开始时刻到间距最大的过程中，变力 F 作的功（相对惯性系）,（G

5、为引力常数）,l0,v0,m1,m2,A,B,解：,以 m2 为 S系,S,S,m1,l0,v0,m1,m2,A,B,S,S,解：,（1）以 m2 为 S系,m1,机械能守恒,l0,v0,m1,m2,A,B,S,（2）S系中,当 l = lmax 时，m1的速度 v =v0,由动能定理，对（m1+ m2 ）,m1,6、质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以纸平面为代表的光滑水平面后，令质量为m 的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度 v 进入框内，图中v 的方向的角 =45 ，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的弹性碰撞，试证：（）

6、小球必将通过缺口离开框架。（）框架每边长为a，则小球从进入框架到离开框架，相对于水平面的位移为：,解：（ 1 ）,（2）,小 球在框架内运动的时间为 T,在T 时间间隔内，质心的位移为,7、小滑块A 位于光滑水平桌面上，小滑块 B 处于位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量均是，用长为L ，不可伸长、无弹性的轻绳连接。开始时A、B 间的距离为 L/ 2, A、B 间的连线与小槽垂直（如图 ）。今给滑块一冲击，使之获得平行于槽的速度v，求滑块 B 开始运动时的速度。,y,解：y 方向动量守恒,A 对B 原位置角动量守恒,q,L,以 B 为参照系，A 相对于B 的运动为以 B 中心的圆， A 相对于

7、B 的速度为,8、长为 l ，质量为m 的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过杆的中点 O 的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止。有一质量与光滑杆相同的小球沿与杆垂直的速度 v 飞来，与杆碰撞并粘在杆端点上，如图。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态。（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求系统碰撞后的运动状态。,v,m,m,C,解： （1）角动量守恒,以 3v/2l 为角速度做匀角速转动,O,v,m,C,去掉固定轴，杆中点不固定,平动转动,杆小球系统，动量守恒,杆小球系统，外力矩为零，角动量守恒，,C,新质心C位置,对新质心C,O,v,m,C,C,对新质心C,（平行轴定理）,系统的质心以 v/2 速

8、度平动， 系统绕过质心的轴以 w 6v/5l 为角速度做匀角速转动。,9、 车厢内的滑轮装置如图所示，平台 C 与车厢一起运动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块A 与平桌面摩擦系数 m0.25，A 的质量 mA 20kg，物块 B 的质量 m B 30 kg 。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度 a02m/s2 ，假定稳定后绳将倾斜不晃,试求绳子张力T。,C,A,B,解：,mA g,N,f,T,f *,mB g,f *,T,a,以车厢为参照系，引入惯性力,A,B,125.4（N）,a,纯滚动（无滑动的滚动）,A,B,接触点对地的速度为零,质心的速度为,质心的加速度为,相对于

9、质心系的角速度为 w,相对于质心系的角加速度为 b,10、半径为R 的圆环静止在水平地面上。 t 0 时刻开始以恒定角加速度 b 沿直线纯滚动。任意时刻 t 0，环上最低点 A 的加速度的大小为 , 最高点 B 的加速度的大小为。,解： 质心系中,最低点A，地面系中,向左,向右,合加速度的大小,最高点B,纯滚动（无滑动的滚动）,A,B,接触点对地的速度为零,质心的速度为,质心的加速度为,轮子上一点相对于质心系的角速度为 w,轮子上一点相对于质心系的角加速度为 b,11、半径为R 的圆环静止在水平地面上。 t 0 时刻开始以恒定角加速度 b 沿直线纯滚动。任意时刻 t 0，环上最低点 A 的加速

10、度的大小为 , 最高点 B 的加速度的大小为。,解： 质心系中,最低点A，地面系中,向左,向右,合加速度的大小,最高点B,12、一长 L=4.8m 的轻车厢静止于光滑的水平轨道上，固定于车厢地板上的击发器 A 自车厢中部以 u0 = 2m/s 的速度将质量为 m1 = 1kg 的物体沿车厢内光滑地板弹出，与另一质量为 m2 =1 kg 的物体碰撞并粘在一起，此时 m2 恰好与另一端固定于车厢的水平位置的轻弹簧接触，弹簧的弹性系数 k = 400N/m ，长度l =0 .30m ，车厢和击发器的总质量 M = 2kg 求车厢自静止至弹簧压缩最甚时的位移（不计空气阻力， m1 和m2 视作质点）,

11、解：,车m1+m2 系统动量守恒,m1+m2 系统动量守恒,令m1从被弹出到与m2 碰撞结束所用的时间为 Dt,m1相对车厢的位移为,m1相对车厢的速度为,u0+V,在Dt 内，车厢向左的位移为：,车m1+m2弹簧系统机械能守恒 弹簧压缩最甚时，m1、m2 速度为零。车厢相对地面也静止,在m1和m2与弹簧碰撞的过程中，全部系统的动量守恒,设m1和m2与弹簧碰撞所用的时间为 Dt ,在Dt 内， m1和m2相对车厢的速度为 u(t),车厢的总位移为DX,DX= 0.75(m),13、 车厢内的滑轮装置如图所示，平台 C 与车厢一起运动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块A 与平桌面摩

12、擦系数 m0.25，A 的质量 mA 20kg，物块 B 的质量 m B 30 kg 。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度 a02m/s2 ，假定稳定后绳将倾斜不晃,试求绳子张力T。,C,A,B,解：,mA g,N,f,T,f *,mB g,f *,T,a,以车厢为参照系，引入惯性力,A,B,125.4（N）,a,行星绕恒星的椭圆运动,一、能量和角动量,由,由,二、椭圆在 P1 点的曲率半径为,三、椭圆轨道的偏心率为,四、轨道按能量的分类,E 0，则偏心率 e1， 质点的运动轨道为双曲线。,以地球为例：,rmax,U(r),RE,E10,K=EU,E20,0,r,14、行星原本绕着恒星S

13、 做圆周运动。设S 在很短的时间内发生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 g 倍，行星随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则,解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点,对圆轨道 P 点：,对椭圆轨道 P1 点：,A,B,先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况,对P2 点,因为 g 1 ，因此上式不成立 。 故 行星变轨后不可能处于P2点，只能处于P1 点。,解二：,椭圆轨道的角动量,圆轨道的角动量,A,B,角动量守恒,15、一个质量为m 的卫星绕着质量为 M ，半径为 R 的大星体作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一

14、个质量为 2m，速度为 的小流星，它恰好沿着卫星的运动方向 追上卫星并和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用时间非常短。假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的速度仍沿原来的方向， （1）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率e （2）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞，算出此时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的判断。,解：,(1) 碰撞前卫星的速度,小流星与卫星碰撞，动量守恒,新星体的能量,椭圆轨道,对比,在近地点,偏心率,(2) 小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒,新星体的能量,椭圆轨道,对比,在远地点,新星与 M 在近地点时的距离,两者发生碰撞,

15、16、质量为2m 的匀质圆盘形滑轮可绕过中心O 并与盘面垂直的水平固定光滑轴转动，转轴半经线度可忽略，物体1、2的质量分别为m 和2m ，它们由轻质、不可伸长的细绳绕过滑轮挂在两侧。细绳与滑轮间的摩擦系数处处相同，记为 m，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后若m 0则滑轮不会转动；若m 0，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之间有相对滑动；当 m 达到某临界值m0 时，滑轮与绳之间的相对滑动刚好消失，试求m0 值。,T2,T1,m1 g,m2 g,解：,T2,T1,m1 g,m2 g,解：,绳子的质量忽略不计,对临界m值,17、光滑的平面上整齐地排列着一组长为 l,质量为m 的均匀 细杆，

16、 杆的间距足够大。 现有一质量 为 M 的小球以垂直于杆的 速度 V0 与杆的一端做弹性碰撞，随着细杆的旋转，杆的另一端又与小球做弹性碰撞，而后小球相继再与第二杆、第三杆.相碰。当 m/M 为何值时， M才能仍以速度 V0 穿出细杆阵列？,m , l,M,解：,由动量守恒,由角动量守恒,由动能守恒,V = Vc,V = Vc,由 得：,代入,18、将劲度系数为 k，自由长度为L，质量为m 的均匀柱形圆柱弹性体竖直朝下，上端固定，下端用手托住。 （1）设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰好为L,试求此时手上的向上托力。 （2）而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体分离，试求其间手的托力所作的功

17、W。,解:,(1) 取下面一段研究,T,G,它处于静止的平衡状态,T GF0,取 一微元dy,计算其弹性系数,将圆柱看做由许多的小段 dy 串联而成,y,y,dy,T,T+dT,对微元dy， 设伸长为 dx,其总伸长为,令 x 为零,（2）问 中 x 为,令F 0,19、如图所示，光滑水平面上有一半径为R的固定圆环，长2l 的匀质细杆开始时绕着中心C点旋转，C点靠在圆环上，且无初速度，假定此后细杆可无相对滑动的绕着圆环外侧运动，直到细杆的一端与环接触后彼此分离，已知细杆与圆环之间的摩擦因数处处相同，试求的取值范围。,l,l,R,A,B,R,P,A,B,R,P,解：设细杆初始角速度为0，转过角后角速度为，,在光滑水平面中转动，机械能守恒,解得,R,w,R,C点沿圆的渐开线运动,细杆受力 N 和f 分别为,摩擦因子取值范围为,A,B,C,C,q,P,r