2018年高考数学 专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板

1、专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一 几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步 找到关键的直线或平面；第三步 得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥中， ， 分别为线段的中点， .（1）求证： 平面；（2）若为上的点，且，求点平面的距离.又，面，面 在中是的中

2、点， ， 面，平面（2）由（1）知到面的距离为由等体积知： ， ，.例2、如图所示，在四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，为中点，平面，证明：平面平面；【答案】详见解析线线垂直. 试题解析：因为平面平面，所以，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面 考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 【变式演练1】如图, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. 设点为棱中点, 在面内是否存在点,

3、使得平面？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。【答案】存在点，为中点. 平面所以平面 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用. 【变式演练2】【2018广西贺州桂梧高中第四次联考】如图，在四棱锥中， ， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形，且.（1）证明：平面平面.方法二 空间向量法使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出解题模板：第一步 建立适当的空间直角坐标系；第二步 分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；第三步 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.例3、在如图所示的几何体中，平面，平面， ，,是的中点.（）求证：；（）求与平面

4、所成的角.【答案】详见解析.【解析】考点：空间向量证明直线与直线的垂直；空间向量求直线与平面所成的角. 【变式演练3】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中点.（）证明：CD平面PAE；（）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案】详见解析.【解析】 ()由题设和（）知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为.考点：运用空间向量证明直线与平面垂直；空间几何体的体积的求法.【变式演练4】已知四棱锥中，底

5、面为矩形，底面，为上一点，且平面.求的长度；【答案】【解析】试题分析：利用空间向量求线段长度，首先根据题意建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量的模求线段长度. 试题解析：如图所示建立空间直角坐标系，由已知，.令，因为，所以，则. 因为且.所以，则. 即的长为.考点：利用空间向量求线段长度及线面角【高考再现】1. 【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）ABCD【答案】C 2. 【2017课表1，文18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积

6、【答案】（1）证明见解析； （2）【考点】空间位置关系证明，空间几何体体积、侧（表）面积计算【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；先利用线面平行说明点面距为定值，计算点面距时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点到平面的距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出3. 【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD若E为棱BD上与D不重合的点，且

7、AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【答案】（1）详见解析；（2）1 4. 【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,（）证明：平面B1CD1;（）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1. 【答案】证明见解析.证明见解析.【解析】试题分析：（）取中点,证明,（）证明面.试题解析：（I）取中点,连接,由于为四棱柱,所以, 【考点】空间中的线面位置关系【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在

8、一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行5. 【2017天津，文17】如图，在四棱锥中，平面，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(); () . 6. 【2017北京，文18】如图，在三棱锥PABC中，P

9、AAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案】详见解析【考点】1.线面垂直的判断和性质；2,。面面垂直的判断和性质；3.几何体的体积.【名师点睛】线线，线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判断定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，而其中证明线线垂直又得转化为证明线面垂直线线垂直，或是根据面面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于另一个平面,这两种途径都可以证明线面垂直. 7. 【2017

10、课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；【解析】（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD ，故ABPD ，从而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD. 8. 【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC； 9. 【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的一点，且，求的大小；【反馈练习】1. 【2018河北邢台育才中学模拟】如

11、图，正方体的棱长为分别是棱上的点，且，如果平面，则的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】取的中点为G，连接BG，FG因为G，从而为BC的中点，从而有 故选C2. 【2018湖南五市十校教研教改共同体联考】如图，四边形与均为菱形， ，且.（1）求证： 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.设平面的法向量为，则，取，得. 设直线与平面所成角为，则.3【2018湖北八校联考】如图，直三棱柱中， , ， , 分别为和上的点，且（1）当为中点时，求证： ；（2）当在上运动时，求三棱锥体积的最小值 当，即为的中点时， 有最小值184【2018河北衡水第一中学模拟】如图，在四棱锥中， 平

12、面， 平面， .（1）求证： ；（2）若， ，求三棱锥的高所以的面积为 .设三棱锥的高为，则，即，即三棱锥的高为2.5. 【2018湖北八校联考】四棱锥中， ， ， ， 为的中点.（1）求证：平面平面； 6. 【2018宁夏育才中模拟】如图，在三棱锥中，平面平面， ，点在线段上，且， ，点在线段上，且.（1）证明： 平面；（2）若四棱锥的体积为7，求线段的长.（2）解：设，则在中，.所以.由， ，得，故，即，由， .从而四边形的面积为 .由（1）知平面，所以为四棱锥的高.在中， .所以.所以.解得或.由于，因此或.所以或.7. 【2018江苏无锡普通高中检测】如图，在四棱柱中，底面为等腰梯形， 为边的中点， 底面. （1）求证： 平面； （2）平面平面. 又底面 ，所以，因为 ，所以平面 ，又平面 ，所以平面 平面 .8. 【2018河南郑州第一中学模拟】如图，在四棱柱为长方体，点是上的一点.（1）若为的中点，当为何值时，平面平面； 9. 【2018黑龙江牡丹江第一高级中学模拟】三棱柱，侧棱与底面垂直， , 分别是的中点（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面 10. 【2018辽宁鞍山第一中学模拟】如图，在三棱柱中，侧棱底面， 为棱的中点， ， ，求证：（1）平面；（2）平面.【解析】（1）证明：如图，连接交于，则为