控制系统的数学描述与建模(完成).ppt

1、第三章 控制系统的数学描述与建模,控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。,在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。,按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。 1、线性连续系统：用线性

2、微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。今后我们所讨论的系统主要以线性定常连续系统为主。 2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。 3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。,第一节 系统的分类,微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。 如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性

3、能分析。 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的，然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。,第二节 线性定常连续系统的微分方程模型,例exp3_1.m,电路图如下，R=1.4欧，L=2亨，C=0.32法，初始状态：电感电流为零，电容电压为0.5V，t=0时刻接入1V的电压，求0t15s时，i(t)，vo(t)的值，并且画出电流与电容电压的关系曲线。,对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLA

4、B中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。 num=b1,b2,bm,bm+1 den=a1,a2,an,an+1 注意：它们都是按s的降幂进行排列的。,第三节 传递函数描述,一、连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下：,零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。,在MATLAB中零极点增益模型用z,p,K矢量组表示。即： z=z1,z2,zm p=p1,p2,.,pn K=k 函数tf2zp()可以用来求传递函数的零极点和增益。,二、

5、零极点增益模型,K为系统增益，zi为零点，pj为极点,控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。 函数r,p,k=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微分单元的形式。 向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项返回到k。 b,a=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。,三、部分分式展开,举例：传递函数描述 1） num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2; 2） 借助多项式乘法函数conv来处理： num

6、=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6); den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1, 1,3,2,5);,零极点增益模型： num=1,11,30,0; den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den) ,z= 0 -6 -5,p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000,k= 1,结果表达式：,部分分式展开： num=2,0,9,1; den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den) ,p= 0.0000+2.0000i 0.00

7、00-2.0000i -1.0000,k= 2,r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000,结果表达式：,状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。,第四节状态空间描述,在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。,举例： 系统为一个两输入两输出系统 A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14; B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0; C=

8、0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);,在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。 模型转换的函数包括： residue：传递函数模型与部分分式模型互换 ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型,第五节模型的转换与化简,一、模型的转换,用法举例： 1）已知系统状态空间模型为： A=0

9、 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1; num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu) iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。 num=1 5 2; den=1 2 1; z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1,2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为： num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6; A,B,C,D=tf2ss(num,den) A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1

10、0 0 1 2 0 0,3）系统的零极点增益模型： z=-3;p=-1,-2,-5;k=6; num,den=zp2tf(z,p,k) num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10 a,b,c,d=zp2ss(z,p,k) a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。,4）已知部分分式： r=-0.25i,0.25i,-2; p=2i,-2i,-1;k=2; num,den=residue(r,p,k) num= 2 0 9

11、1 den= 1 1 4 4 注意余式一定要与极点相对应。,二、环节方框图模型的化简,系统是受控对象与控制装置组成的,即系统有多个环节。每个环节又是有多个元件构成的。环节在MATLAB里又叫模块。自动控制系统的对象可以是一个元件，一个环节，也可以是一个模块，甚至是一个系统。系统方框图模型的化简也适用于环节的、模块的、装置的方框图模型的化简。,1 环节串联连接的化简,自动控制系统中，环节串联的等效传递函数为各个串联环节的传递函数的乘积。 当n个模块方框图模型sys1,sys2,sysn串联连接时，其等效方框图模型为：sys=sys1*sys2* *sysn 例：已知双环调速系统电流环内前向通道三

12、个模块的传递函数如下，求等效传递函数和空间模型。,求解的MATLAB程序如下：,n1=0.0128 1; d1=0.04 0; sys1=tf(n1,d1); n2=30; d2=0.00167 1; sys2=tf(n2,d2); n3=2.5; d3=0.0128 1;sys3=tf(n3,d3); s1=ss(sys1);s2=ss(sys2);s3=ss(sys3); sys123=sys1*sys2*sys3 sys=s1*s2*s3,2 环节并联连接的化简,并联环节指多个环节的输入信号相同，所有环节输出的代数和为其总输出。当n个模块方框图模型sys1,sys2,sysn并联连接时，

13、其等效方框图模型为：sys=sys1+sys2+ +sysn 例：已知两子系统传递函数，求两系统并联连接的等效传递函数的num和den向量。,求解的MATLAB程序如下：,num1=5; den1=1,1; sys1=tf(num1,den1); num2=7,8; den2=1,2,9; sys2=tf(num2,den2); sys=sys1+sys2 num=sys.num1 den=sys.den1,3 环节反馈连接的化简,MATLAB中的feedback()函数命令可将两个环节反馈连接后求其等效传递函数。 格式：sys=feedback(sys1,sys2,sign) 环节sys1即G(s)的所有输出均连接到环节sys2即H(s)的输入，环节sys2的所有输出为反馈信号，sign是反馈极性，sign缺省时，默认为负反馈，即sign=-1;单位负反馈时，sys2=1,不能省略。 例： 则闭环传递函数的MATLAB程序： num1=5;den1=1,2,3;sys1=tf(num1,den1); sys=feedback(sys1,1) 若H(s)=0.01178，则num2=0.01178;den2=1;sys2