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向量间的乘积,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,三、向量的混合积,四、小结 思考题,实例,1. 定义,一、两向量的数量积,数量积也称为“点积”、“内积”.,2. 数量积的运算法则：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若 为数：,若 、 为数：,关于数量积的说明：,证,设,数量积的坐标表达式,3. 数量积的坐标运算,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件为,解,证,解,例4 试用向量证明三角形的余弦定理.,实例,二、两向量的向量积,1. 定义,关于向量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,2. 向量积的运算法则：,（1）反交换律：,（2）分配律：,证,/,/,（3）结合律：,设,向量积的坐标表达式,3. 向量积的坐标运算,为了帮助记忆，向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,说明,例如，,解,解,三角形ABC的面积为,解,定义,设,混合积的坐标表达式,三、向量的混合积,向量混合积的几何意义：,混合积的几个结论：,利用混合积的几何意义可证明,利用行列式的性质可证明,解,例8,解,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,向量的数量积,向量的向量积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,四、小结,向量的混合积,（结果是一个数量）
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