人教A版2020年高中数学选择性必修（第一册）知识讲义 空间向量基本定理及坐标表示

1、 空间向量基本定理及坐标表示重点1. 理解空间向量的基本定理及其意义；2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。难点用不用的基底表示空间任一向量考试要求考试 题型 选择题、填空题、解答题 难度 中等核心知识点一：空间向量基本定理定理：如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组x，y，z，使得，其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量。空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。核心知识点二：空间向量的正交分解如果空间中的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量

2、，使。像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。（2）与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。核心知识点三：空间直角坐标系及向量坐标1. 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底。以点O为原点，分别以的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，都叫做坐标向

3、量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分。教材中所用的坐标系都是右手直角坐标系，其规则是：让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指指向z轴正方向。2. 空间点的坐标：数轴Ox上点M用实数x表示，直角坐标平面上的点M用一对有序实数（x，y）表示，建立空间直角坐标系后，空间的点M可用有序实数组（x，y，z）表示。在空间直角坐标系Oxyz中，为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使。在单位正交基底下与向量对应的有序实数组（x，y，z）

4、，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中z叫做A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。3. 空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作。由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使。有序实数组（x，y，z）叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作。类型一：基底的判断例题1若是空间的一个基底，试判断能否作为该空间的一个基底。【解析】假设共面，则存在实数，使得，。为基底。不共面。此方程组无解，不共面。可以作为空间的一个基底。总结提升：判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面。如果从正面难以入手，可用反证法或利

5、用一些常见的几何图形进行判断。类型二：用基底表示向量例题2四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC。设，E，F分别是PC和PB的中点，试用，表示，。【解析】连接BO，则（）（）（）。（）。（）（）。总结提升：用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则。类型三：用坐标表示空间向量例题3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1。在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标。【解析】因为PAADAB1，所以可设，。因为（）（）。（0，）。总结提升：用坐标表示空间向量的方法与步骤：1. 三个向量不共面是三个

6、向量构成空间一个基底的充要条件。2. 用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底为单位正交基底，可由得到的坐标为（x，y，z）。（答题时间：40分钟）一、选择题1. 在以下三个命题中，真命题的个数是（）三个非零向量，不能构成空间的一个基底，则，共面；若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；若，是两个不共线的向量，而（，R且0），则，构成空间的一个基底。A. 0B. 1C. 2 D. 32. 已知，是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（）A. B. C. 2 D. 23. 如图，长方体ABCDA1B1C

7、1D1中，AC与BD的交点为M。设，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D. 4. 已知点A在基底，下的坐标为（1，2，3），其中，则点A在基底下的坐标为（）A. （7，3，12） B. （12，7，3）C. （2，4，6） D. （12，3，7）二、解答题5. 如图所示，空间四边形OABC中，G是ABC的重心，D为BC的中点，H为OD的中点。设，试用向量，表示向量。6. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点。（1）化简：；（2）设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求x，y，z的值。1. 答案：C解析：正确。基底的向量必须不共面；正确；不对，不共线，当时，共面

8、，故只有正确。2. 答案：D 解析：能与，构成基底，则与，不共面。，2。A、B、C都不合题意。因为，为基底，2与，不共面，可构成基底。3. 答案：A 解析：。 4. 答案：A 解析：设O为坐标原点，则2323，点A在下的坐标为（7，3，12）。5. 解：。（）（），（）（）（），（）（），即。6. 解：（1），（）。（2）（），x，y，z。亲爱的用户：相识是花结成蕾。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。1、在最软入的时候，你会想起谁。20.9.139.13.202011:1311:13:059月-2011:132、人心是不待风吹儿自落得花。二二二二年九月十三日2020年9月13日星期日3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。11:139.13.202011:139.13.202011:1311:13:059.13.202011:139.13.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。9.13.20209.13.202011:1311:1311:13:0511:13:055、若注定是过客，没何必去惊扰一盏灯。星期日, 九月 13, 2020九月 20星期日, 九月 13, 20209/13/20206、生的光荣，活着重要。11时13分1