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文档简介

1、习题5-2高数一组（A）1、 用比较审敛法判断下列级数的敛散性（1）解：由发散，得发散。由比较审敛法得原式发散。（2）解：收敛，由比较审敛法得原式收敛。（3） 解：nn+1(n+2)=n+1-1n+1(n+2)=-(1n+1-1n+2)= 2n+2-1n+1 -1n+2=1n+2 由发散，得发散。由比较审敛法得原式发散。(4) 解：正弦函数在（0，）单调递增，单调递减，且小于等于1，sinx 得：。由收敛，得原式收敛。（5） 解：n，得。当n=1时，=0.当n又正弦函数在（0，）单调递增，由发散，得发散，得原式发散。（6）解：=12n+12nn22n由收敛，得收敛，得原式收敛。（7）(n+1)

2、解：(n+1)=有p级数易得收敛，所以原式收敛。=x-x22+o(x2)（8） （a解：当a=1时，原式=,显然发散。当a=.当a当a2、 用比值审敛法判别下列级数的敛散性。（1）解：=131（2）解：=。（3）解：=121.（4）解：=.（5）解：=,（6）解：=00)解：=, 。（4）解：=又。（5）解：=。4、 用适当的方法判别下列级数的敛散性。（1）(a0,b0)解：1an+b1an, 由发散，得发散。由比较审敛法得原式发散。（2）解：（3）解：=（4）解：=(令t=)。（5）(a)解：当b当b，a) an1+bn1,a时原式收敛，其余情况皆发散。5、 判别下列级数是否收敛，如果收敛，

3、是条件收敛还是绝对收敛？（1）解：,=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。有p级数易得发散，所以原式条件收敛。（2）解：=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。=131（3）解：=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。发散易得原式条件收敛。（4）解：=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。1-cos1n=sin212nsin212n1n+1，=0, 由莱布尼茨审敛法得收敛。则原式收敛。-1n2+11n, n=1鈭?1n发散，得原级数条件收敛。（6）解：n，=0, 由莱布尼茨审敛法得收敛。=,（B）6、设数列nan有界，证明收敛。证明：数列nan有界，不妨设。则。得：an2鈮?M2n2,有p级数易得收敛。由比较审敛法

4、得收敛。7、若与都收敛，且(n=1,2,3)，证明收敛.证明：，而cn-an鈮?bn-an鈮?0, 得收敛，得证。8、如果正项级数也收敛。证明：2,又且.得证 也收敛。9、设分别是级数的正部与负部。证明：（1）绝对收敛的充分必要条件是其正部与负部同时收敛。（2）条件收敛的充分必要条件是其正部与负部同时发散。证明：（1）a) 绝对收敛，则收敛，且也收敛。又-，-，由第七题易得正部与负部同时收敛。c) 正部与负部同时收敛。则也收敛。=（2）a）条件收敛，即发散，且收敛。反证法：如果其正部与负部不同时发散。有下列情况：1) 同时收敛，易知 绝对收敛，这与给定条件矛盾。得其正部与负部不同时收敛。2) 一个收敛一个发散

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