高中数学 第一章 三角函数 1.7 正切函数课堂导学案 北师大版必修

1、1.7 正切函数课堂导学三点剖析1.正切的性质及诱导公式【例1】 求函数y=tan(3x-)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性.思路分析：把3x-看作一个整体，利用tanx的单调性.解：由3x-k+，得x+,所求定义域为x|xR,且x+,kZ，值域为R，周期T=，是非奇非偶函数. 由于y=tanx,x(k-,k+)(kZ)是增函数，k-3x-k+(kZ),即-x+(kZ).因此，函数的单调递增区间为（-,+）(kZ).友情提示 y=Atan(x+)（其中A0,0）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：（1）把“x+(0)”看为一个“整体”；（2）A0(

2、A0)时，y=tanx(x+k)的单调区间对应的不等式相同（反）.各个击破类题演练 1求下列函数的周期：（1）y=tan；(2)y=tan(2x+).解析：（1）y=tan=tan(+)=tan(x+)T=.(2)y=tan(2x+)=tan(2x+)=tan2(x+)+,T=.变式提升 1试判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=1-2cosx+|tanx|;(2)f(x)=x2tanx-sin2x.解析:(1)因为该函数的定义域是x|x+k,kZ,关于原点对称,且f(-x)=1-2cos(-x)+|tan(-x)|=1-2cosx+|tanx|=f(x),所以函数f(x)为偶函数.(2)因为

3、函数f(x)的定义域是x|x+k,kZ,关于原点对称,又f(-x)=(-x)2tan(-x)-sin2(-x)=-x2tanx-sin2x,f(-x)f(x)且f(-x)-f(x),所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.2.正切函数的图象和性质的综合应用【例2】 作出函数y=|tanx|的图象，并根据图象求其单调区间.思路分析:要作出函数y=|tanx|的图象，可先作出y=tanx的图象，然后将它在x轴上方的图象保留，而将其在x轴下方的图象向上翻折（即作出关于x轴对称的图象）就可得到y=|tanx|的图象.解析：由于y=|tanx|=(kZ), 所以其图象如下图所示，单调增区间为k,k+）

4、(kZ)；单调减区间为（k-,k(kZ).友情提示 利用正切函数的图象过（-,-1）(,1)(0,0)三点且以x=-,x=为渐近线，根据这三点两线可以大体勾画出y=tanx的图象，再利用图象变换得到题目要求的图象，推导出函数性质.类题演练 2分别作出和-的正弦线,余弦线和正切线.解析:(1)在直角坐标系中作单位圆如右图,以Ox轴正方向为始边作的终边与单位圆交于P点,作PMOx轴,垂足为M,由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点,则 sin=MP,cos=OM,tan=AT. 即的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.(2)同理可作出-的正弦线,余弦线和正切线,

5、如右图中sin(-)=MP,cos(-)=OM,tan(-)=AT. 即-的正弦线为MP,余弦线为OM,正切线为AT.变式提升 2已知点P(tan,cos)在第四象限,则在(0,2)内的取值范围是_.解析:由得是第三象限角.又02,.答案:.3.正切函数定义域与值域【例3】 求下列函数的定义域(1)y=tan(2x-);(2)y=;(3)y=;(4)y=tan(sinx).思路分析:定义域是使各个解析式有意义的自变量x的取值范围.(1)只要使2x-+k,kZ即可;(2)只要满足即可;(3)只要满足1+tanx0即可;(4)只要sinxk+,kZ即可.解:(1)函数的自变量x应满足:2x-k+,

6、kZ,即x+(kZ). 所以,函数的定义域为x|x+,kZ.(2)tanx,k-xk+(kZ).函数的定义域为x|k-xk+,kZ.(3)要使函数y=有意义,则有即xk-,且xk+(kZ).函数的定义域为,x|xR且xk-,xk+,kZ.(4)无论x取何值,-1sinx1,tan(sinx)总有意义.原函数的定义域为R.友情提示 把正切函数的定义域当成R,或者认为y=tanx在R上单调递增都是错误的.类题演练 3求函数y=的定义域.解析:由题得 所以定义域为k+,k+)(k+,k+)(kZ).变式提升 3（1）求函数f(x)=tanxcosx的定义域与值域；（2）求函数f(x)=|tanx|的定义域与值域.解析:（1）其定义域是x|xR,且xk+,kZ.