高中数学 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.2 函数的简单性质 2.2.2 函数的奇偶性课堂导学案 苏教版必修

1、222函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念【例1】 已知f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x3+2x2-1,求f(x)的解析式.思路分析:由于给出了f(x)在x0时的解析式，求f(x)在x0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.解析：f(x)为奇函数，且0在定义域内，f(-0)=-f(0)， 即f(0)=0. 设x0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1.f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x).f(x)=-f(-x)=x3-2x2+1.f(x)=温馨提示 已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有

2、定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.二、函数奇偶性的判定【例2】 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x3+2x; (2)f(x)=2x4+3x2; (3)f(x)=x3+x2.解析：(1)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称， 又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x). 即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=x3+2x是奇函数.(2)函数的定义域为R，它关于坐标原点对称， 又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2, 即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x4+3x2为偶函数.（3）函数的定义域为

3、R，它关于坐标原点对称，f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2, 与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x3+x2为非奇非偶函数. 温馨提示 在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.三、函数奇偶性的综合应用【例3】 函数f(x),xR，若对于任意实数，a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),f(0)=0. 又设a=-x,b=x, 则f(0)=f(-x)+f(x).f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.

4、温馨提示 判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(x),f(0)可以取任意值.各个击破类题演练 1已知f(x)是R上的奇函数，且当x(0,+)时，f(x)=x(1+),求f(x).解析：当x0, 由已知f(-x)=(-x)1+=-x(1-).f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，-f(x)=-x(1-),f(x)=x(1-3x),(x0时，f(x)=x|x-2|,求x0，f(x)的表达式.解析：设x0，且满足表达式f(x)=x|x-2|

5、,f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|. 又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),-f(x)=-x|x+2|.f(x)=x|x+2|. 故当x0时，f(x)=x|x+2|.类题演练 2判断下列各函数的奇偶性.(1)f(x)=-；（2）f(x)=|x+a|-|x-a|.解析：（1）f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称，且f(-x)=-=-f(x).f(x)=-是奇函数.(2)f(x)=|x+a|-|x-a|的定义域为R，且f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).f(x)为奇函数.变式提升 2判断函数f(x)=的奇偶性.解析：f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.类题演练 3对任意x,yR,且x,y0,已知函数y=f(x)(x0)满足f（xy)=f(x)+f(y).求证：（1）f(1)=f(-1)=0；（2）y=f(x)为偶函数.证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0. (2)令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1), 则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.变式提升 3定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=,试确定常数m、n的值.解析：f