第四章 光的衍射

1、第四章 光的衍射4.1惠更斯菲涅耳原理一光的衍射现象波绕过障碍物继续传播，也称绕射。二次波光波在空间传播，是振动的传播，波在空间各处都引起振动，波场中任一点，即波前中任一点都可视为新的振动中心，这些振动中心发出的光波，称为次波。次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，由此使得光波不断向前传播。新的波面即是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。波前上任一点都是一个次波中心，即一个点光源，发出球面波，两个点，即使是邻近的，发出的次波也是不同的。严格地说，是没有“光线”或“光束”之类的概念的。三次波的叠加惠更斯菲涅耳原理1次波的相干叠加考察波前上任一面元上

2、的一点Q，即一个次波中心所发出的球面次波在场点P处引起的复振幅微分元。，Q点的复振幅，称为瞳函数；，Q点为点光源，发出球面次波；，次波中心面元面积；，、分别是源点和场点相对于次波面元的方位角。：面元法线与SQ连线间的夹角，：面元法线与QP连线间的夹角，称为倾斜因子。上述各因素的合并表达式为，K为比例常数。将波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动相干叠加，即得到该波前发出的次波传播到P点时所引起的合振动，即该波前发出的次波在P点引起的振动。这就是惠更斯菲涅耳原理。2菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式如果取一个封闭的空间曲面，即一个封闭的波前，由于从光源发出的所有方向的波都将通过此波前，而且只通过此波前

3、一次，所以光源在任一场点P所引起的复振幅与该波前所发出的全部次波在该点所引起的复振幅等价。由于波前是一连续分布的曲面，所有次波中心发出的次波在P点的复振幅就是以下曲面积分，即此即为Fresnel（菲涅耳）衍射积分公式。经过Kirchhoff（基尔霍夫，1882年）严格的数学论证，Fresnel根据直观所建立的积分公式基本上是正确的。需要修正的只是，波前可以为任意形状的封闭曲面，而且导出了几分公式中的比例常数和倾斜因子的表达式，其中 ，。比例常数中的位相因子不为0，而是有一个的位相超前，说明等效次波源的位相不等于波前上Q点扰动的位相。而倾斜因子的表达式说明向后倒退的波也对P点的复振幅产生作用，只

4、有在波前取为球面的情况下，此时，才有。经过Kirchhoff修正的上述积分公式被称作Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式。处理光的衍射问题，都可以归结为求解Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式。当波场中有障碍物时，即衍射屏时，可以自然地将波前取在衍射屏的位置，此时封闭的空间曲面由三部分构成：衍射屏上的透光部分，不透光的光屏部分，以及在空间扩展的半个曲面。可以忽略与的相互影响，认为在透光部分的瞳函数取作自由传播时的数值，而不透光部分的瞳函数自然等于0。相对于光的波长，衍射屏的不透光部分也是认为是无限大的，所以第三部分可以取一个半径无穷大的半球面，经过严格的数学证明，积分公式在

5、该球面上的积分值等于0，不必考虑。则在求解Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式时，只需要对衍射屏的光孔部分作积分就可以了，即将曲面积分的范围局限于光孔即可。这种做法，称作Kirchhoff边界条件。积分公式可以化为在特定的实验条件下，应用近轴条件和远场条件，积分公式可以得到简化，并给出和好的结果。四衍射的分类根据衍射障碍物（衍射屏）到光源和接收屏的距离分类。距离有限的，或至少一个是有限的，为菲涅耳衍射。此时在接收屏上的任一点，来自不同方向的波进行相干叠加。距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费衍射。此时相互平行的光在无穷远处相干叠加。事实上，在衍射屏后置一凸透镜，相互平行的光会聚

6、在透镜焦平面上的同一点，进行相干叠加。 4.2菲涅耳衍射（圆孔、圆屏）一衍射现象圆孔衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心明暗交替变化。圆屏衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。二半波带法分析菲涅耳圆孔衍射菲涅耳基尔霍夫衍射积分公式化为求和近似。将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带的中心到P点的距离依此相差半个波长。这些圆环带称为半波带。在球面上，各次波波源初位相相等。相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为半个波长，位相差为，位相相反，振动方向相反，相互抵消。计算各个半波带的面积Sk。球冠面积，当时，其中，则为第k个半波带发出的

7、次波在P点的复振幅。其振幅为，位相因子为。可见，相邻波带次波的位相相反，且k越大的波带，振幅越小。于是总的复振幅可表示为解释：波带数n为奇数，亮点；n为偶数，暗点。自由传播，始终亮点。圆屏，前n个半波带被遮住，总是亮点。半波带方程 （1） （2）又 （3）由（2），（3），可得 ，又由（2）式，所以 ，k的奇偶性由r0决定。该式称为半波带方程。三一般情形下的波带如果进一步将每个半波带划分为两个，则相邻波带发出的次波在P点位相差为/2，即第一个半波带中的第一个波带和第二个波带的位相分别为/4和3/4；再将每一个进一步细分，第一个半波带中的四个波带的位相差为/4，位相依此为/16，5/16，9/1

8、6，13/16，。可以将任何一个半波带进一步细分为n个，得到更多的波带，相邻波带见光程差为/2n，位相差为/n。n很大时，位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由n个小波矢组成的半圆。如图所示。四波带片用半波带将波面分割，然后只让其中的基数（或偶数）半波带透光，即制成半波带。透过半波带的光，在场点位相相同，振动方向相同，衍射后大大增强。由于入射光是平面光，所以波带片可是做成平面型的。一般情况下，可以认为前面几个半波带的倾斜因子相差不大，即满足近轴条件，所以他们发出的次波的振幅近似相等。如果波带片共有20个半波带，则在P点的复振幅为，P点光强，而自由传播时，光强，相差400倍。可见

9、波带片具有使光汇聚的作用。可以将半波带方程写成如下形式，同透镜的公式。 为焦距。任一波带片，都只适用于一个波长。焦距是固定的。对平行光，波带片为平面的。但除主焦点之外，还有许多次焦点。平行光入射，有，即在距离r0处，半径为的带是第k个半波带。当波带片不变时，r0改变，会引起k的改变，即可划分的半波带数目改变。r0减小，到r0/2时，k=2k，偶数个半波带，暗点；r0减小，到r0/3时，k=3k，其中两两相互抵消，只剩下1/3歌半波带，是亮点，为次焦点；r0减小，到r0/4时，k=4k，暗点有，一系列次焦点。 4.3Fraunhofer(夫琅和费)单缝衍射1 衍射装置平行光入射，用凸透镜成象于像

10、方焦平面。相当于各点发出的次波汇聚于无穷远处。即是平行光的相干叠加。如果衍射孔径，即狭缝，是一条窄反射面，情况相同。2 衍射强度分布1、振幅矢量方法沿方向的次波会聚到透镜焦平面上的P点，就是P点对透镜中心的张角。P点相干叠加的情况取决于各个次波的位相差，或光程差。A、B两点间的光程差为，在P点的位相差为。如果将狭缝等分为N分，则相邻两部分的光程差和位相差均是上述值的。它们在P点的合振动是N个等长的、夹角依次相差的矢量的和。如图所示。当，每一矢量的长度变得无限小，这些矢量首尾相接构成一段圆弧，圆弧对中心的张角等于，即是该圆弧转过的角度。合矢量是该段圆弧的弦，表示为。如果圆弧半径为，则有。如果出射

11、光的方向与光轴平行，即汇聚于像方焦点的情况，则由于此时各个次波的光程差为0，位相差亦为0，故N个矢量相互平行。设像方焦点的合振动为，在满足近轴条件时，任何一列次波的振幅与其方向无关，即沿任意方向的次波的振幅与沿光轴方向的次波的振幅相等，则弧长即等于。所以有，可以得到其中。光强分布为，为像方焦点处的光强。2、积分方法P点光来自同一方向，倾斜因子相同。不同方向的光，满足近轴条件，倾斜因子为常数1。即所有。同时，分母上的可以视为常数，移到积分号之外。则上式化为，而 其中，为Q点发出的沿光轴方向的次波在光轴上的F点所引起的复振幅，为通过整个狭缝的光沿光轴方向传播时在光轴上的F点所引起的振动，即复振幅。

12、则为光轴上F点处的光强。，为单缝（单元）衍射因子。值得注意的是， 表示球面波振幅衰减的因子中，分母的数值并不能取衍射屏到焦平面的距离，原因是：各个次波在透镜之前是发散的球面波，但经过透镜的折射，波面改变，成了会聚的球面波，从理论上讲，由于透镜的孔径总是有限的，所以，当衍射屏距离透镜较远时，通过透镜的光能量较少，因而焦平面上的光强较弱。但从实际上看，由于透镜的孔径比缝宽大得多，所以当衍射屏于透镜间的距离变化不大时，可以认为通过透镜的光能量没有变化，因而只需要考虑透镜与焦平面（即接收屏）间的距离即可，因为光强总是相对值。因而分母上的数值全部以透镜焦距代替是可以的。强度分布如果入射光的倾角为，则光程

13、差中还要记入衍射屏之前的部分，总的光程差为，光在法线同侧，取；异侧，取。即相当于。3 衍射花样的特点1极值点，极大值点。分别对应0级、1级、2级衍射条纹。极小值点，可以看出，每一极大值的位置并不处于两极小值之间的中点。2亮条纹角宽度（相邻暗条纹之间的角距离）焦平面上任一点对透镜光心的角度就是入射光与光轴的夹角。则在近轴条件下，由于，零级主极大的角宽度，其它高级次条纹的角宽度，都满足衍射的反比关系。衍射屏上下移动时，以及沿轴向移动时，衍射花样不变。因为衍射强度分布只与衍射方向有关。零级主极大对应几何像点，入射光方向改变，衍射花样整体平移。4 应用Babinet原理互补屏，透光部分相加等于无衍射屏

14、，为光波自由传播。+=，自由传播。平行光入射到互补屏时，按几何光学原理成像，除像点之外，处处振动为零。在Fraunhoff衍射中，除了在焦平面上的几何像点外，各处光强均为0。则，即细丝与狭缝的衍射花样，除零级中央主极大外，处处相同。这就是激光测径仪的原理。五、夫琅和费矩孔衍射矩孔ab，其上任一点Q（x，y）发出沿（1，2）方向光线，到P点的光程为，其中1为波矢与yOz平面夹角，2为波矢与xOz平面夹角，即，其中是波矢的方向余角。则矩孔发出的光在P点的振动为从 O点引一条与同方向光线，其到P点的光程为，与的光程差即为矢量OQ在上的投影。即则。上述积分中，同方向的衍射光，倾斜因子相同。积分化为，强

15、度分布，为矩孔发出的光波沿（0，0）方向达到轴上F点的光强。具有二维衍射强度分布。4.4夫琅和费圆孔衍射一衍射强度Q点发出沿任意方向光线1，过O点作与1同方向光线0，取坐标系如下：0和轴线所在平面为XOZ平面，Z为光轴。过Q作与1、0垂直的平面，与0和X轴交于B、A点。则AB与0垂直。0与YOZ平面的夹角为，A，Q两点发出的光是等光程的。则Q点发出的光与O点发出的光的光程差为。令上式化为=。J1（m）：一阶贝塞尔函数光强二衍射花样的特点4 同心圆环，明暗交错，不等距。5 中央主极大（零级斑）：Aivry斑，占总强度的，半角宽度，为圆孔直径。平行光直接通过透镜，则透镜的口径即是衍射孔径，则Aiv

16、ry斑半径。为平行光通过透镜后的衍射斑。三、望远镜的分辨本领平行光经光学口径成象，有一Aivry斑，而不是几何光学所认为的一个几何点。即任何一个发光物点经光学口径成像后，由于衍射效应，总有一个Aivry斑。两束光，则有两个Aivry斑。也就是说，两个实际上在空间分开的物点，经光学系统成像后，由于衍射，所成的两个像可能实际上无法分开。如果两个Aivry斑如靠得很近，则无法分辨。采用Rayleigh判据，两光斑的角距离恰等于一个光斑的半角宽度时，为可以分辨的最小极限。即，越大，可分辨的间隔越小，分辨本领越大。此为望远镜的分辨本领。与放大本领不同。四、几何光学是衍射光学的大尺度近似对于单缝衍射的中央

17、主极大，有；对于圆孔衍射的中央主极大，亦有，其中a和D是衍射孔径的几何尺度。即中央衍射光斑的半角宽度都与衍射孔径的尺度成反比。如果衍射孔径比光的波长大得多，则，说明此时中央衍射斑将汇聚为一个几何点，而其他高级次的衍射的角宽度也等于0，即没有衍射。这就相当于几何光学的情况。可见，只要衍射孔径的尺度比光的波长大得多，衍射的效果将不显著，几何光学的规律将起主导作用。即如果没有凸透镜的话，光将沿直线传播。如果衍射孔径是一个反射面，入射光的方向为，对于衍射屏上距离为的两个次波中心，沿方向的衍射光，其光程差为，则相应地有，衍射的中央主极大的方向为。在满足时，反射定律成立。如果衍射孔径是一个折射率不同的透射

18、介质，则衍射屏上距离为的两个次波中心，沿方向的衍射光，其光程差为，则相应地有，衍射的中央主极大的方向为，同样，几何光学的折射定律成立。从能量分布看由于，当时，除了，即之外，光强为0，即光强几乎全部分布于几何像点处，其它高级次的衍射能量等于0。综上所述，当时，衍射光学可以相当准确的用几何光学替代。4.5多缝夫琅和费衍射（光栅衍射）1衍射强度分布具有周期性结构的平行狭缝，缝宽为a，缝间距为d，共有N条狭缝。平行光入射，满足近轴条件。1用振幅矢量法求解会聚在焦平面上P点的光，是衍射屏上所有缝中沿方向的次波，第n个单缝，即第n个衍射单元的复振幅记为，相邻两个衍射单元之间的光程差为，位相差为，其中。在满

19、足近轴条件时，各个振幅矢量具有相同的长度。总的振幅矢量是这些单元矢量首尾相接所合成的，矢量和为，相互间关系如上图所示。N个单元衍射矢量构成正多边形的一部分，设其外接圆半径为R，每个矢量的圆心角为，的圆心角为，则有，而2用积分方法求解倾斜因子为1。仅对衍射屏透光部分求积分，即不透光部分的瞳函数为零。有对每一个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在P点引起的振动，即复振幅，为光的衍射；对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在P点引起的振动即复振幅进行叠加，自然是相干叠加，为光的干涉。物理过程为：每一个单狭缝的光在P点先进行衍射，衍射后的复振幅再进行干涉。设多缝为周期性结构，称为光栅。每一狭缝宽度

20、为b，不透光部分宽度为a，a+b=d，d为相邻两狭缝中心的距离，即光栅的周期。各狭缝中心发出的光波到达屏上的光程为Lj，则有， 为相邻两狭缝中心发出的光到达P点的光程差。在第j个狭缝中，位置在xj的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为，即，上述积分化为可见前面内为单缝衍射的结果，对各个狭缝都是一样的；后面内为多缝之间干涉的结果。最后在P点的振动是两者乘积。上式进一步化为，为单元（单缝）衍射因子，由瞳函数决定。：N元干涉因子。，3双缝衍射，N=2，而杨氏干涉为相当于不考虑单缝衍射时的情况。即认为，u=0，。每一个狭缝只有一个次波波源。4 衍射花样的特点1衍射极大值位置主极大由决定，

21、分子分母同时为0取到极大值，要求，而，即，或极大值为2有一系列的亮条纹，即光谱线。j：谱线级数。谱线位置与N无关，由d，j，决定。谱线位置与衍射因子无关。3谱线强度与N2成正比，受衍射因子调制。4极小值位置衍射因子，即，但，即，为整数。干涉因子，要求，同时即，同时，即，则衍射因子有以下极小值位置：两主极大值之间有N-1个最小值，N-2个次极大值。5谱线的缺级当干涉因子的主大值与衍射因子的极小值重合时，在本来应该出现谱线的位置却没有谱线，即出现了缺级。干涉主极大位置，衍射极小位置，所以缺级出现在，即缺级的谱线是。四干涉与衍射的区别和联系干涉是光束之间的相干叠加，这些光束是有限条，或虽然有无限多条

22、，但是光束之间是离散的、不连续的、可数的。衍射是连续分布的无限多个点光源（次波中心）发出的光波的相干叠加。无论是衍射还是干涉，光波在相遇点都是振动的叠加，都遵循波的叠加原理。干涉时，光的能量在空间均匀分布，各个亮条纹有相差不大的能量；在衍射时，光的能量主要集中在一个特殊的衍射级上，更接近于集合成象的情况。五光栅方程透射式光栅正入射时，斜入射时光程差入射、出射在光栅平面法线同侧，入射、出射在光栅平面法线同侧，反射式光栅，同侧取“+”，异侧取“-”。六谱线的角宽度和光栅的色分辨本领1谱线的角宽度，相邻的最小值出现在，有，：光栅的宽度。2光栅的分辨本领波长差为的同级衍射光谱线的角距离。，。用Rayl

23、eigh判据，时，可分辨，有，可分辨的最小波长间隔为，分辨本领N越大，j越大，分辨本领越大；分辨本领与光栅常数d无关。七光栅光谱和色散问题，不同波长的光在空间分开称为色散，光栅具有色散能力。1，角色散率，光栅的分光能力。定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。（1），零级光谱无色散，即所有不同波长的零级光谱线都集中于同一位置。原因是由于零级谱的干涉的光程差等于零。（2）很小时，对于固定的j，为常数。角色散率与N无关。线色散率，谱线在焦平面上的距离。2自由光谱范围（色散范围）光栅方程，由于实际使用中，通常入射角和衍射角都不是很大，则，所以要求，可以发生的衍射的波长要小于光栅常数，则d就是光

24、栅的量程。由于衍射光的衍射角随着波长的增加而变大，所以当白光经光栅衍射时，长波的低级次衍射就会与短波的高级次衍射发生交叠。自由光谱范围指的是衍射光不重叠的波长范围。入射光的波长范围为，为了保证光谱在空间不重叠，必须有，即长波的j级光谱不与短波的j+1级光谱重叠。就是，可得，即。对于一级光谱有，所以一级光谱的自由光谱范围为。八闪耀光栅平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的能量。能量集中是单元衍射的结果，即大部分能量都集中在几何像点上。对于平面光栅，由于在几何像点处，各个衍射单元间的光程差都是0，所以所有波长成分在此处都取得极大值，即j=0的主极大都在几何像点处，造成了0级无色散。单元衍射零

25、级的位置与缝间干涉零级的位置恰好是重合的。如果让单元衍射零级偏离缝间干涉零级的位置，即让单元衍射的中央主极大，也就是几何像点与j0的光谱重合，即可解决上述问题。光栅0级光谱的位置是由入射光的方向决定的。对于固定的入射方向，其0级位置时不个改变的。但是，单元衍射的极大值位置，即入射光的几何像点的位置却是可以通过改变光栅而改变。对于反射光栅而言，如果每一个反射面的方向改变了，则几何像点的位置相应改变。根据这一原理就制得了闪耀光栅。闪耀光栅可以使衍射主极大与j0级的光谱重合。如图，光栅的反射面与光栅的平面之间有一夹角，入射光对于反射面的入射角是，而对光栅平面的入射角是。相对于反射面，衍射主极大的方向

26、是，而0级光谱的方向则是，两者不重合。每一个反射面被称作闪耀面，闪耀面与光栅平面间的夹角为闪耀角。一般而言，对于入射光和衍射光，都有两个相关的角度：对与光栅平面的角度、，和对于闪耀面的角度、。从图上可以看出，。相邻入射单元间的光程差相邻衍射单元间的光程差j级光谱线满足的方程即通常采用图示的两种方式入射（照明）。第一种照明方式，在反射方向上，第一种方式，在反射光方向上，干涉的光程差为，相应的光栅级数为，j=1时，衍射最强的波长为，一级闪耀波长。其它波长的一级光谱出现在闪耀波长附近。由于衍射的零级有很大的宽度，所以，其它波长的一级谱线也有足够的强度。第二种照明方式，在反射方向上， 第二种方式，在反

27、射光方向上，干涉的光程差为，一级闪耀波长为。4.6 X-RAY在晶体中的衍射晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以作为衍射光栅。是一种三维的光栅。但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中出现衍射。只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹配。晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、分子、或离子基团，可以用一个点表示。周期性的结构可以用晶格表示，晶格的格点构成晶格点阵。入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X射线出射的方向。晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不同的间距，即，晶格常数d。一极大值条件1点间干涉（晶面的衍射）一个晶面上各个格点对入射光散射，光程差，j=0，有。2面间干涉，Bragg条件。二实验方法1劳厄（Laue）照相法固定单晶，连续谱X射线入射。相对于晶面，X射线偏转角。2粉末法样品旋转，单色X光入射。由于样品中多晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光沿圆锥面衍射。4.7全息照相一、 全息照相装置相干光照明，记录得到全息图，经线性冲洗，用单色光照射全息图，