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文档简介

1、导数的概念 导数的运算 隐函数及参数方程的函数的求导法则 高阶导数 微分,第二章 导数与微分,1 . 变速直线运动的瞬时速度,设有一质点作变速直线运动, 其运动方程为,1 导数的概念,一. 引例,时 刻瞬时速度,变化不大, 所以质点在,在t 时间内速度,2.若质点作变速直线运动,1. 若质点作匀速直线运动,由于速度是连续变化的,分析：,的极限即为,越小, 近似的程度越好,称为曲线 L 上点 P 处的切线,2: 曲线的切线斜率,切线的一般定义:,设 P 是曲线 L 上的一个定点,Q 是曲线 L 上的另一个点,过点 P 与点 Q 作一条直线 PQ,称 PQ 为曲线 L 的 割线,当点 Q 沿着曲线

2、 L 趋向定点 P 时,割线 PQ 的极限位置 PT,L,P,Q,T,设曲线 L 的方程为 y=f (x) ,x 越小,Q 越接近于 P ,PQ 越接近于 PT,切线的倾角为 ,则有:,分析: 如图, 割线的倾角为 ,求此曲线上点 P 处的切线斜率 k.,曲线在 P 处的切线斜率为:,当自变量的增量趋于 0 时的极限.,即:,函数的增量与自变量增量之比,二. 导数的定义,1. 导数定义:,存在,则称函数 在 处可导,并称此极限值,为函数 在点 处的导数,记作:,或,即,同时也称 为I内的可导函数,三. 用导数定义求导数,(1)求增量: ;,根据定义求成 的导数,可分为以下三个步骤:,(2) 算比值: ;,(3) 取极限: .,例1 求常数函数y=C(C为常数)的导数,解 (1)求增量:,(2)算比值,(3)取极限:,即,例2,解,例3 求函数f(x)=sin x的导数.,解,即,同理可得，余弦函数的导数,例4 求函数f(x)=ax(a0,a1)的导数.,解,即,四. 左导数和右导数,定理:,左导数：,右导数：,五. 函数的可导性与连续的关系,解,解 x=0是分段函数的分段点，讨论其连续性与可导性，均要对其左右两侧情况加以讨论.,六.导数的实际意义,1.导数的几何意义,在几何上表示曲线,即,如果函数,解:因为,故所求的切线方程为,法线方程为,2. 导数的物理

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