,,年成人高考试题与题解

1、基本初等函数的导数公式P39导数的四则运算法则P39复合函数的求导公式P41微分公式P50基本积分公式P91不定积分的性质P91常用的凑微分公式P95分部积分公式P100牛顿莱布尼茨公式P110求极限主要试题题型15%约22分1. 代入法2.未定式应用罗必塔法则3两重要极限求导数的主要试题题型45%约68分(含偏导)1利用四则运算法则代公式求导数(值)题2复合函数求导题3高阶导数题4导数应用题(求切线方程,驻点拐点,单调区间,凹凸性,极值)5多元函数的偏导数6多元函数的极值.积分学(不定积分和定积分)32%48分1. 代公式题2. 换元法3. 分部积分法4. 定积分的应用概率初步题8%,12分

2、2008年成人高考考试题与题解一选择题1-10题每题4分共40分(1)lim(2x+1)/(3x-4) (x) a. -1/4, b.0, c.2/3 , d.1本题题形为/极限题解题要点是分子分母均保留最高次项，其它去除后再解, 答案是c练习P21例题25(2)已知函数f(x)在x=1处可导,且f(1)=3,则Limf(1+h)-f(1)/h (h0)a.0 b.1 c.3 d.6本题是导数概念题,式子本身就是f()解题要点理解h=x,答案是c练习P53(3)设函数y=lnx,则y=a. 1/x b. -1/x c.lnx d.ex本题是导数公式题,知道公式即可,答案是a(4)已知f(x)在

3、区间(-,+)是单调减函数,且f(x)f(1),x的取值范围是a.( -,-1) ,b.( -,1) ,c.(1, +) d.( -,+)本题是单调减函数概念题,随着x增大,函数值减小,故f(x)f(1),则有x0求f(0) 分段函数求解要点是定义区间和解析式必须对应,f(0)=(2x+1) x=0=2*0+1=1(12)limsin2x/x (x0)本题是两重要极限之一,最简单解题方法是替换,sin2x替换成2x,然后再解,答案是2,或利用基本形式limsin/=1练习P32重要极限(13)y=xcosx,y=本题是导数公式和四则运算法则公式应用题,熟记公式即可解题.(uv)=uv+uv答案

4、是y=cosx-xsinx练习p80利用四则运算法则求函数的导数(值)(14)设函数y=x5,y”=本题是求二阶导数y=5x4, y”=(5x4)=5*4x3=20x3练习P82 二阶导数(15)曲线y=x3/3-x2+1的拐点坐标(x0,y0)解:驻点满足的条件是一阶导数为零拐点满足条件是它二阶导数为零.由y=0,得到x2-2x=0,驻点(x1=0,x2=2) y”=0,得到2x-2=0,拐点(x=1)把x=1代入到函数中去,y= (x3/3-x2+1)x=1=1/3拐点坐标为(1,1/3)练习P84.函数特性的研究(16) dx/x2本题是简单不定积分题,知道积分公式即可以解出, xadx

5、=xa+1/(a+1)+c本题可以写成x-2dx=x-1/(-1)+c=-1/x+c练习:P126 概念题(17)(d/dx) 0x(t3+t)dt这是对变上限积分函数求导数题变上限积分函数=原函数,原函数求导=被积函数,答案是x3+x练习:P128 变上限积分与导数概念题(18) /2-/2（cosx+x）dx本题是偶函数加奇函数在对称区间的积分原式=/2-/2（cosx）dx+0=2*sinx/20=2练习P127定积分的概念与性质(19)函数z=(1-x2-y2)1/2的定义域解:根号内函数0 即1x2+y2,它表示半径为1的上半个圆内区域 (20)设函数z=f(x,y),存在一阶连续偏

6、导数, z/x,z/y,dz=这是一题微分概念题,dz=(z/x)dx+(z/y)dy练习P153全微分三.解答题21-28,共70分,要求有推理,演算步骤(21)计算(8分)Lim(x2-9)/(x-3) (x3)本题为0/0型极限，本题可以用因式分解去非零因式法Limx2-9/x-3=limx-3(x+3)/x-3=lim(x+3)=6 (x3)练习P32重要极限(22) 计算(8分)设函数y=x3+sinx+3,y=?本题为基本求导题解:y=( x3+sinx+3)= (x3)+(sinx)+3=3x2+cosx+0练习p80利用四则运算法则求函数的导数(23) 计算(8分)sin5xd

7、x这是凑微分换元积分题,要点是写成f(u)du形式,解: sin5xdx=(1/5)sin5xd5x=(-1/5)cos5x+c练习P129凑微分后用公式积分(24) 计算(8分)函数z=f(x,y)由x2+y2-ez=0决定求: z/x解:F(x,y,z)= x2+y2-ezFx=2xFz=-ezz/x=-Fx/Fz=-2x/-ez=2x/ez练习P154 隐函数的求导注意区分隐函数的求导与多元函数求导联系与差异(25) 计算(8分)一均质硬币,求连续上抛3次,3次都为正面向上的概率.解:抛一次正面向上的概率P(1)=1/2 连续抛3次,则P(A)=1/2*1/2*1/2=1/8(26) 计

8、算(10分)设抛物线与轴的交点为A和B,在它们所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD,(如图P88),设梯形的上底CD长为2x,面积为s(x)(1)写出s(x)的表达式(2)求s(x)的最大值先求等腰梯形底边两点A,B坐标Y=1-x2, 底边为x轴,y=0联立解得x=1,AB长度为2,上底CD长度为2x,C到底边的高度为f(x)=1-x2,等腰梯形面积为s(x)=(2+2x)(1-x2)/2求极值方法是求导求驻点得极值S(x)=(1-x2+x-x3)=-2x+1-3x2=0x=-1,()舍去x=1/3极值s(1/3)=(2+2x)(1-x2)/2x=1/3=32/27(27

9、) 计算(10分)求面积与体积大小题(1)求曲线y=ex及直线x=1,x=0,y=0所围成的图形D(图3-25)所示的面积(2)求平面图形D绕X轴旋转一周所成旋转体体积V解: (1)本题积分区间由x=0,x=1直线确定从图形可见上曲线y=ex,下曲线y=0S=01exdx=ex10=e1-e0=e-1(2) 平面图形绕x轴旋转一周取dx体积元(圆薄饼)为 y2dx,然后消去y,再积分y=ex V=01y2dx=01(ex)2dx =01(ex)d(ex)= (ex)2/210=(/2)(e2-1)(28) 计算(10分)设函数f(x)=ax3+bx2+x在x=1处取得极大值, 极大值为5求:(

10、1)a,b值(2)函数f(x)极小值解:有极大值,得到f(1)=a+b+1=5 (1)函数连续可导,则极值点在驻点处,驻点条件是一阶导数为零的点f(1)=(3ax2+2bx+1) x=1=3a+2b+1=0 (2)将(1)(2)式联立解得 a=-9 , b=13函数f(x)=-9x3+13x2+x要求极小值,须将所有驻点求出由f(x)=(-9x3+13x2+x)=-27x2+26x+1=0驻点x=1,x=-1/27f”(-1/27)=( -27x2+26x+1) x=-1/270, 极小极小值:f(-1/27)= (-9x3+13x2+x) x=-1/27=-41/2187练习P84.函数特性

11、的研究2009成人高考数学试题一选择题1-10题每题4分共40分(1)limtan(x-1)/(x-1) (x2)a. 0 b. tan1 c. /4 d. 2本题知识点为求极限时基本方法,代入法,即limf(x)=f(x0) (xx0)将x=2代入答案是tan1分段函数的极限较多应用代入法求极限练习P34第6大题(2)设y=x2+sinx+ln2, y=a.2x+sinx b.2x+cosx c.2x+cosx+1/2 d. 2x本题知识点为导数基本公式,ln2是常数答案是2x+cosx练习p80利用四则运算法则求函数的导数,第2大题(3)设函数f(x)=exlnx,求f(1)a. 0 b.

12、1 c. e d. 2e本题知识点为导数基本公式和四则运算法则中乘法法则(uv)=uv+uv应用,以及导数与导数值关系f(x)= (ex)lnx+ ex(lnx)= exlnx+ ex/xf(1)=f(x)x=1=e1ln1+e1/1=e答案是e练习p80利用四则运算法则求函数的导数(值)(4)函数f(x)在0,2上连续,且在(0,2)内f(x)0,则下列不等式成立的是a. f(0)f(1)f(2), b.f(0)f(1)f(2)c . f(0)f(2)f(2)f(1)本题知识点单调增函数则f(x)0, 单调减函数f(x)0,则函数在0,2区间内是单调增函数,答案是b练习P84函数的特性研究(

13、5) (2x+ex)dx=a. x2+ex+c b. 2x2+ex+cc. x2+xex+c d. 2x2+xex+c本题知识点是不定积分基本公式和不定积分性质应用的基本题,熟记公式和性质即可答案是a练习:P126 第1大题概念题(6) (d/dx) 011/(1+x2)1/2dxa.dx/(1+x2)1/2 b.1/(1+x2)1/2 c. /4 d. 0本题知识点定积分求出后是一数值,(常数),而变上限积分函数是一原函数,求导数后,前者为零,后者是函数答案是0练习:P128 变上限积分与导数概念题注意两者的差异(7) 若f(x)ex2dx=ex2+c,则f(x)=a.2x b.x2 c.

14、ex2 d.1本题知识点是凑微分后换元积分,它应该满足f(u)du形式,本题为eudu=eu+c,由题意且对比后可以知道ex2dx2=ex2+c, 即f(x)dx=dx2=2xdxf(x)=2x, 答案为a练习P129凑微分题(9) 设函数z=tan(xy), 求z/xa. -x/cos2(xy) b. x/cos2(xy) c. y/cos2(xy) d. -y/cos2(xy)本题是求偏导数,解题要点是对x求偏导数时,把y看成常量, 对y求偏导数时,把x看成常量,tan(xy)是复合函数,本题是先对tan(u)对u求导,然后再对u(xy)求x的 偏导,答案是cLi练习P152二元函数的偏导

15、数(9)设函数z=f(u),u=x2+y2,且f(u)二阶可导,则2z/xy=?a. 4f”(u) b. 4xf”(u) c. 4yf”(u) d. 4xyf”(u)本题求2z/xy,是求完一阶偏导z/x后，再对y求二阶偏导，求偏导z/x时,y是常量求 f(u)(2x)/y时,x看作常量,另外本题函数f(u)是复合函数, z/x=f(u) (x2+y2) /x=f(u)(2x), 2z/xy=f(u)2x /y=2xf”(u) ( x2+y2) /y=4xyf(u)答案是d(10)任意三个随机事件A,B,C,至少有一个发生的事件可以表示为a.ABC b.ABC c ABC d ABC表示并集合

16、,表示交集合答案为A二.填空题,11-20题,每题4分共40分(11)lim(x2-4x+3)/(x2-3x) (x3)本题知识点为求极限0/0型,可以用罗必塔法则,分子分母分别求导后再用代入法,或者用因式分解方法,消去零因式后再用代入法,答案为2/3练习P30 0/0型未定式极限(12)lim1-(1/3x)x (x)本题知识点为两重要极限之一,1的无穷大次方=ea a=(-1/3x)*x=-1/3答案为e-1/3练习P33 5重要极限2(13)设函数f(x)= (分段函数)2x+3, x1求flimf(x) (x0)本题主要考察分段函数概念,中括号内求极限,然后再求函数值limf(x) (

17、x0) 取x1所对应的解析式f(3)= (x2-1)x=3=8 答案为8(14)已知y=ax3在x=1处的切线平行与直线y=2x-1则a=?本题知识点是曲线求导的几何意义为该曲线在x点处的切线斜率,y(1)=3ax2x=1=3a,又直线y=2x-1的斜率是2, 切线平行与直线,则切线斜率=直线斜率,即3a=2,a=2/3 答案为2/3练习：P84第8大题曲线在某点处的切线方程，法线方程(15) 函数y=xsinx,求y”本题是导数公式和四则运算法则公式应用题,熟记公式即可解题.(uv)=uv+uv另本题又是二阶导数, 四则运算法则公式应用两次,y=xsinx+x(sinx)=sinx+xcos

18、x y=( sinx+xcosx)=(sinx)+xcosx+x(cosx)答案为2cosx-xsinx练习p80利用四则运算法则求函数的导数P82二阶导数(16) 曲线y=x5-10x2+8的拐点坐标,(x0,y0)=本题知识点是驻点满足的条件是一阶导数为零拐点满足条件是它二阶导数为零y=5x4-20xy”=(5x4-20x)=20x3-20=0, x=1答案为(1,-1)练习P84函数的特性研究(17) (x)1/2dx这是一道基本积分题,知道公式会应用即可,基本公式是 xadx=xa+1/(a+1)+c,本题中a=1/2,代入后 答案为(2/3)x3/2+c(18) ex/3dx这是凑微

19、分积分题,基本积分公式是exdx=ex+c要点是写成f(u)du形式,本题中u=x/3, 凑微分得到ex/3dx=3ex/3d(x/3) 答案为3ex/3+c练习P129凑微分后用公式积分(19) 1e (lnx/x)dx这是凑微分积分题, 基本积分公式是1eudu=(1/2)u21e本题中u=lnx, 凑微分得到1e (lnx/x)dx=1e (lnx)dlnx=(1/2)(lnx)21e答案为1/2(20) 设函数z=ln(x+y2)全微分dz=?这是一题全微分概念题,dz=(z/x)dx+(z/y)dyz/x=1/(x+y2)z/y=2y/(x+y2)答案为dx/(x+y2)+2ydy/

20、(x+y2)三.解答题21-28,共70分,要求有推理,演算步骤(21) (本题8分)计算lim(1-x+lnx)/(x3-1) (x1)解:本题知识点是罗必塔法则(未定型,分子分母分别求导后再求极限)和求极限的代入法,分子分母分别求导后,原式=lim-1+(1/x)/(3x2) (x1)答案为0练习P83不定式极限的求法(22)(本题8分) 设函数y=esinx, dy=?解:本题是复合函数求导后再应用微分公式基本公式是(eu)=eu(u), dy=ydxy=(esinx)=esinx(sinx)= esinx(cosx)答案为dy= esinx(cosx) dx练习P81复合函数的求导(2

21、3) (本题8分) 计算(1+lnx)/xdx解: 这是凑微分积分题,dx/x凑微分等于dlnx(1+lnx)/xdx=(1+lnx)d(lnx)=lnx+(lnx)2/2+c(24) (本题8分)计算arcsinxdx解:这是一分部积分题,体型已给出udv,直接应用公式udv=uv-vdu, 但vdu较繁,本题属难题arcsinxdx=xarcsinx-xdarcsinx= xarcsinx-x/(1-x2)1/2dx= xarcsinx-(-1/2)d(1-x2)/ (1-x2)1/2 答案为xarcsinx+(1/2)2(1-x2)1/2+c(25)(本题8分)有10件产品,8件正品,2

22、件次品,甲乙两人先后各抽取1件产品,求在甲抽到正品的条件下,乙抽到正品的概率解:这是条件概率题.(1) 事件A,甲抽到正品概率 事件B,乙抽到正品概率甲抽到正品后,样本条件分别为C17,C19P(BA)= C17/C19=7/9(2) P(A)= C18/C110=8/10P(AB)= C18C17/ C110C19=56/90P(BA)= P(AB)/ P(A)=(56/90)/(8/10)=7/9(26) 本题10分求函数y=x2+2/x的单调区间,极值,凹凸区间和拐点解:这是导数的应用题.一阶导数大于零,单调增函数, 一阶导数小于零,单调减函数. 一阶导数等于零,为驻点,是可能的极值点.

23、二阶导数大于零,凹区间, 二阶导数小于零,凸区间 二阶导数等于零的点为拐点.,y=2x+2/x2 y=2-4/x3令y=0,x=-1 极值点 令y”=0, x=(2)1/3 拐点. 答案为(27) 本题10分求(1)在区间0,上的曲线y=sinx与x轴所围成的平面图形面积s(2)求(1)中平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积V解: 本题积分区间x=0,x=上曲线y=sinx,下曲线y=0(x轴)S=0sinxdx=-cosx0=2平面图形绕x轴旋转一周取dx体积元(圆薄饼)为 y2dx,然后消去y,再积分 y=sinx V=0y2dx=0(sinx)2dx =(/2) 0(1-cos2x)dx

24、=(/2)(x-sin2x/2) 0=2/2(28) 本题10分求函数z=x2+2y2+4x-8y+2的极值解:这是多元函数的极值题,只需按部就班套用公式即可z/x=0,z/y=0,得驻点坐标z/x=2x+4=0,x=-2z/y=4y-8=0,y=2A=2z/x2=2 B=2z/xy=0C=2z/y2=4判别式B2-AC0,有极值 B2-AC=-80, 极小A0答案为将x=-2,y=2代入函数式极小值为f(-2.2)=(-2)2+2(2)2+4(-2)-8(2)+2=-102010年成人高考考试题与题解一选择题1-10题每题4分共40分本题知识点为求极限时基本方法,代入法,1.lim ln(x

25、+1)/(x+1) (x1)答案是ln2/2本题知识点为导数基本公式与导数值求解2.设函数f(x)=(x)1/2+e,则f(1)=?解:f(x)=1/2(x)1/2 f(1)=1/2本题为简单复合函数求导,先对cosu求导,再对u求导,本题u=2x3. 设函数f(x)=cos2x,则f(x)=答案是-2sin2x这是导数的应用题.一阶导数大于零,单调增函数, 一阶导数小于零,单调减函数4.下列函数在区间(0,+)内单调减少的是y=x, y=ex, y=lnx, y=1/x答案是d本题是简单不定积分题,知道积分公式就会解xadx=xa+1/(a+1)+c5. dx/x4答案是-1/3x3+c本题是定积分题,求平面图形的面积,且被积函数是偶函数在对称区间的定积分6.函数y=1-x2与x轴所围成平面图形面积s解:积分上下限由y=1-x2=0得,x=1-11(1-x2)dx=201(1-x2)dx=2x-x3