苏州大学空间解析几何复习

1、空间解析几何部分一、向量的加、减、数乘向量、向量的数量积、向量积、混合积例：计算下列各题（1）已知等边的边长为且求；解： 已知两两垂直且 求的长和它与的夹角解：且 设 设与的夹角分别为 ， 已知与垂直，且与垂直，求的夹角解： ，即 ，即 得： 得： 已知 问系数取何值时与垂直？解： 例：已知: ,求与,都垂直,且满足下列条件的矢量: 为单位矢量 ,其中解：用向量积。例: 已知直角坐标系内矢量的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三邻边作成的平行六面体体积. , , ., , . 解: 共面 = 向量共面不共面 = 向量不共面以其为邻边作成的平行六面体体积例:已知直角坐标系内四点

2、坐标, 判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点所引出的高的长.解: 又, 顶点所引出的四面体高为.二、直线方程，平面方程的求法，点到平面的距离，直线与平面的关系，平面与平面的关系，直线与直线的关系。异面直线的公垂线方程，异面直线间距离例：已知两点,求通过且垂直于的平面例：已知三角形顶点求平行于所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。解：设点则写出平面的点位式方程， 设一般方程为由相距为2个单位，所求平面为和例：求中心在且与平面相切的球面方程。解：球面的半径为C到平面：的距离，它为：，所以，要求的球面的方程为：.即：.例：求通过点且与两直线和垂直的直线。解：欲求直线的

3、方向矢量为：，所以，直线方程为：。例：关于直线与点对称的点解：已知直线的方向矢量为：，或为，过垂直与已知直线的平面为：，即，该平面与已知直线的交点为，所以若令为P的对称点，则：，即。例：判别下列直线与平面的相关位置：（1）与；（2）与；（3）与；（4）与。解：（1），而，所以，直线与平面平行。（2）所以，直线与平面相交，且因为，直线与平面垂直。（3）直线的方向矢量为：，而点在直线上，又，所以，直线在平面上。（4）直线的方向矢量为， 直线与平面相交。例：确定值使下列两直线相交：（1）与轴；（2）与。解：（1）若所给直线与轴相交，则有 ，满足， 从而 。（这时）（2）若所给二直线相交，则由共面从而

4、：，且可验证两直线方向不平行，确实相交。例：判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离。（1）与；（2）与；（3）与。解：（1）将所给的直线方程化为标准式，为：， （-2）：3：4=2：（-3）：（-4）且点（7，2，0）不在第一条直线上二直线平行。又点与点（7，2，0）在二直线上，矢量平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量为：，从而平面方程为：，即 。（2）因为，二直线是异面的。二直线的距离：。（3）因为，但是：1：2：（-1）4：7：（-5）所以，两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为，平面的方程为：。例：给定两异面直线：

5、与，试求它们的公垂线方程。解：因为，公垂线方程为：即，亦即。例：求通过点且与两直线都相交的直线方程.解 设所求直线的方向矢量为,则所求直线可写为 直线平行于矢量矢量为直线的方向矢量.由于因此令y=o解方程组得x=1,z=o 点(1,o,o) 为直线上的一点.类似求得 有即 X+3Y+3Z=0.即 X-13Y-3Z=0.得 X:Y:Z=30:6:-16又 即 ,即 所求直线方程为: 例：求点到直线的距离。解：直线的标准方程为：所以，p到直线的距离为：。例：求通过直线且与平面成角的平面。解：设所求的平面为：则：从而 ，或所以所求平面为：或。例：求通过平面和的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过

6、原点； （2）与轴平行；（3）与平面垂直。解：（1）设所求的平面为：欲使平面通过原点，则须：，即，故所求的平面方程为：即：。（2）同（1）中所设，可求出。故所求的平面方程为：即：。（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面垂直，则须：从而：，所以所求平面方程为：。三、柱面方程的求法；锥面方程的求法；绕坐标轴的旋转曲面的求法 4.1柱面例：已知柱面的准线为：且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。解：（1）从方程中消去，得到：即：此即为要求的柱面方程。（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：而在准线上，所以上式中消去后得到：此即为要求的柱面方程。例：设柱面的准线为，母

7、线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。解：由题意知：母线平行于矢量任取准线上一点，过的母线方程为：而在准线上，所以：消去，得到：此即为所求的方程。例：求过三条平行直线的圆柱面方程。解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为：此即为欲求的圆柱面的准线。又过准线上一点，且方向为的直线方程为：将此式代入准线方程，并消去得到：此即为所求的圆柱面的方程。 4.2锥面例：求顶点在原点，准线为的锥面方程。解：设为锥面上任一点，过与的直线为：设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去参数，得：即：此为所要求的锥面方程。例：已知锥面的顶

8、点为，准线为，试求它的方程。解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：令它与准线交于，即存在，使将它们代入准线方程，并消去得：此为要求的锥面方程。例：求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。解：（这里仅求、卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴与等角，故的方向数为与垂直的平面之一令为平面在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点，该圆的圆心为，故该圆的方程为：它即为要求圆锥面的准线。对锥面上任一点，过与顶点的母线为：令它与准线的交点为，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去得： 此即为要求的圆锥面的方程。例：求顶点为，轴与平面垂直，且经过点的圆锥面的方程。解：轴线的方程为：过点且垂直于轴的平面为：即：

9、 该平面与轴的交点为，它与的距离为：要求圆锥面的准线为： 对锥面上任一点，过该点与顶点的母线为：令它与准线的交点为，即存在，使将它们代入准线方程，并消去得： 4.3旋转曲面例：求下列旋转曲面的方程：（1）；绕旋转（2）；绕旋转（3）绕轴旋转；（4）空间曲线绕轴旋转。解：（1）设是母线上任一点，过的纬圆为：又在母线上。从（1）（3）消去，得到：此为所求的旋转面方程。（2）对母线上任一点，过的纬圆为：因在母线上， (3)从（1）（3）消去，得到：此为所求的旋转面的方程。（3）对母线上任一点，过该点的纬圆为：又在母线上，所以： （3）从（1）（3）消去，得到：此为所求的旋转面方程。（4）对母线上任一点，过的纬圆为：又在母线上，所以从（1）（3）消去，得到：即旋转面的方程为： 四、常用二次曲面，比如球面、椭球