应用数理统计习题

1、考试方式：应用数理统计包括（1）在实用统计方法教材或这里所列的部分习题中完成5题（题目要至少分散在3章以上）写出计算程序计算结果，用doc或pdf文档发送到 ，占30；（2）结合自己的专业，写一篇统计方法的应用，或介绍一些新的统计方法等小论文，篇幅不限，论文要标注参考文献，占70。数据统计分析包括（1）在实用统计方法教材或这里所列的部分习题中完成5题（题目要至少分散在3章以上）写出计算程序计算结果，用doc或pdf文档发送到，占30；（2）闭卷或开卷考试，占70。参考教材：实用统计方法 西安交通大学 梅长林等 科学出版社

2、2002。部分习题第一章 多元回归分析1.4某种化工产品的得率与反应温度,反应时间 及某反应温度 有关。设对于给定的,，得率服从正态分布且方差为常数。近得实验结果如下，其中, 均为两水平变量且编码形式表达。 12345678-1-1-1-11111-1-111-1-111-11-11-11-117.68.411.19.812.6（1）对，拟合以,为自变量的线性回归模型，求出回归参数估计值及残差。 （2）给定显著水平，检验回归系数的显著性。（3）对，检验各自变量对的影响的显著性。1.7为了研究人们对某种品牌食品的喜爱程度和该食品的水分含量，甜度的关系，进行了一个完全随机化设

3、计的小规模试验，得到下列数据：12345678910111213141516444466668888101010102424242424242424647361767280718383898693889594100（1） 拟合回归模型 ，写出回归方程，问其中的如何解释。（2） 求出残差向量，分别作出残差关于拟合值, , 及的残差图及残差的正态概率图。分析这些残差图并给出你的评述。（3） 设误差项独立同分布于，在的水平上检验回归关系的显著性。写出假设、检验准则及结论并求检验的p-值。（4） 在（3）中关于的假定下，对自变量一组新的观察值 ，给出的预报值的99%置信区间。（5） 拟合关于的一元线性

4、回归模型，写出回归方程。将的回归系数与（1）中所求得的的回归系数作比较，你有什么结论。（6） 和是否相等？二者的意义有何不同？1.8 某科学基金会的管理人员希望估价从事数学研究工作的中等或较高水平的数学家的年工资额与他们的研究成果（论文、著作等）的质量指标，从事研究工作的时间 以及能成功获得资助的指标之间的关系。为此按一定的试验设计方法调查了24位此类型的数学家，得到下列数据：1234567891011920183331132530547256.04.06.43

5、3.240.338.746.841.437.539.040.730.152.938.231.81314151617181920212223248.06.27.04.04.83.9233539217403523332734157.67.05.06.08.05.043.344.142.833.634.248.038.035.940.436.845.235.1（1）对关于,，拟合线性回归模型，写出回归方程。（2）求出残差向量，分别作出残差关于, ,及两自变量交叉项的残差图及残差的正态概率图。分析这些残差图，评述你的看法。（3）设

6、误差项独立同分布于，对，检验回归关系的显著性，计算复相关系数值并解释其意义。（4）在（3）中对误差项分布的假定下，分别给出回归参数的置信度为95%的置信区间。（5）在（3）中对误差项分布的假定下，对，检验假设。（6）对各自变量的观测数据作如下变换（成为相关变换）： ， 其中 ， ，然后，对数据（，）拟合线性回归模型。此时回归系数估计如何解释？并推导在变换数据下得到的回归参数估计和（1）中得到的相应估计的关系。1.9 某医院管理工作者希望了解病人对医院工作的满意程度和病人的年龄，病情的严重程度和忧虑程度之间的关系。她随机地选取了23位病人，得到下列数据：123456789101112503640

7、412849424552292943514648444354504862504854857667089364654267789671314151617181920212223383453363329335529444355515449564649515258502.02.34751576679886049775260（1）通过穷举法分别利用准则， 和选择最优回归方程，并作出相应的图以支持你的判断。四个准则下的最优回归方程是否一致？（2）给定及 ，试用逐步回归法选择最优

8、回归方程，其结果和（1）中的结果是否相同？（3）对所选取的回归方程作进一步的精细分析。第二章 主成分分析及典型相关分析 2.4下表是美国最大的10家工业公司在某时期内的销售额和利润的数据（单位：兆美元）： 公司名称销售额利润General Motors4224Ford969333835Exxon866563510IBM634383758General electric552643939Mobile509761809Philip Morris390692946Chrysler36156359du Pont352092480Texaco324162413由此数据可求得 ， ，（1） 求，的样本主成

9、分和及主成分的样本方差，计算各样本主成分的贡献率。（2） 求第一样本主成分的观测值并予以排序，它是否基本上反映了原数据的特性？2.5 变换第4题中的样本协方差矩阵为样本相关矩阵，（1）求标准化样本的主成分及其样本方差，各主成分的贡献率。和第4题（1）中的结果相比有何变化？（2）求标准化样本的第一主成分的观测值并排序，它和第4题（2）中的结果相比有何变化？（3）就所给的数据，你认为从样本协方差矩阵出发求主成分合理呢，还是从样本阵出发求主成分合理？解释你的观点。2.7 下表是某城市在42天中的中午十二点的空气污染数据：风速()太阳辐射()898721282710743953710343563108

10、852815469142810389052121249847412155572642114478251111138645213946715410336914212737727418103107042117310724181039774191038764177387153164496742132396933953106253144498842763880421311453033523683511023488432763678421111387921710366243983103731723871411073752411284548658436754110243103541692885419102

11、586316122586721318277974925377952862668621114384043652你的任务是利用尽可能少的变量提取原数据集的信息。分别样本协方差矩阵和样本相关矩阵作主成分分析，二者的结果有何差异？原始数据的变化可否由三个或更少的主成分反映，你能否给所选取的主成分作出解释？2.8 下表是世界上55个国家和地区1984年前在七个径赛项目上的女子纪录：国家和地区100m（s）200m（s）400m（s）800m（min）1500m（min）3000m（min）马拉松（min）阿根廷11.6122.9454.502.154.439.79178.52澳大利亚11.2022.35

12、51.081.984.139.08152.37奥地利11.4323.0950.621.994.229.34159.37比利时11.4123.0452.002.004.148.88157.85百慕大11.4623.0553.302.164.589.81169.98巴西11.3123.1752.802.104.499.77168.75缅甸12.1424.4755.002.184.459.51191.02加拿大11.0022.2550.062.004.068.81149.45智利12.0024.5254.902.054.239.37171.38中国11.9524.4154.972.084.339.3

13、1168.48哥伦比亚11.6024.0053.262.114.359.46165.42库克岛12.9027.1060.402.304.8411.10233.22哥斯达黎加11.9624.60810.43171.80捷克斯洛伐克11.0921.9747.991.894.148.98155.27丹麦11.4223.5253.602.034.108.92154.23多米尼加共和国11.7924.0556.052.244.749.89203.88芬兰11.1322.3950.142.034.188.71151.75法国11.1522.5951.732.004.148.9815

14、5.27东德10.8121.7148.161.933.968.75157.68西德11.0122.3949.751.954.038.59148.53英国11.0022.1350.461.984.038.62149.72希腊11.7924.0854.932.074.359.87182.20危地马拉11.8424.5456.092.284.8610.54215.08匈牙利11.4523.0651.502.014.148.98156.37印度11.9524.2853.602.104.329.98188.03印度尼西亚11.8524.2455.342.224.6110.02201.28爱尔兰11.43

15、23.5153.242.054.118.89149.38以色列11.4523.5754.902.104.259.37160.48意大利11.2923.0052.011.963.988.63151.82日本11.7324.0053.732.094.359.20150.50肯尼亚11.7323.8852.702.004.159.20181.05韩国11.9624.4955.702.154.429.62164.65朝鲜12.2525.7851.201.974.259.35179.17卢森堡12.0324.9656.102.074.389.64174.68马来西亚12.2324.2155.092.19

16、4.6910.46182.17毛里求斯11.7625.0858.102.274.7910.90261.13墨西哥11.8923.6253.762.044.259.59158.53荷兰11.2522.8152.381.994.069.01152.48新西兰11.5523.1351.602.024.188.76145.58挪威11.5823.3153.122.034.018.53145.48巴布亚新几内亚12.2525.0756.962.244.8410.69233.00菲律宾11.7623.5454.602.194.6010.16200.37波兰11.1322.2149.291.953.998.

17、97160.82葡萄牙11.8124.2254.302.094.168.84151.20罗马尼亚11.4423.4651.201.923.968.53165.45新加坡12.3025.0055.082.124.529.94182.77西班牙11.8023.9853.592.054.149.02162.60瑞典11.1622.8251.792.024.128.84154.48瑞士11.4523.3153.112.024.078.77153.42中国台北11.2222.6252.502.104.389.63177.87泰国11.7524.4655.802.204.7210.28168.45土耳其1

18、1.9824.4456.452.154.379.38201.08美国10.7921.8350.621.963.958.50142.72苏联11.0622.1949.191.893.878.45151.22西沙摩亚12.7425.8558.732.335.8113.04306.00（1）求其样本相关矩阵及它的特征值和相应正交单位化特征向量。（2）求前两个标准化样本主成分及其累计贡献率。（3）解释（2）中的两个主成分的意义（事实上，第一主成分近似是各变量的等权重之和，他反应了各国家和地区的运动员的优秀程度，第二主成分可用以度量各国家和地区在各径赛项目上的相对实力）。（4）基于第一样本主成分的观测值

19、对各国家和地区排序，这与你从原始数据中得到的直观看法是否基本吻合？2.12从某校初一学生中随机选取了名,考察下列两组指标: :阅读速度, 阅读理解力; 计算速度, :计算正确程度.根据观测数据求得的相关矩阵为，(1) 求各对样本典型变量和样本典型相关系数。(2) 给定，检验各对典型变量间的相关性是否显著。利用显著相关的典型变量对解释描述阅读能力的变量和描述计算能力的变量之间的关系。2.13 随机抽取个家庭考察两个“消费”变量， 和三个“人口统计学”变量 之间的关系，其中 : 一个家庭每年进餐馆就餐的次数； :一个家庭每年去电影院看电影的次数； : 家长的年龄 : 家庭年收入 :家长受教育的程度

20、。由调查数据求得 的样本相关矩阵为1 求各典型变量对的典型相关系数，并检验其相关的显著性（）。2 求显著相关的典型变量对。3 利用（2）中典型变量的系数解释“消费”变量与“人口统计学变量”的关系。第三章 判别分析3.7下表给出了两类公司的有关金融数据，一类是破产公司，表中数据是这些公司在破产前两年的四个金融指标。一类是未破产公司在和破产公司大约相同时期的四个相同的金融指标。这四个指标是 各公司的数据如下表（表中最后一列“0”表示破产公司，“1”表示非破产）：编号总体1-0.45-0.411.090.4502-0.56-0.311.510.16030.060.021.010.4004-0.07-

21、0.091.450.2605-0.10-0.091.560.6706-0.14-0.070.710.28070.040.011.500.7108-0.06-0.061.370.4009007-0.011.370.34010-0.13-0.141.420.44011-0.23-0.300.330.180120.070.021.310.250130.010.002.150.70014-0.28-60150.150.051.880.270160.370.111.990.38017-0.08-0.081.510.420180.050.031.680.950190.010.001.

22、260.60040.17021-0.28-0.271.270.51010.510.102.490.54120.080.022.010.53130.380.113.270.35140.190.052.250.33150.320.074.240.63160.310.054.450.69170.120.052.520.6918-0.020.022.050.35190.220.082.350.401100.170.071.800.521110.150.052.170.55112-0.10-0.012.500.581130.14-0.030.460.261140.140.072

23、.610.521150.150.062.230.561160.160.052.310.201170.290.061.840.381180.540.112.330.48119-0.33-0.093.010.471200.480.091.240.181210.560.114.290.451220.200.081.990.301230.470.162.920.451240.170.042.450.141250.580.045.060.131 （1）对个破产公司和个非破产公司就二位变量求两类公司样本均值和样本协方差矩阵.（2）假定对两总体均服从二维正态分布且协方差矩阵不相同，在等先验分布和等误判损失下

24、，建立判别准则。（3）在（2）中判别准则的貌似误判率和刀切法误判比例，评价此判别准则。（4）在重复（2），（3）分析。你认为这里对总体出现的先验概率分布的假定是否正确，解释之。（5）假定对两总体均服从协方差矩阵相等的正态分布，重复（2）,(3)的分析并比较两种分类准则的优良性，哪一个较优？（6）对变量组重复（1）（4）的分析，你发现哪个变量组的分类效果较好？（7）利用所有四个变量，重复（1）（4）的分析，结果如何？是否用较多的变量建立的判别准则的分类效果一定优于用其中一部分变量所建立的判别准则的分类效果。2.8 在1939年收集了 尾属植物中的三个品种的花的形状尺寸。从这三个品种（记为）中各选

25、择了50株植物，测量了下述四个变量：数据如下表（1）只考虑变量，假设三个总体对这两个均服从二维正态分布，在协方差矩阵不等的假定下，构造二次判别函数（3.3.23），并评估相应的判别准则(3.3.24)分类效果。（2） 假定有新样品，利用（1）中的判别准则对分类。（3） 假定三个总体的协方差矩阵相等，求线性判别函数（3.3.25），并评估相应的判别准则（3.3.26）分类效果和（1）中的结果作比较。（4） 利用（3）中的判别准则判别新样品的归类，它和（2）中的结果是否相同？（5） 利用全部四个变量重复（1）和（3）的分析，并和（1），(3)中的结果作比较，评述你的发现。0.27

26、.07.13.01.06

27、.0.25.02.03.51.02.04.83.02.24.01.06.83.03.02.05.84.03.03.05.51.85

28、.1.06.02.25.02.84.04.92.05.03.01.60.26

29、.63.03.26.01.85.06.73.05.06.07.23.01.02.00.26.06

30、.5.06.03.03.06.13.04

31、.5.03.03.05.023.05.22.03.05.11.8第四章 聚类分析4.1考虑下

32、列4个样品的距离矩阵 (1) 用最短距离法、最长距离法和类平均法对这4个样品聚类，画出聚类谱系图。(2) 将D转化为模糊矩阵，利用模糊聚类法作聚类分析，画出谱系图。(3) 比较各方法的聚类结果，指出它们之间的异同4.2设有5个变量和,它们之间的相关系数矩阵为以R作为各变量间的相似性度量，利用最短距离法、最长距离法及类平均法对这5个变量作聚类分析，画出谱系图并比较这些结果。若利用模糊聚类法，情况又如何？4.3根据第二章习题8中关于55个国家和地区1984年前在7个竞赛项目上的女子纪录数据作聚类分析：（1）利用欧式距离计算各国家和地区间在这7个项目上的距离矩阵。（2）利用最短距离法、最长距离法和类

33、平均法对这55个国家和地区进行聚类，画出谱系图并比较各个方法的聚类结果的异同。4.4根据第三章习题8中关于 植物花的形状尺寸距离，将第一类和第二类看成变量的100个观测值（即100个样品），定义各样品间的距离为欧氏距离，利用某种谱系聚类法（最小距离法，最大距离法或类平均法）作如下聚类分析，（1）以为指标变量。（2）以为指标变量。（3）以为指标变量。（4）以为指标变量。（5）若将这100个样品分为两类，以上4种聚类结果和实际分类相比，效果如何？是否所用指标变量越多，聚类效果就越好？第五章 非参数秩方法5.2为了解一种新的术后护理方法和原护理方法相比是否可以显著缩短病人手术后的回复时间，随机地将作

34、完某种手术的18位病人分为两组，每组9人，按不同方法护理，观测到他们的恢复时间（单位：天）如下： 原方法：20，21，24，30，32，36，40，48，54； 新方法：19，22，25，26，28，29，34，37，38.在下检验新方法是否显著地缩短了病人手术后的恢复时间。如果对新护理方法是否是缩短还是延长了恢复时间事先并不清楚，情况又如何？5.5为检验维生素对刺激蘑菇生长的作用是否显著，从24朵大小相近的小蘑菇中随机的选出13朵施以维生素，另外11朵不施维生素，其他条件保持相同。一段时间后测得两组蘑菇的重量如下：使用维生素：27，34，20.5，29.5，20，28，19.5，26.5，2

35、2，24.5，34，35.5，19，未用维生素：18，14.5，13.5，12.5，23，24，21，17，18.5，9.5，14.利用正态逼近求Wilcoxon秩和检验的p值，在下，维生素对刺激蘑菇生长的效果是否显著。5.6为了比较两种不同的心理咨询方法的效果，将80位接受心理咨询的人随机的划分为两组，每组40人，其中一组接受一般的心理咨询，另一组接受特殊的心理咨询，试验结束后，将每个人的心理调整效果作仔细评估 ，并分为好，较好，较差和差四档，数据如下：咨询方法分类好较好较差差一般461713特殊810148利用Wilcoxon秩和检验法检验特殊心理咨询方法的效果是否显著优于一般方法（）。5

36、.8利用Smirnov检验法求第二题中的检验p值。5.9从同一工厂的三条不同的白糖包装线上分别抽取5袋、5袋和4袋白糖，测得其净重量如下（单位：克）， 第一条包装线：487，492，510，507，488； 第二条包装线：500，498，503，501，512； 第三条包装线：495，494，506，499.给定，利用Kruskal-Wallis方法检验这三条包装线包装白糖的重量有无显著差异。5.14为考察两种不同催化剂对某一化工产品得率的影响，作试验9次，测得数据如下：催化剂A0.380.450.720.660.750.680.440.310.32催化剂B50.600.

37、770.650.600.830.21利用双边符号检验法和双边Wilcoxon符号秩检验法检验这两种催化剂对该化工产品得率的影响是否显著。用正态逼近情况如何？（。5.15有两种不同的水稻品种，分别种植在一分为二的10块田地上，得到它们的产量（单位：公斤）如下：品种A363356332356348345345396356371品种B379443337356340435345396387383利用Wilcoxon符号秩检验法检验这两种水稻品种的产量是否有显著差异（。5.16为了研究四种不同药品对治疗咳嗽的效果是否相同，有7位患者参加试验。每位患者在指定的不连续的4天内随机地服用这四种药品，记录这位患

38、者在这4天内咳嗽的次数如下： 患者药品1234567A25112649452332911385B207180123852322081204C167104631472361581611D3011201861002501831913利用Friedman检验和改进的Friedman检验法检验这四种药品对咳嗽的疗效是否相同（。第六章 列联表的独立性分析6.2 为研究患肺癌是否与吸烟量有关，共计调查肺癌患者及其它疾病的患者各1357人，按每天平均吸烟量（单位：支）分类得如下表：患者类型吸烟量肺癌其他疾病07611455129514489570152447543125492931543812Pearson 统计量被用以检验患肺癌是否与吸烟量有关，求检验的p值。第七章 试验设计7.5