高中数学 第二章 圆锥曲线 2.2 双曲线复习学案 新人教A版选修

1、2.2 双曲线自主复习考点清单：双曲线的定义及标准方程双曲线的简单几何性质考点详情：重点一：双曲线的定义及标准方程1双曲线的轨迹类型是；2双曲线标准方程的求解方法主要是”待定系数法”，“先定型，后计算”例题：1已知F是双曲线的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为_. 【答案】9【解析】设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,所以当满足|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点A,P,F1共线时,满足|PF1|+|PA|最小.易知最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9.2已

2、知抛物线y2=8x的准线过双曲线(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为_. 【答案】【解析】利用抛物线的准线得双曲线的半焦距c,结合离心率求得基本量.抛物线y2=8x的准线x=2过双曲线的一个焦点,所以c=2,又离心率为2,所以a=1,所以该双曲线的方程为.名师导学：1双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合，运用平方的方法，建立与的联系.2求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c

3、的方程并求出a、b、c的值与双曲线有相同渐近线时可设所求双曲线方程为.(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.重点二：双曲线的简单几何性质1双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a0，b0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同若ab0，则双曲线的离心率e(1，)；若ab0，则双曲线的离心率e；若0ab，则双曲线的离心率e.2注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.3等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)4双曲线的焦点到渐近线的

4、距离等于虚半轴长b5渐近线与离心率 的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小例题1已知双曲线C:(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.B.C.D.y=x 【答案】C【解析】由已知条件可得,整理可得a2=4b2,即可得a=2b,双曲线C的渐近线方程为,故应选C.2已知双曲线(a0,b0)的左顶点与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的焦距为( )A.B.C.D. 【答案】B【解析】据抛物线的准线与双曲线的渐近线交点坐标可得,解得p=4,且点(2,1)在渐近线上,代入

5、得a=2b,又双曲线的左顶点与抛物线焦点距离为,故a=2,b=1,因此双曲线的离心率,故双曲线的焦距为.名师导学：1已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线 的两条渐近线方程.2双曲线方程中，说明双曲线方程中最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.3求双曲线的离心率或其范围时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.特别注意不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是这个前提条件.4双曲线

6、的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 中，离心率与双曲线的渐近线的斜率满足关系式.巩固练习1已知F1,F2为双曲线C:x2y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|=( )A.2B.4C.6D.8 2在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为_. 3双曲线(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3)B.(1,3C.(3,)D.3,) 4设O为坐标原点,F1,F2是双曲线(a0,b0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足F1PF

7、2=60,则该双曲线的渐近线方程为( )A.B.C.D. 5已知双曲线C:(a0,b0)的离心率为,右准线方程为.()求双曲线C的方程;()已知直线xy+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值. 6已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(3,0),一条渐近线的方程是.()求双曲线C的方程;()若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围. 参考答案与解析1.【答案】B2.【答案】4【解析】令x=3可得双曲线上的点M坐标为(3,),该点到双曲线右焦点F(4,0)

8、的距离为.3.【答案】B【解析】依题意,由定义得|PF1|PF2|=2a,又已知|PF1|=2|PF2|,得|PF2|=2a,而|PF2|的最小值为ca,所以只需ca2a,所以e(1,3.若题中涉及焦点或准线时,应优先考虑利用定义.4.【答案】D【解析】|PF1|=x,|PF2|=y,据余弦定理可得x2+y2xy=4c2,又x2+y2xy=(xy)2+xy=4a2+xy=4c2,整理可得xy=4b2,又延长PO至点Q,连接F1Q,F2Q,如图所示:则易知四边形F1F2QP对角线相互平分,四边形为平行四边形,则QF1P=120,据三角形QF1P中据余弦定理可得,据两式可得2xy=28a24c2=8b2,整理得,故渐近线方程为.5.【答案】解:()由题意得解得a=1,.所以b2=c2a2=2.所以双曲线C的方程为.所以,y0=x0+m=2m.因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,所以,m2+(2m)2=5.故m=1.6.【答案】所以双曲线C的方程为.()设直线l的方程为ykxm(k0