拉格朗日余项估计(网络版)

1、本科毕业论文(设计)(2010届)论文题目： 拉格朗日余项估计 指导老师： 学生姓名： 学 号： 院 （系）： 数 学 学 院 专 业： 数学与应用数学 毕业时间： 2010年6月 摘 要利用经典steffensen不等式一般形式给出泰勒公式中拉格朗日型余项的一种估计。 研究了拉格朗日型余项估计中的估计问题，获得了它的一个渐进估计。关键词 泰勒公式, steffensen不等式， 拉格朗日型余项, 渐进估计 AbstractThis article give a estimate of remainder of Lagrange by using steffensen inequality.

2、We also studies the estimate of in the remainder of Lagrange and obtains its asymptotic estimation。 Keywords Taylors formula, remainder of Lagrange, steffensen inequality，asymptotic estimation 拉格朗日余项估计引言对于一些比较复杂的函数，为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达。多项式函数是最为简单的一类函数，它只要对自变量进行有限次的加，减，乘三种算术运算，就能求出其函数值，因此，多项式经常被用于

3、近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近。英国数学家泰勒在这方面做出了不朽的贡献。其研究结果表明：具有直到阶导数的函数在一个点的领域内的值可以用函数在该点的函数值及各阶导数值组成的次多项式近似表达。泰勒公式如果函数在处可微，我们有如果实际需要计较到的二阶无穷小，那么上述公式就没有任何意义。因此自然会提出这样的问题：在存在的条件下，能不能用的一个二次多项式来近似，并使得其误差当时是比高级的无穷小？把这一要求用公式写出来，就是 其中是三个常数。如果这个要求能被满足，我们问这三常数和该如何确定？首先，令得出在这样的条件下，把改写为在上式双方令，由于在可导，得为了求出，注意到对上式右边用洛必达法

4、则，得由于存在，可见到此为止，我们证明了只有唯一的一个二次多项式，即 才能满足的要求。是不是多项式确实满足式的要求呢？答案是肯定的，这事因为使用一次洛必达法则便得出 ，所以式成立。定义 设函数在点有直到阶的导数，这里是任意给定的正整数。令并称之为在点处的次泰勒（Taylor）多项式，的各项系数称为泰勒系数。定理1 若函数在点存在直至阶导数，则有，即 +。 证 设现在只要证易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值。即因此，可得到，并易知因为存在，所以在点的某领域内存在阶导函数。于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到 = = =0定理所证的式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒

5、公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项。所以式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。泰勒公式在求极限中的作用例1 设：，且证明：证 按题设，我们有其中。又因存在，故比较上面两式，得从而有由于故由上式知存在，并且例2 求极限解 先分解分母当时，与为等价无穷小，与为等价无穷小，而。因此原极限等于但是 由此知原极限等于例3 求极限解 记取对数得利用等式 得根据可得 于是 由此即得因而注1 若在点附近满足， ，这时，并不意味着必定就是的泰勒多项式。例如=其中为狄利克雷函数。不难知道，在处除了外不再存在其他任何阶导数。因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式，但因即=，所以若取时，对任何恒成立。 注2 满足式

6、要求（即带有佩亚诺型误差）的次逼近多项式是唯一的。综合定理1和上述注2，若函数满足定理1的条件时，满足式要求的逼近多项式只可能是的泰勒多项式。上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式。它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当时，逼近误差是较高阶的无穷小量。现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。定理 2 若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点使得+。 证 作辅助函数。所要证明的式即为或不妨设，则与在上连续，在内可导，且又因，所以由柯西中值定理得，其中式同样称为泰勒公式，它的余项为， ，称为拉格朗

7、日型余项。所以式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。注意到时，式即为拉格朗日型中值公式所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广。当=0时，得到泰勒公式 该式也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式例4 若函数在上连续,在上2阶可导,则,必使得.证: 利用带Lagrange余项的Taylor定理,则有,.故 .注意到介于和之间,再由导函数的介值定理便知,使得.线性插值的误差公式 有了这种带有定量性质的余项之后，我们就可以在大范围内（而不只是一个给定点的近旁）来研究用多项式逼近函数的误差。特别是，当我们知道在这个范围内有界并且能找到的一个尽可能小的界的时候，好处就显现出来了。定义 设函数：。由

8、两点和所决定的线性函数记为，即 叫做在区间上的线性插值。函数与的几何关系见图。图4-3如果在内连续，那么我们就可以对这种插值带来的误差作出估计。 定理3 设是上的连续函数，在中连续，是由和确定的线性函数。如果在中的上界为，那么对任意有。证明 把写成 由和便得 利用带拉格朗日余项的泰勒定理，我们有带入式，我们可以得到，由于并且它们的和等于1，因此上式大括号中的量必介于与之间。由于的连续性，这个量可以表为，其中。这样就得到了 由此即得上面这个估计说明，愈小，线性插值的逼近效果就会愈好。当很小时，曲线的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的。仔细观察等式，我们可以发现，如果，那么由可以推出在上是凸函

9、数的结论。泰勒公式积分余项的一种估计在现行数学分析教材中关于泰勒公式有如下表述设函数在区间中次连续可导，则其中， 是泰勒公式的积分余项。积分余项的优点是不含有不确定的因素，便于作比较精确的估计。设则当时，由式和定积分的性质立即得到 当时，先将式改写为 仍可利用定积分的性质不难求得为奇数为偶数 现在我们应用经典Steffensen不等式的一般形式去给出泰勒公式积分余项优于式和式的估计。经典Steffensen不等式的一般形式如下： 设：是在上不增的函数，是在上可积的函数且 则 其中 定理 4 设函数在区间中次连续可导，再设则当时 当且为奇数时 当且为偶数时 其中证明 当时，因为在上是关于的递减函

10、数，所以由式和式有其中故由式即得不等式。当时，因为在上是关于的递增函数，所以由式和式有其中于是，由式不难推得不等式和式成立。 证毕一个关于拉格朗日型余项中的渐进估计引理1 设函数在内存在阶导数，当时，存在，使得 引理 2 若函数在设函数在内存在阶导数，在处存在阶导数，且，则存在，使得 且满足 利用上述引理可对拉格朗日型余项中的进行估计。定理 5 设函数在内存在阶导数，当时，在点处存在阶导数，且则存在，使得 且满足 证 因为函数在内满足引理1的条件，所以结论成立，下面考察极限一方面对式应用次洛必达法则得 另一方面将式代入式，得 函数在内满足引理2的条件，即存在，使得 且将带入，并反复利用次得， = 其中有由引理2知均满足故有，= 比较和两式，并注意到所以， 证毕参考文献1同济大学数学教研室.高等数学M.北京高等教育出版社1998：173-174.2方丽飞.关于有限量定理中的讨论.长沙交通学院学报.2000(4):6-7.3张文梵.关于微分中值定理的一个标记J.数学实践与认识,1998(1):87-89.4常庚哲 史济怀.数学分析教程(上册).高等教育出版社2003:193-211.5崔宝同 王海滨等.数学分析的理论与方法.科学技术文献出版社199