高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用课堂探究学案 新人教B版必修

1、2.4 向量的应用课堂探究探究一向量在平面几何中的应用用向量的方法证明有关平面图形中平行、垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法：(1)要证两线段ABCD，可转化为证明|或；(2)要证两线段ABCD，只要证明存在一实数0，使成立；(3)要证两线段ABCD，可转化为证明0；(4)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数0，使，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数，(其中1)，使【例1】 如图，若点D是ABC内一点，并且满足AB2CD2AC2BD2，求证：ADBC分析：借助向量的减法分别表示出向量，然后代入已知条件证明证明：设c，b，m，则mc，mb因为AB2CD2AC2BD2，所以c2(

2、mb)2b2(mc)2，c2m22mbb2b2m22mcc2，所以2m(cb)0,2()0所以0，所以ADBC反思基本思路就是将已知条件AB2CD2AC2BD2转化为与的关系，而又可表示为，所以就变成了讨论和，的关系，因此可设这三个向量，再用它们来表示和，就能得到结论探究二向量在解析几何中的应用1利用向量的方法来解决解析几何中有关直线平行、垂直等问题2要掌握向量用坐标表示的常用知识：共线；垂直；模；夹角；向量相等，则对应坐标相等【例2】 过点A(2,1)，求：(1)与向量a(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b(1,2)垂直的直线方程分析：在直线上任取一点P(x，y)，则(x2，y1)根据a

3、和b解题即可解：设所求直线上任意一点P的坐标为(x，y)因为A(2,1)，所以(x2，y1)(1)由题意，知a，所以(x2)13(y1)0，即x3y50所以所求直线方程为x3y50(2)由题意，知b，所以(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所以所求直线方程为x2y40反思已知直线l的方程AxByC0(A2B20)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(xx0)B(yy0)0探究三向量在物理中的应用用向量方法解决物理问题的步骤：(1)把物理问题中的相关量用向量表示；(2)转化为向量问题的模型

4、，通过向量运算使问题解决；(3)把结果还原为物理问题【例3】 如图所示，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到的重力为G，两绳受到的拉力分别为F1，F2，夹角为(1)求其中一根绳子受到的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；(2)求F1的最小值；(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围解：(1)由力的平衡得F1F2G0，设F1，F2的合力为F，则FG，由F1F2F且|F1|F2|，|F|G|，解直角三角形得cos1，所以|F1|，0，90)，由于函数ycos x在x0，90)上为减函数，所以逐渐增大时，cos逐渐减小，逐渐增大，所以增大时，|F1|也增大(2)由(1)可知，当0时，|F1|有最小值为(3)由题意，|F1|G|，所以1，即cos1由于ycos x在0，180上为减函数，所以060所以0，120为所求探究四易错辨析易错点：混淆向量平行与直线平行【例4】 已知点A(0,1)，B(1,0)，C(1,2)，D(2，1)，问AB与CD平行吗？错解：因为(1，1)，(3，3)，又因为1(3)(1)30，所以，即ABCD错因分析：此题混淆了向量的平行与线段(直线)的平行平行向量是方向相同或相反的向量，所以当A，B，C，D四点共线时，与仍为平行向量，但此时直线AB与CD不平行正解：证明：因为(