(江苏专用)2018年高考数学总复习选做01几何证明选讲

1、专题1 几何证明选讲 【三年高考全收录】1. 【2017高考江苏】如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，APPC，P为垂足 求证：（1）； （2）【答案】（1）见解析；（2）见解析【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：直接应用相交弦、切割线定理及其推论；当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握（2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等2. 【2

2、016高考江苏】如图，在ABC中，ABC=90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点.求证：EDC=ABD.【答案】详见解析【解析】试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质， 再由，与互余，与互余，得，从而得证.试题解析： 证明：在和中，因为为公共角，所以，于是.在中，因为是的中点，所以，从而.所以.【考点】相似三角形【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例2利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角

3、形，同时注意面积法的应用3【2015江苏高考，21】如图，在中，的外接圆圆O的弦交于点D求证：ABCEDO（第21A题）【答案】详见解析【考点定位】相似三角形4【2016高考天津理数】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为_.【答案】【解析】 试题分析：设，则由相交弦定理得，又，所以，因为是直径，则，在圆中，则，即，解得考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式

4、”在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握2应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等5【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,OAB是等腰三角形,AOB=120.以O为圆心,OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：ABCD. 【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设是的中点,先证明,进一步可得,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与相切(II) 设是四点所在圆的圆心,作直线,证明,由此可证明试题解

5、析：（）设是的中点,连结,因为,所以,在中,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与相切（）因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以同理可证,所以考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.6【2016高考新课标2理数】选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，

6、垂足为() 证明：四点共圆；()若，为的中点，求四边形的面积【答案】（）详见解析；（）.【解析】试题分析：（）证再证可得即得四点共圆；（）由由四点共圆，可得，再证明根据四边形的面积是面积的2倍求得结论.（II）由四点共圆，知，连结，由为斜边的中点，知,故因此四边形的面积是面积的2倍，即考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等7【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如

7、图，中的中点为，弦分别交于两点（I）若，求的大小；（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明【答案】（）；（）见解析【解析】试题分析：（）根据条件可证明与是互补的，然后结合与三角形内角和定理，不难求得的大小；（）由（）的证明可知四点共圆，然后根据用线段的垂直平分线知为四边形的外接圆圆心，则可知在线段的垂直平分线上，由此可证明结果试题解析：（）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以， 因此.（）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂

8、直平分线定理；4、四点共圆【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等8【2015高考湖北，理15】如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则 . 【答案】【解析】因为是圆的切线，为切点，是圆的割线，由切割线定理知，因为，所以，即，由，所以.9.【2015高考新课标2，理22】如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点GAEFONDBCM

9、 （）证明：；（） 若等于的半径，且，求四边形的面积【解析】（）由于是等腰三角形，所以是的平分线又因为分别与、相切于、两点，所以，故从而（）由（）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上连接，则由等于的半径得，所以所以和都是等边三角形因为，所以，因为，所以于是，所以四边形的面积10【2015高考陕西，理22】如图，切于点，直线交于，两点，垂足为（I）证明：；（II）若，求的直径 【2018年高考命题预测】纵观近几年高考试题，高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影

10、定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考可能以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部

11、分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说, “几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形

12、.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效. 【2018年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:相似三角形的定义与性质;平行线截割定理;直角三角形射影定理;圆周角与圆心角定理;圆的切线的判定定理及性质定理;弦切角的性质;相交弦定理;圆内接四边形的性质定理和判定定理;切割线定理. 【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上

13、截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆

14、的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性” 2借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察

15、其特征，找出相等的角或成比例的对应边3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等5.在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则；.7.辅助线作法：几

16、何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法【考点针对训练】1. 如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AHBE.连接ED并延长交AB于F，交AH于H.如果AB4AF，EH8，求DF的长【解析】AHBE，.AB4AF，HE8，HF2.AHBE，.D是AC的中点，1.HEHDDE8，HD4，DFHDHF422.2. 如图，在RtABC中，BA

17、C90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，求证：(1)ABACBCAD；(2)AD3BCCFBE.【解析】(1)在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD.ABACBCAD.(2)RtADB中，DEAB，由射影定理可得, BD2BEAB，同理CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在RtBAC中，ADBC，AD2BDDC，AD4BEABCFAC，又ABACBCAD.即AD3BCCFBE.【考点2】圆的有关问题【备考知识梳理】1圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(3)圆心角定理：圆心角的

18、度数等于它所对弧的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径2圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)判定： 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线

19、到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个dr相切一个dr相离无dr(2) 圆的切线性质及判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(3)切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线长相等3弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角(2)弦切角定理及推论定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 4与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦

20、定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PAPBPCPD；(2)ACPDBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是O的割线(1)PAPBPCPD；(2)PACPDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(3)切割线定理：从圆外

21、一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相

22、等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补4.涉

23、及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向【考点针对训练】1. 如图，为四边形的外接圆，且，是延长线

24、上一点，直线与圆相切求证：【解析】连结是圆的切线， ， 圆是四边形的外接圆， 2. 如图，点C是O直径BE的延长线上一点，AC是O的切线，A为切点， ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F（I）求的值；（11）若AB=AC，求的值 【解析】（）AC是O的切线，又是的角平分线，,，又是的直径，,() ，由（I）得，, 【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】选修4-1：几何证明选讲如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若，求的度数.【答案】45【解析】连结，因为为弧的中点，所以而，所以，即又因为，所以，故2. 【2016-2

25、017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】选修4-1：几何证明选讲如图，直线切圆于点，直线交圆于，两点，于点，且，求证：.【答案】见解析【解析】解：连结，设圆的半径为，则，.在中，即，又直线切圆于点，则，即，代入， ，.3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】（选修4-1：几何证明选讲）如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，分别交半圆于点.若，求的长.【答案】4. 【2017年第二次全国大联考江苏卷】【选修41几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，过点作圆的割线与切线，为切点,连接，的平分线与分别交于，其中求的大小【解析】由为的平分线得,由弦切角定理得,因为 ，所以，因此 1

26、0分5. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】如图，O的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为O上一点，求证：【解析】，为直径，又， 6. 【2017年第一次全国大联考江苏卷】如图，四边形是圆的内接四边形，的延长线交的延长线于点求证：平分.【解析】因为四边形是圆的内接四边形，所以因为，所以，所以，所以平分.10分7. 【2017年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】如图， 是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点若，求证：【解析】连接因为是圆的直径，所以-（3分）因为是圆的切线，所以，-（6分）又因为，所以，于是，从而，即，得-（10分）8. 【2017年高考原创押题预测卷01（江苏卷

27、）】如图，是O上的点，过E点的O的切线与直线交于点，的平分线和分别交于点.求证：(1) ；(2) 【答案】证明见解析9.【江苏省苏中三市2016届高三第二次调研测试】如图，AB是圆的直径，C为圆外一点，且，BC交圆于点D，过D作圆切线交AC于点E.求证：【答案】详见解析【解析】证明：连结，因为，所以由圆知，所以从而，所以. 又因为为圆的切线，所以，又因为，所以10【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图，在RtABC中，ABBC以AB为直径的O交AC于点D，过D作DEBC，垂足为E，连接AE交O于点F求证：BECEEFEA【答案】详见解析11【江苏省南京市2016届高三年级第三次

28、学情调研适应性测试数学】如图，ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP/AC，交AB于点E，交圆O在A点处的切线于点P求证：PAEBDE【答案】详见解析【解析】证明：因为PA是圆O在点A处的切线，所以PABACB 因为PDAC，所以EDBACB，所以PAEPABACBBDE又PEABED，故PAEBDE12【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知半圆O的半径为2，P是直径BC延长线上的一点，PA与半圆O相切于点A， H是OC的中点，AHBC（1）求证：AC是PAH的平分线；（2）求PC的长【答案】（1）详见解析（2）2 (2)因为H是OC中点，半圆O的半径为2，所以BH3，CH1又因为AHBC，所以AH2BHHC3，所以AH在RtAHC中，AH，CH1，所以CAH30由(1)可得PAH2CAH60，所以PA2由PA是半圆O的切线，所以PA2PCPB，所以PC(PCBC)(2)212，所以PC213【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】已知内接于，是的直径，是边上