高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.2.3 指数函数与对数函数的关系学案 新人教B版必修

1、3.2.3指数函数与对数函数的关系学习目标1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系.2.利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题.知识链接在同一坐标中，作出函数y2x与ylog2x的图象，两图象关于直线yx对称.预习导引1.反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.称这两个函数互为反函数.(2)反函数的记法：函数yf(x)的反函数通常用yf1(x)表示.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数yax与对

2、数函数ylogax互为反函数.(2)指数函数yax与对数函数ylogax的图象关于yx对称.要点一求反函数例1写出下列函数的反函数：(1)ylg x；(2)ylogx；(3)y()x；(4)yx.解(1)ylg x的底数为10，它的反函数为指数函数y10x.(2)ylogx的底数为，它的反函数为指数函数yx.(3)y()x的底数为，它的反函数为对数函数ylogx(x0).(4)yx的底数为，它的反函数为对数函数ylogx(x0).规律方法指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数.跟踪演练1求下列函数的反函数：(1)ylog2x；(2)yx；(3)y5x1.解(1)由ylog2x，得yR，

3、x2y，f1(x)2x，xR.(2)由yx，得xlogy且y0.f1(x)logx(x0).(3)由y5x1，得x且yR，f1(x)，xR.要点二互为反函数的性质应用例2已知函数yaxb(a0且a1)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a，b的值.解yaxb的图象过点(1,4)，ab4.又yaxb的反函数图象过点(2,0)，点(0,2)在原函数yaxb的图象上.a0b2.联立得a3，b1.规律方法互为反函数的图象关于直线yx对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于yx对称，所以若点(a，b)在函数yf(x)图象上，则点(b，a)必在其反函数yf1

4、(x)图象上.跟踪演练2已知f(x)log3x，则f1(4)_.答案81解析由log3x4，得x3481.即f1(4)3481.要点三指、对数函数的图象性质应用例3设方程2xx30的根为a，方程log2xx30的根为b，求ab的值.解将方程整理得2xx3，log2xx3.如图可知，a是指数函数y2x的图象与直线yx3交点A的横坐标，b是对数函数ylog2x的图象与直线yx3交点B的横坐标.由于函数y2x与ylog2x互为反函数，所以它们的图象关于直线yx对称，由题意可得出A、B两点也关于直线yx对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a).而A、B都在直线yx3上，ba3(A点坐标代

5、入)，或ab3，故ab3.规律方法形如axkxb(a0且a0)或logaxkxb(a0且a1)的方程的求解常借助于函数图象，求两函数图象的交点.跟踪演练3函数f(x)lg xx3的零点所在区间为()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3，)答案C解析在同一平面直角坐标系中，画出函数ylg x与yx3的图象.它们交点的横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除A，D.至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观很难做出判断.实际上这是要比较x0与2的大小.当x2时，lg xlg 2，x31，由于lg 21，因此x02，从而得到x0(2,3)，故选C.1.函数ylogx(

6、x0)的反函数是()A.yx，x0 B.y()x，xRC.yx2，xR D.y2x，xR答案B解析互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同.2.若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)等于()A.log2x B. C.logx D.2x2答案A解析yax的反函数f(x)logax，则1loga2，a2.3.已知函数yax与ylogax(a0且a1)，下列说法不正确的是()A.两者的图象关于直线yx对称B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C.两函数在各自的定义域内的增减性相同D.yax的图象经过平移可得到ylogax的图象答案D解析由反函数的定义及互为反函数的函数图象间的对称关系可知A、B、C选项均正确.4.已知y()x的反函数为yf(x)，若f(x0)，则x0等于()A.2 B.1 C.2 D.答案C解析y()x的反函数是f(x)logx，f(x0)logx0.x0()2.5.已知f(x)a是R上的奇函数，则f1的值是_.答案2解析由f(x)为奇函数知a1，f(x)由，得x2.1.对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数.它们的图象关于直线yx对称.2.求给定解析式的函数