本二解答题答案

1、1、设两两相互独立的三事件满足条件：，且已知，求.解： ， 则，其中舍去，因为. 2、设事件与相互独立，两事件中只有发生及只有发生的概率都是，试求及.解：由已知条件知：则 解得 3、一口袋中有6个红球及4个白球。每次从这袋中任取一球，取后放回，设每次取球时各个球被取到的概率相同。求：（1）前两次均取得红球的概率；（2）取了次后，第次才取得红球的概率。解：（1）记A=前两次均取得红球， （2）记B=取了次后，第次才取得红球，4、甲、乙、丙3位同学同时独立参加概率论与数理统计考试，不及格的概率分别为.（1）求恰有两位同学不及格的概率；（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学乙的

2、概率.解：（1）设，.则 （2）、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4，0.5，0.7，又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2，若有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6，若三门炮同时射中，飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率？解：设甲炮射中飞机，乙炮射中飞机，丙炮射中飞机，一门炮射中飞机，两门炮射中飞机，三门炮射中飞机，飞机坠毁，则由题意可知事件相互独立，故 故由全概率公式可得： 6、已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率

3、.解：设为被查后认为是合格品的事件，为抽查的产品为合格品的事件. ， 7、某厂用卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱。现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。解：考虑成从10个纸箱中取3箱这样一个模型，设=第i次取道民用口罩，i=1，2，3。 则8、设有来自三个地区的各名，名和名考生的报名表，其中女生的报名表分别为份，份和份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率

4、.解：设事件表示报名表是个考区的,；事件表示第次抽到的报名表是女生表,；则有 (1)由全概率公式可知，先抽到的一份是女生表的概率为 (2)所求事件的概率为 先考虑求解，依题意可知，抽签与顺序无关，则有 ， 由全概率公式可知： 因为； 则由全概率公式可知： 故所求事件的概率为：9、玻璃杯成箱出售，每箱只，假设各箱含只残次品的概率相应为，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解：令表示顾客买下所查看的一箱玻璃杯，表示箱中恰有件残次品,由题意可得：

5、 (1)由全概率公式可知，顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为： (2)由贝叶斯公式知，在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率为： 10、设有两箱同类零件，第一箱内装件，其中件是一等品；第二箱内装件，其中件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求(1)现取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解:(1)记表示在第次中取到一等品, 表示挑到第箱.则有 (2) 11、有朋友自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是.若坐火车来迟到的概率是；坐船来迟到的概率是；坐汽车来迟到的概

6、率是；坐飞机来，则不会迟到.实际上他迟到了，推测他坐火车来的可能性的大小？解：设表示朋友坐火车来，表示朋友坐船来，表示朋友坐汽车来，表示朋友坐飞机来； 表示朋友迟到了. 朋友坐飞机迟到的可能性为.12、甲乙两队比赛，若有一队先胜三场，则比赛结束假定在每场比赛中甲队获胜的概率为0.6，乙队为0.4，求比赛场数的数学期望解：设表示比赛结束时的比赛场数，则的可能取值为3，4，5 其分布律为； 故， 13、一箱中装有6个产品,其中有2个是二等品,现从中随机地取出3个,试求取出二等品个数的分布律.解:的可能取值为 从而的分布律为: X012P14、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为，乙的命

7、中率为，以和分别表示甲和乙的命中次数，试求和的联合概率分布.解：由题意知：， 因为和相互独立，则 从而随机变量和的联合分布律为： 012 04/252/251/100 18/25 4/251/50 24/25 2/251/10015、袋中有只白球，只黑球，现进行无放回摸球，且定义随机变量和：；求：(1)随机变量的联合概率分布；(2)与的边缘分布.解：(1)由题意可知：的可能取值为0,1；的可能取值为0,1. 从而随机变量的联合概率分布为： XY0103/103/1013/101/10 (2)因为 从而的边缘分布律为： X01P 因为 从而的边缘分布律为： Y01P16、某射手每次打靶能命中的概

8、率为，若连续独立射击5次，记前三次中靶数为，后两次中靶数为,求（1）的分布律；（2）关于和的边缘分布律解：(1)由题意的所有可能取值为0，1，2，3，的所有可能取值为0，1，2. 1分 , , , , , , , , , , , 故的联合分布律为： 012 (2) 和的边缘分布律分别为： 0123 17、设随机变量的概率密度为， 试求（1）系数;（2）方差.解：(1)因为 ，所以，即 (2), 因而， . 18、设随机变量的分布函数为求：(1)确定常数和；（2）的概率密度函数解：（1）因是连续函数，故 ， 即，解得 （2）由可知，19、设二维随机变量的联合概率密度为 求（1）的值；（2）解：（

9、1） (2) 20、某工厂生产的一种设备的使用寿命（年）服从指数分布，其密度函数为 。工厂规定，设备在售出一年之内损坏可以调换，若售出一台可获利100元，调换一台设备需花费300远，试求厂方售出一台设备净获利的数学期望。解：设Y=厂方售出一台设备净获利，则Y的可能取值为100，-200。 ， 故，21、某种型号的器件的寿命（以小时计）具有以下的概率密度 。现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取4只，问其中至少有一只寿命大于2000小时的概率是多少？解：设4只器件中寿命大于1000小时的器件个数为,则， 且其中 故 22、 设随机变量的概率密度为 . 求的概率密度.解：的分布函数为

10、： 当时， 当时， 故的概率密度函数为：23、设随机变量服从上的均匀分布，求方程有实根的概率.解：依题意可知，则的概率密度为： 2分若要使得方程有实根，则有：，即；解得或 故方程有实根的概率为： 24、设一物体是圆截面，测量其直径，设其直径服从上的均匀分布，则求横截面积的数学期望和方差，其中解:由题意可得,直径的概率密度为:则 而横截面积故 5 分 25、设随机变量服从正态分布，求随机变量函数的密度函数。 解： 服从为偶函数， 即 26、设某种药品的有效期间以天计，其概率密度为求：(1)的分布函数；(2)至少有天有效期的概率. 解：(1)当时， 当时， 则 (2) 27、设随机变量服从均匀分布

11、，求的概率密度.解：的反函数为，且 当即时， 故的概率密度为： 28、设随机变量的概率密度为求随机变量的概率密度解：函数严格单调，反函数为， 则 29、设二维随机变量的概率密度为，求.解：在的区域上作直线，并记，则 = = = = 30、设随机变量的联合概率密度函数为试求(1)的分布函数；(2)的边缘密度函数.解：(1)当时， 当时， 在其他情况下， 从而的分布函数为 (2)当时， 7分 在其他情况下， 从而的边缘密度函数为：31、设随机变量的联合概率密度函数为 试求(1)和的边缘密度函数；(2).解：(1)当时， 在其他情况下， 从而的边缘密度函数为： 当时， 在其他情况下， 从而的边缘密度

12、函数为： (2)32、设二维连续型随机变量的概率密度为，（1）确定常数；（2）讨论的独立性解：（1）因为，所以 （2）因为；同理可得 显然对任意的，恒有，故随机变量相互独立33、设二维随机变量的联合密度函数, 求：(1)的分布函数；(2) 关于的边缘分布函数. 解： (1) 即有 （2）当时， 当时，的边缘分布密度函数 当时，当时，的边缘分布函数 34、设二维连续型随机向量的概率密度为求：(1)的分布函数；(2)关于的边缘概率密度.解：(1) (2) 35、设二维随机变量的联合概率密度为 求（1）的值；（2）.解：（1）因 故 （2） 36、设(X,Y)的联合分布律为试求：（1）边缘分布Y的分

13、布律；（2）；（3）.112解：（1）边缘分布Y的分布律为： （2） (3), 因, 故 37、从学校乘汽车到火车站的途中有个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求(1)的分布律；(2)的期望. 解：(1)由题意可知： 则 从而的分布律为：0123(2) 38、设盒中放有五个球，其中两个白球，三个黑球。现从盒中一次抽取三个球，记随机变量X,Y分别表示取到的三个球中的白球数与黑球数，试分别计算X和Y的分布律和数学期望. 解： 的可能取值为0，1，2， ， 的分布列为X012P0.60.3类似可求 的分布列为Y321P0.60.3 所以 ， 又

14、因为 39、一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求的数学期望和方差. 解：设 易见有四个可能值0，1，2，3。由于独立，可见 所以 40、设随机变量的概率密度，试求：（1）概率；（2）数学期望。解：（1）=1-=1-=1-1=0 （2）41、设随机变量的概率密度为已知，求系数.解：由概率密度的性质而所以有(1) 又因所以有(2) 因故而所以 (3) 解由(1),(2),(3)所组成的方程组，得42、设的概率密度为 试求：（1）的分布函数； （2）数学期望。解：（1）当时， ； 当时

15、， ； 当时， . 综上，的分布函数 （2）43、设随机变量代表某生物的一项生理指标，根据统计资料可认为其数学期望，标准差试用切比雪夫不等式估计概率解：因为=，而， 由切比雪夫不等式，44、设是总体的一个样本，若，样本方差，试求.解：因是总体的一个样本，且，则由题意可知 故 因， 故45、已知总体服从(二点分布)，为总体的样本，试求未知参数的最大似然估计解：的分布律, 似然函数 令 解得,故最大似然估计量46、设总体X服从正态分布，其中是末知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，试求的极大似然估计量。解：由题意，的概率密度函数为： 样本的似然函数为： 所以对数似然函数为： 求导得似然方程

16、为：，解得 故的极大似然估计量为： 47、设总体的概率密度为其中是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，求（1）的矩阵估计量；（2）判断是否为的无偏估计量. (3)求的极大似然估计量。解：（1） 因总体期望值的矩估计为样本平均值,则,从而的矩估计量为：. （）因 故不是的无偏估计量. （）ln（）=得到48、设服从正态分布，和均未知参数，试求和的最大似然估计量. 解：的概率密度为： 似然函数为： 对数似然函数为： 令 因此得的最大似然估计量为：49、设是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试求的最大似然估计量及矩估计量.解：(1)依题意可知,总体,其分布律为则似然函数为: 对数似然函

17、数为:似然方程为: 解得为的最大似然估计量. (2)因为总体,则故=为的矩估计量.50、设总体的概率密度为，是取自总体的简单随机样本.求：(1) 的矩估计量；(2) 的方差.解：(1) 记，令，则的矩估计量为：. (2)因为 所以 的方差为：51、设总体的概率分布列为： 0 1 2 3 p2 2 p(1-p) p2 1-2p其中 () 是未知参数. 利用总体的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3求 (1) p的矩估计值； (2) p的极大似然估计值 .解：(1) ， 令 ， 得 的矩估计为 . (2) 似然函数为 令 ， . 由 ，故舍去所以的极大似然估计值为 52、设总体的概率密度为 其中是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，求(1)的矩估计量；(2)的最大似然估计量.解：