高二数学球的体积

1、高二数学球的体积一、课型种类：新授课二、教学目标 知识目标 （1）了解球的体积公式V=的推导过程，体会其基本思想：“分割求近似和-化为准确和”的数学思想； （2）会用球的体积公式V=解决有关问题； (3) 几何体的截切问题； 能力目标 （1）培养学生观察、估算、论证能力 （2）培养学生了解“分割求近似和-化为准确和”的数学思想 德育目标 培养学生用普遍联系的观点看问题； 三、教学重点球的体积公式的应用四、教学难点球的体积公式的推导五、教学设想：利用构建主义教学理论，循序渐进的教学原则，采用启发探究式教学方法，构建“发现猜想实验类比论证应用引申”过程，促成学生主动建构新知。六、学法指导：通过“球

2、的体积”的教学，不仅要求学生掌握球的体积公式，更要培养学生观察、估算、猜想、类比和论证能力，并注意完善学生的认知结构。七、教具选择：多媒体课件（用flash制作）,自制圆柱、圆锥、半球模型各一个八教学过程： （一）问题引入：已知球的半径为R，求V球=？（问题引入，激发兴趣） （教师出示flash动画）RRRR教师为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积，观察动画1，你能发现，三个量的大小关系吗？ (通过类比，让学生目测大小，培养学生的观察能力)教师：求出，并大胆猜想=？ =；=，即 (引导学生猜想，猜想是发现的开始)教师可以在学生猜想未果的情况下诱导一下：将的系数“1”改为“”，得：学

3、生猜想： =教师猜想的结果不一定可靠，做一个实验来验证一下猜想的结果吧！(二)实验过程 （实验过程可由教师讲解步骤，学生上台合作完成） 取一个半径为R的半球面，再取半径和高都是R的圆桶和圆锥各一个，将圆锥放入圆桶内，再将半球容器装满水，然后把半球内的水倒入圆桶内，发现圆桶恰好被装满。 （理、化有实验，数学也可以有实验。以实验验证猜想，体现实证精神，易激发学生探究兴趣）教师：你能将实验结果用等式表达出来吗？ =-=-=教师:由实验结果有 =,且:=1:2:3教师中学数学是建立在推理的基础上的,实验结果是否可靠还需要论证才行,如何论证呢?教师可以引导学生回忆在平面几何中求圆的周长过程:用正n边形的

4、周长近似圆的周长,当n越大时,正多边形的周长就越接近圆的周长,当n无限大时,正n边形的周长就可以看作是圆的周长.教师正是这种 “以直代曲”的方法,使我们能够求得圆的周长,我们是否可以对此方法稍加改造,来完成我们求半球体积的过程. (三)论证过程:（学生活动，教师指导）(1) 分割把垂直于底面的半径OA作n等分,经过这些等分点用一组平行于底面的平面把半球切割成n层(2) 求近似和每层都是近似于圆柱形状的 “薄圆片”, 这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积.由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积。圆柱的高就是“薄圆片”的厚度，底面就是“薄圆片”的下底面。由勾股定理可得，第层

5、（由下向上数），“薄圆片”的下底面半径是，第层“薄圆片”的体积是，半球体积是 = （*）这里要用到自然数平方公式：半球的体积 (3) 由近似和转化为准确和教师:当所分层数不断增加,即n不断变大时, 式的精确程度越来越高,如果n变为无穷大,那么就能由式推出的精确值,你能求出当n无限增大时右边的结果吗?学生:随着n增大,越来越小 (例如当n =1000时, =;当n=10000时, =,)当n变得无穷大时, 趋近于0, =.教师:因此我们得到了下面的定理: 定理: 半径为R的球的体积是 V=教师:为了推出上面的球的体积公式,我们使用了 “分割求近似和,在由近似和转化为精确和”的方法,即先将半球分割

6、成n部分,再求每一部分的近似体积,并将这些近似值相加,得出半球的近似体积,最后考虑n变为无穷大的情形,由半球的近似体积推出精确体积,这是一种重要的数学思想方法,后面推导球的表面积公式时,我们将再次运用它.五、知识应用与解题研究例1有一种空心钢球，质量为，测得外径等于，求它的内径（钢的密度为，精确到）（利用课件演示）解：设空心球内径为，x则钢球质量为，直径，答：空心钢球的内径约为 巩固练习：1球的大圆面积增大为原来的100倍，则体积增大为原来的_1000_倍； 2三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的_2_倍； 3一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4cm，求这个球的体积

7、。 变式引申1：有三个球，一个切于正方体的各面；另一个内切于正方体的各棱；一球过正方体的各顶点，求这三个球的体积之比。（答案：1：）变式引申2：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。（答案：4：6：9）（这两题可以根据教学班的实际情况选讲）六小结：（可由学生归纳，教师总结）1球的体积公式的推导及思想；2球的体积公式的应用;七作业：（一）课本 P67 5、6；（二）预习内容 课本P65 P67球的体积球的体积的 例题 变式引申1 小结发现过程 练习 变式引申2 作业板书设计：教学设计说明： 本节课主要让学生掌握球的体积公式的推导及应用，其中球的体积公式的推导是难点，公式的应用是教学的重点，

8、那么在教学中用什么方法能既突出重点，又能突破难点呢？ 在设计中，教师并不是直截了当地将体积公式的推导过程“抛”给学生，而是依照建构主义理论要求，从问题引入，让学生经历球的体积的估算、猜想、实验过程，顺理成章地得到球的体积公式。因为整个过程中都是在学生的积极参与中完成的，吸引了学生的注意力，激发了学生的学习兴趣，使得课堂生动活泼。另外，为了让学生对体积公式的论证过程“分割、求近似和、化为准确和”这一难点不感到突然，教师采用类比的思想，从学生熟悉的问题：求圆的周长所采用“分割、以曲代直”的方法类比引出“分割、求近似和、化为准确和”。这样处理，对于学生能力的建构，思维能力提高大有裨益。 在例题设计中，充分挖掘课本例习题的教学功能。在让学生自