高考数学人教鲁京津专理一轮复习课件第七章不等式7.2

1、第七章不等式,7.2一元二次不等式及其解法,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,思想与方法系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识自主学习,1“三个二次”的关系,知识梳理,1,x|xx2,x|xR,x|x ,x|x1 xx2,答案,2.常用结论 (xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法,x|xa,x|xa,x|axb,口诀：大于取两边，小于取中间,答案,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若不等式ax2bxc0.() (2)不等式0的解集是1,2() (3)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x

2、2.() (4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集 为R.() (5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.(),答案,思考辨析,1(教材改编)不等式x23x100的解集是() A(2,5) B(5，) C(，2) D(，2)(5，),解析解方程x23x100得x12，x25， 由yx23x10的开口向上，所以x23x100的解集为(，2)(5，),D,考点自测,2,解析答案,1,2,3,4,5,2设集合Mx|x23x40，Nx|0 x5，则MN等于() A(0,4 B0,4) C1,0) D(1,0,B,解析Mx|x23x40 x|1x

3、4， MN0,4),解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,答案A,解得a6，b5，不等式x2bxa0即为x25x60，解集为(2,3),4(教材改编)若关于x的不等式m(x1)x2x的解集为x|1x2，则实数m的值为_,解析因为m(x1)x2x的解集为x|1x2 所以1,2一定是m(x1)x2x的解，m2.,2,解析答案,1,2,3,4,5,解析由题意可知，0且x1x2a210，故1a1.,5(教材改编)若关于x的方程x2axa210有一正根和一负根，则a的取值范围为_,(1,1),解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类深度剖析,命题点1不含参的不等式,解方程2x2

4、x30得x11，x2 ，,例1求不等式2x2x30，,不等式2x2x30的解集为(，1)( ，)，,即原不等式的解集为(，1)( ，),一元二次不等式的求解,题型一,解析答案,命题点2含参不等式 例2解关于x的不等式：x2(a1)xa1时，x2(a1)xa0的解集为x|1xa， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为， 当a1时，x2(a1)xa0的解集为x|ax1,解析答案,将原不等式改为ax2(a1)x11.,引申探究,解析答案,思维升华,思维升华,含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论 (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，

5、若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集,求不等式12x2axa2(aR)的解集 解12x2axa2， 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，,a0时，x20，解集为x|xR且x0；,跟踪训练1,当a0时，不等式的解集为x|xR且x0；,解析答案,例3(1)若一元二次不等式2kx2kx 0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(),命题点1在R上恒成立,A(3,0

6、B3,0) C3,0 D(3,0),D,一元二次不等式恒成立问题,题型二,解析答案,(2)设a为常数，xR，ax2ax10，则a的取值范围是() A(0,4) B0,4) C(0，) D(，4),B,解析答案,命题点2在给定区间上恒成立,例4设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围,解析答案,解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即,有以下两种方法：,当m0时，g(x)在1,3上是增函数，,所以g(x)maxg(3)7m60，,解析答案,当m0时，60恒成立；,当m0时，g(x)在1,3上是减函数， 所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.,

7、解析答案,命题点3给定参数范围的恒成立问题,例5对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_ 解析x2(k4)x42k0恒成立， 即g(k)(x2)k(x24x4)0， 在k1,1时恒成立,x|x3,解之得x3.,解析答案,思维升华,思维升华,(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数,(

8、1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为() A1,4 B(，25，) C(，14，) D2,5,解析x22x5(x1)24的最小值为4， 所以x22x5a23a对任意实数x恒成立， 只需a23a4，解得1a4.,A,跟踪训练2,解析答案,(2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_,解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，,解析答案,(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yf(x)，并写出定义域；,例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若

9、售价降低x成(1成10%)，售出商品数量就增加 x成要求售价不能低于成本价,所以yf(x)40(10 x)(254x)，定义域为x0,2,一元二次不等式的应用,题型三,解析答案,(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围,解 由题意得40(10 x)(254x)10 260，,解析答案,思维升华,思维升华,求解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系 (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义 (4)回归实际问题，将数学结

10、论还原为实际问题的结果,某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量,(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；,解y(10.75x)12(1x)10(10.6x)10 000,6 000 x22 000 x20 000，,即y6 000 x22 000 x20 000(0x1),跟踪训练3,解析答案,(2)为使本年度的

11、年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解 上年利润为(1210)10 00020 000. y20 0000，即6 000 x22 000 x0，,解析答案,返回,思想与方法系列,典例(1)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_,思维点拨(1)考虑“三个二次”间的关系； (2)将恒成立问题转化为最值问题求解,思维点拨,解析答案,思想与方法系列,13.转化与化归思想在不等式中的应用,(2)已知函数f(x) ，若对任意x1，)，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_,f(x)的值域为0，)，

12、,解析 (1)由题意知f(x)x2axb,解析答案,，得26，c9.,答案9,解析答案,即当x1时，a(x22x)g(x)恒成立 而g(x)(x22x)(x1)21在1，)上单调递减， g(x)maxg(1)3，故a3. 实数a的取值范围是a|a3,答案 a|a3,温馨提醒,返回,(1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题 (2)注意函数f(x)的值域为0，)与f(x)0的区别,温馨提醒,返回,思想方法感悟提高,1“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形 2f(x)0的解集即

13、为函数yf(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想 3简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解,方法与技巧,1对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形 2当0 (a0)的解集为R还是，要注意区别 3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1不等式(x1)(2x)0的解集为() Ax|1x2 Bx|x1或x2 Cx|12,15,解析由(x1)(2x)0可知(x2)(x1)0， 所以不等式的解集为x|1x2,A,解析答案,1,2,3,4,

14、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A.1,1 B.2,2C.2,1 D.1,2,解析方法一当x0时，x2x2， 1x0； 当x0时，x2x2，0x1. 由得原不等式的解集为x|1x1. 方法二作出函数yf(x)和函数yx2的图象，如图， 由图知f(x)x2的解集为1,1.,A,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是() A.a|0a4 B.a|0a4 C.a|0a4 D.a|0a4,解析由题意知a0时，满足条件.,得0a4，所以0a4.,D,解析答案,4.已知不等式x22x30

15、的解集为A，不等式x2x60的解集是B，不等式x2axb0的解集是AB，那么ab等于() A.3 B.1 C.1 D.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析由题意，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2， 则不等式x2axb0的解集为x|1x2. 由根与系数的关系可知，a1，b2， 所以ab3，故选A.,A,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,5.设a0，不等式caxbc的解集是x|2x1，则abc等于() A.123 B.213 C.312 D.321,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1

16、0,11,12,13,14,15,解析c0，,不等式的解集为x|2x1，,解析答案,abca 213.,答案B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.若不等式mx22mx42x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是() A.(2,2 B.(2,2) C.(，2)2，) D.(，2,解析原不等式等价于(m2)x22(m2)x40， 当m2时，对任意x不等式都成立； 当m20时，4(m2)216(m2)0， 2m2， 综合，得m(2,2.,解析答案,A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6

17、,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,则不等式2x2bxa0，即2x22x120， 其解集为x|2x3. 答案x|2x3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析f(x3)f(x)， f(2)f(13)f(1)f(1)1.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m0的解集； 解由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn). 当m1，n2时，不

18、等式F(x)0， 即a(x1)(x2)0. 当a0时，不等式F(x)0的解集为x|x2； 当a0的解集为x|1x2.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，,xm0. f(x)m0，即f(x)m.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)0的解集是(),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析f(

19、x)0的两个解是x11，x23且a3或2x1，,答案A,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)当a0时，显然不符合条件. (2)当a0时，画出函数yf(x)和yf(xa)的图象大致 如图(1).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由图(1)可知，当a0时，yf(xa)的图象在yf(x)图象的上边，故a0不符合条件. (3)当a0时，画出函数yf(x)和yf(xa)的图象大致如图(2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案A,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，当x1,1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是() A.12 C.b2 D.不能确定,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由f(x)的图象可知f(x)在1,1上为增函数. x1,1时，f(x)minf(1)12b2b1b2b2， 令b2b20，解得b2.,答案