高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课堂导学案苏教版选修

1、3.3 复数的几何意义课堂导学三点剖析各个击破一、复数的点表示【例1】 设复数z满足|z|=5，且(3+4i)z在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上，|z-m|=5 (mR),求z和m的值.解：设z=a+bi(a,bR)|z|=5,a2+b2=25.而（3+4i）z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b）i，又(3+4i)z在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，3a-4b+4a+3b=0，得b=7a，a=，b=，即z=(+i)，z=(1+7i).当z=1+7i时，有|1+7i-m|=5，即（1-m）2+72=50,得m=0,m=2.当z=-(1+7i)时，同理可得m=

2、0,m=-2.类题演练 1已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，求实数x的范围.答案：解：x为实数，x2-6x+5和x-2都是实数.复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，解得1x2,即1x2为所求实数x的范围.变式提升 1已知复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z1+(z2-2)i=2z2-(1+z1)i,求z1和z2.答案：解:由于z1、z2在复平面内的对应点关于原点对称，有z2=-z1，代入已知等式，得3z1+(-z1-2)i=-2z1-(1+z1)i.解得5z1=i.z1=i,z2=-i.二、复数的向量表示【例2】向量表示

3、的复数为3+2i，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量，分别写出.(1)向量对应的复数；(2)点对应的复数；(3)向量对应的复数.思路分析：根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，若模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数.解：如右图所示，O为原点，点A的坐标为（3，2），向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点O的坐标为（-2，3）.点A的坐标为（1，5），坐标平移不改变的方向和模.（1）向量对应的复数为3+2i;（2）点对应的复数为-2+3i;（3）向量对应的复数为-

4、3-2i.类题演练 2已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.试求：(1)表示的复数；（2）表示的复数；（3）B点对应的复数.答案：解析：（1），表示的复数为-(3+2i)即-3-2i.(2)，表示的复数为（3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3),表示的复数为（3+2i）+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i,变式提升 2已知两个向量a、b对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量a与b的夹角.答案：解:a=（3，0），b=（-5，5），所以ab=-15，|a|=3，|b|=.设a与b的夹角为,所以cos=.因为0,所以=.

5、三、复数模的几何意义【例3】 设ZC,满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）|z|=4；（2）2|z|4.解：（1）如左下图，复数z的模等于4，就是说，向量的模等于4，所以满足条件|z|=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.（2）不等式2|z|4可化为不等式组如右上图，不等式|z|2的解集是圆|z|=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2|z|4的点Z的集合.容易看出，点Z的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.温馨提示满足条件|z|=r(r为正常数)的点Z的集合是以原点为圆心、r为半径的圆.类题演练

6、 3已知点集D=z|z+1+i|=1,zC，试求|z|的最小值和最大值.答案：解:点集D的图象为以点C（-1，-）为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|=|z|.如右图，当OP过圆心C(-1,- )时，与圆交于A、B，则|z|的最小值是|OA|=|OC|-1=-1=2-1=1,即|z|min=1；|z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3，即|z|max=3.变式提升 3已知z=3+ai，且|z-2|2,求实数a的取值范围.答案：解法一:利用模的定义，从两个已知条件中消去z.z=3+ai(aR),由|z-2|2,得|3+ai-2|2,即|1+ai|2,2,解之-a.解法二:利用复数的几何意义.由条件|z-2|2