高中数学奥赛辅导系列——三角函数的性质及其变换（1）

1、三角函数的性质及其变换多年来，三角函数试题在全国高考中的题量及其分数都没有较大的变动，每年的分数一般在二十分左右试题难度都为中低档题主要考察的内容有：三角函数的定义和基本关系式关于今后几年全国高考对三角函数的命题趋向，我们认为：1. 试题数量及其分数在试卷中所占比例将基本保持稳定2. 所有试题都是中低档难度试题，而解答题的难度还将略有下降，原因有三个：一是需用时将列出有关公式，这实际上是对解题的关键步骤给出了提示；二是“简单的三角方程”已经改为不作高考要求的选学内容，因而需用解简单的三角不等式的试题将会更加简单；三是新的教学大纲中规定删去了“三角函数中较复杂得恒等变形”，因此，即使在新大纲实施

2、之前，高考命题也会受到它的影响3. 涉及积化和差与和差化积公式的试题在三角试题中的比例将会明显下降，而同时涉及这两组公式的试题已几乎不可能再出现，因此这两组公式已不再是高考的热点4. 倍角公式的变形半角公式、升幂公式与降幂公式考查的可能性较大，掌握这几个公式对解决一些相对复杂的三角变换有好处即：sin2，5. 由于解斜三角形需要较多的应用平面几何知识，因而今后几年涉及这一类中的高考题，仍将会像1998年的三角解答题那样，仅限于简单的应用正弦定理和余弦定理另外，这两个定理也很可能在解答几何或结合实际的应用题中使用由于2000年的三角解答题的难度已经“略有下降”，因此，今后几年此类试题的难度也将“

3、基本保持稳定”在本讲的复习中，我们将注意以下几点：1. 以小题为主，中低档题为主，并注重三角函数与其他知识的交汇点处的习题2. 适当增大复习题中的求值与求范围的题目的比例3. 对正、余弦定理的应用力求熟练，并避免繁杂的近似计算本讲分三个部分：第一部分是三角函数的变换，第二部分是三角函数的图像和性质，第三部分是三角形中的三角函数问题，主要是正弦定理和余弦定理的应用第一部分例1. 已知sincos，且，那么cossin的值为（）ABCD分析:由于，所以cossin，于是cossin，选D例2. 若tan2，则_提示：将分子中的2化为单角，分母中的1用sin2cos2替换，然后分子分母同除以cos2

4、即可结论为例3. 化简(0)提示：将分子分母全部化为的表达式，然后注意0，即可得结论：cos例4. 求tan9cot117tan243cot351的值解：原式tan9tan27cot27cot9 (tan9cot9)(tan27cot27) 例5. 已知、(0，)且tan()，tan，求2的值解：() tantan() tan(2)tan() 1 又(0，)，且tan0，(，)，同理可得(0， ) 20 于是 2例6. 已知(0，)，sincos，求的值解：由已知得：sin2，且2(，)， cos2， tan2，带入所求式 练习：一、选择题1. 若cos2，且，则sin（）ABCD提示：注意是

5、钝角，所以sin0，由半角公式可得：sin，选A2. 已知tan159m，则sin2001（）ABCD解：由已知得tan21tan159m 2001sin21tan21cos21选B3. 已知180270，且sin(270)，则tan（）A3B2C2D3解：由已知cos，而180270， sin tan3选D4. 已知tan()，tan(，那么tan()（）ABCD提示：注意到()()，则直接使用正切差角公式即可得结论选B5. 若sinsin(coscos)，、(0，)，则的值为（）ABCD解：已知等式两边和差化积得：2sin 02， sin0，于是tan 又注意到coscos0， ，且(，)

6、 ， 选D6. 已知(0，)，lg(1sin)m，lgn，则lgcos（）AmnBmC(mn)D(m)解：lgcoslglg(1sin)lg(1sin)(mn)选C二、填空题7. 若(sincos)22x2-x，(0，)，则tan_解：由三角函数定义(sincos)22，而由基本不等式2x2x2 于是只有(sincos)22由此推得锐角8. 已知sincos，则sin3cos3_解：已知等式平方可得sincos 于是：sin3cos3(sincos)(1sincos)9. _解：原式10. f(x)2tanx，则f()_解：化简f(x)2(tanx)，利用半角公式计算可得tan2 2 f()8

7、三、解答题11. 已知tan，求cos()的值解：cos()cossin tan 由万能公式可得sin4/5 cos3/5 cos()12. 求2cos40sin10(1tan10)的值解：原式cos10(2cos40sin10) 2cos10cos40sin10(cos10sin10) 2(cos10cos40sin10sin40)2cos3013. 已知cos()，sin()，且2，求cos()的值解： ()() 2， 又cos()，sin()， sin()，cos() coscos()()14. 若tan2log3x，tan3logx，且，求x解：， tan()1 又tan()1 6logx5log3x10 x或x15.已知sinsinsin165，coscoscos165，求c