高中数学 （2.2.3 直线与平面平行的性质）示范教案 新人教A版必修

1、2.2.3 直线与平面平行的性质整体设计教学分析 上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.三维目标1.探究直线与平面平行的性质定理.2.体会直线与平面平行的性质定理的应用.3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣.重点难点教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.课时安排1课时教学过程复习 回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直

2、线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言为：（3）图形语言为：如图1.图1导入新课思路1.(情境导入) 教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？思路2.(事例导入) 观察长方体（图2），可以发现长方体ABCDABCD中，线段AB所在的直线与长方体ABCDABCD的侧面CDDC所在平面平行，你能在侧面CDDC所在平面内作一条直线与AB平行吗？图2推进新课新知探究提出问题回忆空间两直线的位置关系.若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.试证明直线与平面平行的性质定理.应用线面平行的

3、性质定理的关键是什么？总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题引导学生回忆两直线的位置关系.问题借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生用排除法.问题引导学生找出应用的难点.问题鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面. 怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果一条

4、直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3已知a，a，=b.求证：ab.证明：应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.应用示例思路1例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面AC.图4(1)要经过面AC内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.分析：经过木料表面AC内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及

5、BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解：（1）如图5，在平面AC内，过点P作直线EF,使EFBC，图5并分别交棱AB、CD于点E、F.连接BE、CF.则EF、BE、CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于面AC，平面BC与平面AC交于BC，所以BCBC.由（1）知，EFBC，所以EFBC.因此BE、CF显然都与平面AC相交.变式训练 如图6，a,A是另一侧的点，B、C、Da，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.图6解：Aa，A、a确定一个平面，设为.Ba，B.又A，AB.同理AC，AD.点A

6、与直线a在的异侧,与相交.面ABD与面相交，交线为EG.BD，BD面BAD，面BAD=EG,BDEG.AEGABD.(相似三角形对应线段成比例)EG=.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面,且ab,a,a,b都在平面外.求证：b.证明：过a作平面,使它与平面相交,交线为c.a,a,=c,ac.ab,bc.c,b,b.变式训练 如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F

7、、G.求证：EHFG.图8证明：连接EH.E、H分别是AB、AD的中点,EHBD.又BD面BCD，EH面BCD,EH面BCD.又EH、面BCD=FG,EHFG.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.思路2例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知ab,a，b，=c.求证：cab.证明：变式训练 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a,a,=b，求证：ab.证明：如图10，过a作平面、，使得=c，=d，那么有点评：本题证明过程，实际上就是不断交替

8、使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD面EFGH，AC面EFGH.图11证明：EFGH是平行四边形变式训练 如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CDAB.图12（1）求证：EFGH是矩形；（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.(1)证明：CD平面EFGH，而平面EFGH平面BCD=EF,CDEF.同理HGCD,EFHG.同理HEGF，四边形EFGH为平行四边

9、形.由CDEF，HEAB，HEF为CD和AB所成的角.又CDAB，HEEF.四边形EFGH为矩形.（2）解：由（1）可知在BCD中EFCD，DE=m，EB=n,.又CD=a,EF=.由HEAB,.又AB=b,HE=.又四边形EFGH为矩形,S矩形EFGH=HEEF=.点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.知能训练求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a、b是异面直线.求证：过b有且只有一个平面与a平行.证明：(1)存在性.如图13，图13在直线b上任取一点A，显然Aa.过A与a作平面,在平面内过点A作直线aa,则a与b是相交直线，它们确定一个平面，设

10、为,b，a与b异面，a.又aa，a，a.过b有一个平面与a平行.(2)唯一性.假设平面是过b且与a平行的另一个平面,则b.Ab，A.又A，与相交，设交线为a，则Aa.a，a，=a,aa.又aa，aa.这与aa=A矛盾.假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个.综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.变式训练 已知：a，A，Ab，且ba.求证：b.证明：假设b，如图14，图14设经过点A和直线a的平面为，=b, a，ab(线面平行则线线平行).又ab，bb,这与bb=A矛盾.假设错误.故b.拓展提升 已知：a,b为异面直线,a,b,a,b,求证:.证明：如图15，在b上任取一点P，由点P和直线a

11、确定的平面与平面交于直线c，则c与b相交于点P.图15变式训练 已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面AB.（1）求证：CD;（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.（1）证明：如图16，连接AD交于G，连接GF,图16AB，面ADB=GFABGF.又F为BD中点,G为AD中点.又AC、AD相交，确定的平面ACD=EG,E为AC中点，G为AD中点,EGCD.（2）解：由（1）证明可知：AB=4,GF=2,CD=2,EG=1,EF=.在EGF中，由勾股定理,得EGF=90,即AB与CD所成角的大小为90.课堂小结 知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行. 方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线