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1、一道求动点到定点最小距离问题的解法探索笔者所在的学校在2018学年第一学期期中测试中，九年级数学填空题有这么一道压轴题：如图，已知O的半径为2，以弦AB为边O内部作正方形ABCD，连结OD，OD的最小值是_。（图1）（图2）（图3）我校九年级学生无人做对，但有一种错解颇具代表性，学生用这种解法还自认为没错，因而值得探究。我们先来看这些学生的解法：以不等的弦AB水平放置画出几个正方形，发现点D在一条线段上（如图2），过点O作这条线段的垂线段，求出这条垂线段的长就是OD的最小值。 如图3，在RtDEF中，求得DF=22+2，DH=2+2，在RtDOH中，求得OH=2-2，OD的最小值为2-2。娄一

2、德同学也是这么解的，粗看此解法没错，那问题出在哪里呢？仔细一看，点D在线段上仅仅是用描点法得到的猜想，没加以验证或证明，估计这里有问题，我们把图2放到直角坐标系中，圆心O与原点重合，AB与x轴平行，设点D（x，y）（-1x0），则正方形的边为-2x，所以A（x，y+2x），OA=2，x2+(x+2y)2=4。发现此图像在-1x0范围内不是线段但用几何画板画非常接近线段（如图4）。（图4）那么这题到底能不能用描点法这一常规方法呢？其实也是可以的，我们只要让弦AB的端点A点（或B点）固定，让另一点在O上运动，比如A点固定，就会发现点D也作圆弧运动（如图5），而点B从A点到最大位置（正方形ABCD成

3、圆内接正方形）运动了90，则点D也运动了90，在图6中，通过点D运动的90弧和AD的长求得O的半径为2，易得正方形AODO，求得OO=22，因而问题就转化为圆外一点O到O的最小距离，显然OD的最小值为22-2。（图5） （图6）除了描点法这一常规方法外，此题还有其它的解法。比如将ADO绕点A顺时针旋转90到ABO（如图7），则OD=OB，如固定A点，B点在O上运动，则O也固定，OO=22，问题就转化为圆外一点O到O的最小距离，显然OB的最小值为22-2所以OD的最小值为22-2。 （图8）（图7）还有一种解法也很妙，连接AC并延长AC交O于点E，连接BE、DE（如图8），得BE=DE，BAE=45，弧BE=90，弦BE=22，DE=22。对于D、O、E三点，DE-OEOD，ODDE-OE=22-2，即以OD的最小值为22-2。这种方法其实是固定B点，从而固定E点，点D在以E为圆心，22为半径的圆上运动，求OD的最小值。通过此题的探究，我们发现一是探究动点的轨迹时如要用描点法，能固定的点尽量固定；二是求动点到定点的最小或最大距离可转化为点

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