高考数学 第五节 数列的综合应用教材

1、第五节 数列的综合应用考 点 串 串 讲1用数学模型解题的基本模式(1)日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决(2)建立数学模型的一般步骤认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄清题目的已知事项，明确题目所求的结论；抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来；将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学表达式2常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解

2、决问题(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题(3)递推数列模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推关系式表达出来，然后通过分析递推关系式求解注意认真阅读题干，明确所给条件是组成等差数列、等比数列还是一个递推关系式，确定出相应的数列模型如果是等差数列、等比数列，应明确a1，an，n，d，q，Sn这些基本量，已知哪几个，要求哪几个；如果是递推关系式，应明确关系式是关于Sn的还是an的，又或者是二者综合的，然后再确定要求解的量3数列与其他知识的综合(1)数列与函数、不等式的综合主要是由函数解析式得到数列递推关系式，或利用函数的单调性证明数列中的不等

3、关系(2)数列与解析几何的综合主要是利用曲线上点的坐标满足曲线的方程，利用解析几何的有关知识，如中点坐标公式，弦长公式等建立递推关系式，然后用数列知识求解注意数列与其他知识的综合，关键是根据题中条件，结合相关知识的概念与公式，列出递推关系式数列与其他知识的综合是近几年高考命题的热点，除了传统的数列与函数、不等式的综合外，数列与解析几何、三角函数、程序框图等的综合也经常出现，对此需要引起注意.典 例 对 对 碰题型一等差数列模型例1如图，在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗

4、的位置上？最短路程是多少？分析本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和解析设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗处，共走路程为10(x1)，然后回到第二面处再到第x面处是20(x2)，从第x面处到第(x1)面处的路程为20，从第x面处到第(x2)面取旗再到第x面处，路程为202，总的路程为S10(x1)20(x2)20(x3)2022012020220(13x)10(x1)202010(x1)(x2)(x1)(13x)(14x)10(2x229x183)20(x)2xN*，x7时，S有最小值S780(m)

5、答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短点评本题属等差数列应用问题，应用等差数列前n项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.变式迁移1某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？(即年平均费用最少)解析设汽车使用年限为n年，f(n)为使用该汽车的年平均费用f(n)100.9n(0.20.40.2n)1123当且仅当即n10(年)时等号成立因此该汽车使用10年报废最合算.题型二等比数列模型例2 2001年初，某一万人口贫困乡镇为脱贫致富奔小康，将人口

6、年增长率控制为千分之二，并利用其资源优势创办一家新企业，这一企业2001年创利90万元，自2002年开始，每年实现利润为前面所有利润总和的.(1)若以2001年为第一年，试写出这家企业第n年的利润an与n之间的关系式；(2)设该乡镇2009年除上述企业外的收入为3000万元，问2009年底时该乡镇人民能否达到人均收入不少于5000元的小康水平？分析由题意，每年实现利润为前面所有利润总和的，即说明了第n年的利润与前n1年利润总和之间的一个递推关系，从而利用递推数列有关知识解决解析(1)设2001年起，该企业各年的利润组成数列an，Sn为其前n项和则a190，anSn1(n2)，n2时，SnSn1

7、Sn1，SnSn1，Sn()n1S190()n1.n2时，anSnSn160()n2，an(2)2009年底时，a960()72143.35总收入为30002143.355143.35万元总人口为1(10.002)9190.002360.00221.018.50001.01850905143.35.即2009年能达到小康水平答：2009年能达到小康水平点评本例中建立了Sn1与an的关系，利用anSnSn1(n2)求通项公式在比较大小时，应用了二项式定理来进行近似计算.变式迁移2某地区原有木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材

8、存量(1)求an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量不能少于a，如果ba，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年(取lg20.30)?解析(1)设第一年的森林木材存量为a1，第n年后森林木材存量为an，则a1a(1)bab，a2a1b()2a(1)b，a3a2b()3a()21b，an()na()n1()n21b()na4b()n1(nN*)(2)当ba时有ana，()na4()n1aa，即()n5，n7.2.答：经过8年该地区就开始水土流失.题型三 分期付款问题例3用分期付款的方式购买一件标价为1150元的家电，购买当天先付150元，以后每月这一天

9、都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若从交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？解析购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分20次付清由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列设每次交付欠款的数额依次为a1，a2，a20，则a15010001%60(元)a250(100050)1%59.5(元)a1050(1000950)1%55.5(元)即第10个月应付款55.5元由于an是以60为首项，0.5为公差的等差数列，所以有S20201105(元)，

10、即全部付清后实际共付款11051501255元.变式迁移3某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后付清，也可以一次付清，并优惠x%.问开发商怎样确定优惠率可以鼓励购房者一次付款(按一年定期存款税后利率2%，一年一年续存方式计算，x取整数，计算过程中可参考以下数据：1.0291.19,1.02101.2,1.02111.24)解析由题意得501.029(1x%)5(1.0291.0281.021)，101.029(1x%)，1x%0.8403，x%15.97%.故一次付款的优惠率应不低于16%.题型四 数列与程序框图的综合应用例4某程序框图如图所示，该程序

11、运行后输出的结果是_解析按照程序框图运行后可得S01349625，故输出的结果是625.答案625变式迁移4执行如图所示的程序框图，若p4，则输出的S_.答案解析程序执行过程为：n1，S；n2，S；n3，S；n4，S.程序结束，输出S.题型五 函数、数列、不等式的综合应用例5已知f(x)(x1)2，g(x)10(x1)，数列an满足a12，(an1an)g(an)f(an)0，bn(n2)(an1)(1)求证：数列an1是等比数列；(2)当n取何值时，bn取最大值，并求出bn的最大值；(3)若对任意mN*恒成立，求实数t的取值范围解析(1)证明：(an1an)g(an)f(an)0，f(an)

12、(an1)2，g(an)10(an1)，(an1an)10(an1)(an1)20，即(an1)(10an19an1)0.若an1，则有10an19an10，即an11(an1)，an11，又a12，对任何nN*，an10，an1是以a111为首项，为公比的等比数列(2)由(1)可知an1()n1(nN*)，bn(n2)(an1)(n2)()n，(1)当n7时，1，b8b7；当n7时，1，bn1bn；当n7时，1，bn1bn，当n7或n8时，bn取最大值，最大值为b7b8.(3)由，得tm0.(*)依题意，(*)式对任意mN*恒成立，当t0时，(*)式显然不成立，因此t0不合题意当t0时，由0

13、，可知tm0(mN*)而当m是偶数时，tm0，因此t0不合题意当t0时，tm0(mN*)，0，t(mN*)设h(m)(mN*)，h(m1)h(m)0，h(1)h(2)h(m1)h(m)，h(m)的最大值为h(1)，实数t的取值范围是t.点评递推数列问题是高考的热点问题，而本题将函数、数列、不等式融为一体，综合性比较强，覆盖的知识点比较多第(1)问是由函数切入，关键在于对递推关系式an1an作合理的变形；第(2)问实际上是研究数列的单调性；第(3)问中的“恒成立”是高考的热门话题，需要多多体会该题型的解法技巧.变式迁移5已知数列an中，a11，且点P(an，an1)(nN*)在一次函数yx1的图

14、象上(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(n)(nN*，且n2)，求函数f(n)的最小值；(3)设bn，Sn表示数列bn的前n项和试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得S1S2S3Sn1(Sn1)g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由解析(1)点P(an，an1)在函数yx1的图象上，即an1an1，又a11，数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，an1(n1)1n.(2)f(n)，f(n1)，f(n1)f(n)0，f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2).(3)bn，Sn1，SnSn1(n2)，即nSn(

15、n1)Sn1Sn11，(n1)Sn1(n2)Sn2Sn21，2S2S1S11，nSnS1S1S2Sn1n1，S1S2Sn1nSnn(Sn1)n(n2)，g(n)n.故存在关于n的整式g(n)n，使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立.题型六 等差数列与等比数列的混合模型例6某油库已储油料a吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b吨，设an为正式运营后第n年的储油量(1)求an的表达式并加以证明；(2)为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于a吨，如果ba吨，该油库能否长期按计划运营，如果可以请加以证明，如果不行请说明理由(取l

16、g20.30，lg30.48)解析(1)依题意，油库原有储油量为a吨，则a1ab，a2a1b()2a(1)b，a3a2b()3a()21b.推测：an()na()n1()n21b.()na4()n1b(nN*)用数学归纳法证明：当n1时，a1a4(1)bab，推测成立假设当nk(k1，kN*)时，ak()ka4()k1b成立当nk1时，依题意ak1akb.ak1()ka4()k1bb()k1a4()k1bb()k1a4()k11b.即当nk1时，推测也成立由知，对于nN*，推测成立(2)如果ba吨时，该油库第n年年底储油量不少于a吨，即()na4()n1aa.即()n3.nlog34.8.答：

17、该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营.变式迁移6为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到1998年底，将当地沙漠绿化了40%.从1999年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg20.3，最后结果精确到整数)解析设该地区总面积为1,1998年底绿化面积为a1，经过n年后绿洲面积为an1.设1998年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn1，则a1b11，anbn1.依题an1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的

18、部分8%an的剩余面积92%an，另一部分是新绿化的12%bn，所以an192%an12%(1an)an，an1(an)，an是以为首项，为公比的等比数列，则an1()n.an150%，()n.()n.nlog3.则当n4时，不等式()n恒成立所以至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.题型七 递推数列模型例7某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第

19、n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，.以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列解析(1)由题意有，TnTn1(1r)an(n2)(2)证明：T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an，在式两端同乘以1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(

20、1r)an(1r)n1ra1(1r)nan，即Tn(1r)nn.如果记An(1r)n，Bnn，则TnAnBn.其中An是以(1r)为首项，1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以为首项，为公差的等差数列点评数列的递推应用问题往往是以一定的实际问题作为背景进行命题，本题以社会热点问题养老储备金为背景，综合等差数列、等比数列的基本概念和基本方法等相关知识，考查考生阅读资料、提取信息、建立数学模型和应用所学知识分析和解决实际问题的能力在构造数列模型时，最容易忽视的是哪一项是数列的首项，例如本题中第n年末是数列的第n项还是第n1项，同时还需要弄清楚是等差数列、等比数列模型还是递推数列模型，是求an还是求

21、Sn等.变式迁移7OBC的三个顶点的坐标分别为O(0,0)、B(1,0)、C(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn3为线段PnPn1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，anynyn1yn2.(1)求a1，a2，a3及an；(2)证明：yn41yn，nN*；(3)若记bny4n4y4n，nN*，证明：bn是等比数列解析(1)因为y1y2y41，y3，y5，所以a1a2a32，又由题意可知yn3，得到an1yn1yn2yn3yn1yn2ynyn1yn2an，所以an为常数列，即ana12，nN*.(2)证明：将等式ynyn1yn22两边同除以2，得yn1，又yn4，所以ynyn41，即yn41yn，nN*.(3)证明：因为bn1y4n8y4n4(1y4n4)(1y4n)(y4n4y4n)bn，又b1y8y40，所以bn是首项为、公比为的等比数列.方 法 路 路 通1数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个