高中数学第一讲集合的概念与运算教案（教师版）新人教版

1、第一讲 集合的概念与运算教学目的： 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念。了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能正确进行“集合语言”、“数学语言”“图形语言”的相互转化.教学重点： 交集、并集、补集的定义与运算.教学难点： 交集、并集、补集的定义及集合的应用.【知识概要】新课标教学目标：1集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空

2、集的含义；3集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.知识点1 集合某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中每个对象叫做这个集合的元素点评：（1）集合是数学中不加定义的基本概念构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何对象（2）集合里元素的特性确定性：集合的元素，必须是确定的任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合

3、中不能重复出现无序性：集合与组成它的元素顺序无关如集合a, b, c与c, a, b是同一集合（3）元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA（或aA）（4）集合的分类集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集（用记号表示）有限集：含有有限个元素的集合 （单元素集：只有一个元素的集合叫做单元素集。）无限集：含有无限个元素的集合 空集：不含任何元素的集合记作，如：（5）集合的表示方法列举法：把集合中的元一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。描述法：把集合中的元的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，格式：xA|

4、 P（x） （或x | P（x） 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合注意两点：集合中的元具有性质；具有性质的元都在集合中。图示法：文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。（还有其他的表示方法，如数轴表示法：用数轴里的点或范围来表示一个集合的方法；及坐标平面表示法：用坐标平面里的点或图形来表示一个集合的方法等）为了书写和应用的方便，规定常见的数集用特定的字母表示，即非负整数集（也称自然数集）记作N。正整数集记作N*（或N+）。整数集记作Z。有理数集记作Q。实数集记作R。点评：（1）注意抓住集合中元素的个性质，对互异性要注意检验；（2）集合的表示方法中描述法是重、难点，要注意几

5、种常见的集合：；等。知识点2 集合与集合之间的关系子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作（或）点评：（1）子集的定义也是证明子集的唯一的方法，即任给则。（2）子集的性质：任何一个集合是它本身的子集，即；空集是任何集合的子集，即；若，则；（3）若有限集有个元素，则的子集有个，真子集有，非空子集有个，非空真子集有个真子集如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB点评：真子集的性质：空集是任何非空集合的真子集，即若A，则；若则。集合的相等一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集

6、合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，即如果AB，同时BA，我们就说集合A等于集合B，记作A=B知识点3 集合的运算交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作即。点评：（1）集合运算的性质：交换律：AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)；（2）；，（3）。（重要的常用结论，要切实掌握）并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作，即。点评：（1）集合运算的性质：交换律：AB=BA；结合律：(AB) C=A(BC)；分配律：A(BC)=(AB)(AC)； A(BC)=(AB)(AC).（2），。（3）（4）。（重要

7、的常用结论，要切实掌握）补集已知全集I，集合AI，由I中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在集合I中的补集，记作。点评：（1）集合运算的性质：；补充的有关结论：（1）对偶原理：，。（2）有限集合中元素个数的计算公式：【基础题典例解析】例1 （集合的表示）用列举法表示下列集合(1) xN|且N; （2）Z，Z （3）N|N （4），N，N （5），N，N （6），Z，N*，且解：(1) 集合A中元素x满足均为自然数; A=0,6,8.（2）Z；为6的因数，故=1或2或3或6.即x=1, 3, 4, 0, , 5, 8, Z，Z. （3）由N，或2，或3，或6，但由N，1 此时N|N=3，6

8、. （4）由，N，N知，1，2，此时6, 5, 2,故，N，N=6，5，2.（5）点(x, y)满足条件，N，N，则有 , , ，N，N=(0, 6), (1, 5), (2, 2). （6）由Z，知，0，1,由N*且，知，2，3.所以的值为，.考虑到元素的互异性，故原集合可用列举法表示为, 0, 1, , , , .例2 （集合的概念）设含有三个实数的集合可表示为a, a+d, a+2d，也可表示为a, aq, aq2，其中a、d、qR，求常数q.解：依元素的互异性可知，a0, d0, q0, q1. 由两集合相等，有（1）或（2）由（1）得a+2a(q-1)=aq2，a0,q2-2q+1=

9、0q=1（舍去）由（2）得a+2a(q2-1)=aq，a0, 2q2-q-1=0q=1或q=-q1，q=-综上所述，q=-例3 （元与集合的关系） 若A=2, 4, a3-2a2-a+7, B=1, a+1, a2-2a+2, -(a2-3a-8), a3+a2+3a+7，且AB=2, 5，试求实数a的值解：,a3-2a2-a+7=5,由此求得a=2或a=1当a=1时，a2-2a+2=1，与元素的互异性相矛盾，故应舍去a=1.当a=-1时，B=1, 0, 5, 2, 4，与AB=2, 5相矛盾，故又舍去a=-1.当a=2时，A=2, 4, 5，B=1, 3, 2, 5, 25，此时，AB=2,

10、 5满足题设故a=2为所求例4 （子集的概念与计算）（1）求1, 21, 2, 3, 4, 5的所有集合A。（2）已知AB,且AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,则满足上述条件的集合A共有多少个？解：（1）由题意可知，满足条件关系式的所有集合A为：1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 5, 1, 2, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5（2）因AB,AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此,满足AB,有:,0,1,2,3,4,0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,

11、4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3,4,0,1,2,3,4,共25=32(个).又满足AC的集合A有:,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4,0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8,共24=16(个).其中同时满足AB,AC的有8个:,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4解法二：题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集

12、合的子集数是多少.显然公共元素有0、2、4,组成集合的子集有23=8(个).例5 （集合的基本运算） （1）设集合，R，R，集合，R，R，求。（2）设集合，R，R，集合，R，R，求。解：（1）解方程组 得 ;，R，R，R，R, 3), , 3).（2），。例6 （集合与集合的关系） 集合A=x|x2ax+a219=0,B=x|log2(x25x+8)=1，C=x|x2+2x8=0,求当a取什么实数时，AB 和AC=同时成立 解 log2(x25x+8)=1,由此得x25x+8=2，B=2,3 由x2+2x8=0，C=2,4。又AC=2和4都不是关于x的方程x2ax+a219=0的解，而AB ,

13、即AB,3是关于x的方程x2ax+a219=0的解，可得a=5或a=2 当a=5时，得A=2，3，AC=2，这与AC=不符合，所以a=5(舍去)；当a=2时，可以求得A=3，5，符合AC=，AB ，a=2 例7 （集合与方程）设，求实数的取值范围解：，则集合B需分两种情况求解：集合A中的元素x是集合B中的元素；集合B为空集，当，即无实根，由，即，解得；当时，由根与系数的关系：当时，由根与系数的关系：当时，由根与系数的关系：综上所得例8 （集合与不等式） 函数的定义域为，的定义域为。 （1）求； （2）若，求，的取值范围。解：（1）。（2），由，得，则，即，。例9 （集合与解析几何） 设A=(x

14、,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、b,使得(AB)C=，证明此结论 解 (AB)C=，AC=且BC=，k2x2+(2bk1)x+b21=0，AC=，1=(2bk1)24k2(b21)0，4k24bk+10, 即b21。 ，4x2+(22k)x+(5+2b)=0，BC=,2=(1k)24(52b)0，k22k+8b190, 从而8b20,即b2 5 由及bN,得b=2代入由10和20, 0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=10 如果AB,那么据(2）的结论，AB中至多有一个元素(x0,y0

15、）,而x0=0,y0=0,这样的(x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时AB=，所以a10时，一定有AB是不正确的 【综合题典例解析】例1 用列举法表示集合关于x的方程有唯一实数解解: 集合语言需要转译为代数语言或几何语言，本题等价转化为混合组 有唯一实数解时，求a的值。， .当，即时方程 有唯一解,所以.当，方程 有两个不等实根，其中有一个是增根也符合题意。而若为其增根，则，另一根为.若为其增根，则，另一根为.综上所述，集合，例2 已知集合A=（x，y）|x2+mxy+2=0，B=（x，y）|xy+1=0，0x2，如果AB，求实数m的取值范围解：它的实际背景是“抛物线x2+mxy+2

16、=0与线段xy+1=0（0x2）有公共点，求实数m的取值范围”注意这种数学符号与数学语言的转换。由得x2+（m1）x+1=0 AB，方程在区间0，2上至少有一个实数解首先，由=（m1）240，得m3或m1当m3时，由x1+x2=（m1）0及x1x2=1知，方程只有负根，不符合要求；当m1时，由x1+x2=（m1）0及x1x2=10知，方程有两个互为倒数的正根故必有一根在区间（0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内综上所述，所求m的取值范围是（，1点评：上述解法应用了数形结合的思想如果注意到抛物线x2+mxy+2=0与线段xy+1=0（0x2）的公共点在线段上，也可以利用公共点内分线段的比

17、的取值范围建立关于m的不等式来解例3 已知全集I=R, A=x|x2-3x+20, B=x|x2-2ax+a0, aR，且AB=B，求a的取值范围解： AB=B，BA，化简A=x|1x2。 设y=x2-2ax+a.（1）当=(-2a)2-4a0，即0a0时，y=x2-2ax+a的图象与x轴有两个交点，BA，方程x2-2ax+a=0的两根位于1、2之间综合（1）（2）（3）得0a1.例4 已知集合，集合，其中均为实数. （1）求；（2）设为实数，求. 解：（1）集合A实际上是：使得恒成立的所有实数的集合. 故令，解得：. 集合B实际上是：使得方程有解的所有实数的集合. 故令，解得：或。，. （2

18、）设，则问题（2）可转化为：已知函数的值域（），求其定义域. 令，可解得：. =. 例5 已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？解：因为（AB）C=（AC）（BC），而AC，BC分别为方程组（）与 （）的解集。在（）中将代入消去y得（1-ax）2+x2=1.即（a2+1）x2-2ax=0，所以x=0或x=。当x=0时y=1，当x=时，y=所以（）的解集为在（）中将代入解（）得ABCACB（1）若（AB）C含有2个元素，因为（0，1），（1，0）（AB）C，所以（AB）C中只含有这两个元素，从而或。解得a=0或a=1。故当a=0或a=1时，（AB）C恰有2个元素。（2）若（AB）C含有3个元素，由（1）知只有，即a2+2a-1=0.a=例6 设f(x)=x2+px+q, A=x|x=f(x), B=x|ff(x)=x.（1）求证：AB； （2）如果A=-1, 3，求B解：（1）根据子集定义，要证AB，只需要在集合A中任取元素x0，证明x0B，即证元素x0满足集合B中元素的条件设x0是集合A中的任一元素，即有x0A.A=x|x=f(x),x0=f(x0)，即有ff(x0)