高中数学第一章计数原理1.3.2利用组合数公式解应用题学案苏教版选修

1、利用组合数公式解应用题1能用组合数计算公式解决一些简单的应用问题(重点)2掌握常见组合问题的求解方法(难点)3在实际应用过程中区分排列与组合(易混点)小组合作型无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题【自主解答】(1)从中任取5人是组合问题，共有C792种不

2、同的选法(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C36种不同的选法(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C126种不同的选法(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法共有CC378种不同的选法解答简单的组合问题的思考方法1弄清要做的这件事是什么事2选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题3结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果再练一题1现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2

3、名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C45.(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有C种方法；第2类，选出的2 名是女教师有C种方法，即CC21(种)有限制条件的组合问题高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点

4、拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼使用两个计数原理解决【自主解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有C561(种)不同的取法有561种(2)从34名可选学生中选取3名，有C种或者CCC5 984种不同的取法有5 984种(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC2 100种不同的取法有2 100种(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式NCCC2 1004552 555种不同的取法有2 555种(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有NCC6 5454556 090种不同的取法有6 090种常见的限制条件及解题

5、方法1特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据2含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解3分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解再练一题2“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川512”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从4名

6、外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有CC90(种)抽调方法(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：选2名外科专家，共有CC种选法；选3名外科专家，共有CC种选法；选4名外科专家，共有CC种选法根据分类计数原理，共有CCCCCC185(种)抽调方法法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有CC种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：CCCC185(种)抽调方法(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答没有外科专家参加，有C种选法；有1

7、名外科专家参加，有CC种选法；有2名外科专家参加，有CC种选法所以共有CCCCC115(种)抽调方法组合在几何中的应用平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？ 【导学号：】【精彩点拨】解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数【自主解答】法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类标准第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC48个不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC112个不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点为

8、三角形的顶点，共有C56个不同的三角形由分类计数原理知，不同的三角形共有4811256216(个)法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C4种故这12个点能构成三角形的个数为CC216个1解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理2图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法再练一题3四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它

9、们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？【解】如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理，不同的取法有3C333种探究共研型排列、组合的综合应用探究1从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有C6(个)不同结果完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相乘探究2从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指

10、的是什么？【提示】共有A210(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合1,2,3,4中任取两个不同元素并相除探究3完成“从集合0,1,2,3,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC18(种)不同的结果，由分类原理，完成“这件事

11、”共有ACCC30(种)不同的结果有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取(2)采用先选后排的方法(3)先安排该男生，再选出其他人担任4科课代表(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC种，后排有A种

12、，共(CCCC)A5 400种(2)除去该女生后，先选后排，有CA840种(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共CCA360种解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1按事情发生的过程进行分步2按元素的性质进行分类解决时通常从以下三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数再练一题4某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发

13、言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为_种. 【导学号：】【解析】分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA21024480种选法第二类，甲、乙都参加时，则有C(AAA)10(2412)120种选法所以共有480120600种选法【答案】600构建体系1有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有_种【解析】从6名男医生中选出2名男医生共有C种不同选法，从5名女医生中选出1名女医生，共有C种不同选法，故组成一个医疗小组共有CC75种不同的选法【答案】7527名志愿者中安排6人

14、在周六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答) 【导学号：】【解析】由题意可知周六共有C种安排方式，周日共有C种不同安排方式，共有CC140种不同安排方式【答案】1403将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_种(用数字作答)【解析】有CCA36种满足题意的分配方案其中C表示从3个乡镇中任选定1个乡镇，且其中某2名大学生去的方法数；C表示从4名大学生中任选2名到上一步选定的乡镇的方法数；A表示将剩下的2名大学生分配到另2个乡镇去的方法数【答案】364在直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线yn(

15、n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有_个【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为CC1515225个【答案】2255车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法【解】法一：设A，B代表两名老师傅A，B都不在内的选派方法有：CC5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：CCC10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：CCC30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：CACC80(种

16、)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：CCC20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：CCC40(种)所以共有CCCCCCCCCACCCCCCCC185(种)选派方法法二：5名钳工有4名被选上的方法有：CC75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：CCC100(种)；5名钳工有2名被选上的方法有：CCC10(种)所以一共有7510010185(种)选派方法我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题110个人分成甲、乙两组，其中甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为_(用数字作答)【解析】由题意可知，共有CC210种

17、分法【答案】210种2某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有_种【解析】由题意可知，共有CC100(种)【答案】1003凸十边形的对角线的条数为_【解析】C1035(条)【答案】35条4已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有_个【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以交点有C126(个)【答案】1265某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为_【解析】6人中选4人的方案有C15种，没有女生的方案只有一种，所以满足要

18、求的方案总数有14种【答案】14种6过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有_对【解析】3(C3)36(对)【答案】367在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为_【解析】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置，使对应数字相同，其他2个不同，有C6个信息符合第二类：与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置，使对应数字相同，其他3个

19、不同，有C4个信息符合第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，有C1个信息符合由分类计数原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为64111.【答案】118现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有_种. 【导学号：】【解析】6位游客选2人去A风景区，有C种，余下4位游客选2人去B风景区，有C种，余下2人去C，D风景区，有A种，所以分配方案共有CCA180(种)【答案】180二、解答题9，是两个平行平面，在内取四个点，在内取五个点(1)这些点最多能确定几条直线，几个

20、平面？(2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？【解】(1)在9个点中，除了内的四点共面和内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定直线C36条在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多又因为三个不共线的点确定一个平面，故最多可确定CCCC272个平面(2)同理，在9个点中，除了内的四点共面和内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所作三棱锥才能达到最多此时最多能作CCCCCC120个三棱锥10按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至

21、少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球【解】(1)每个小球都有4种方法，根据分步计数原理，共有464 096种不同放法(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有CCACCA1 560(种)不同放法(3)法一按3,1,1,1放入有C种方法，按2,2,1,1，放入有C种方法，共有CC10(种)不同放法法二(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四份，共有C10(种)不同放法能力提升1身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法有_种【解析】最高的同学只能站在中间，它别无选择；从剩下的6名同学中任选3名，有C种不同的方法，他们由高到低的排列次序唯一；剩下的3名同学由高到低的排列次序也唯一不同的排法