高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面 2.3.4 平面与平面垂直的性质（1）学案（含解析）新人教A版必修

1、23.3 & 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质提出问题世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？提示：平行 导入新知直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行(2)图形语言：(3)符号语言：ab.(4)作用：线面垂直线线平行；作平行线化解疑难对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了

2、判定两条直线平行的另一种方法(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据平面与平面垂直的性质提出问题教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可导入新知平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(2)图形语言：(3)符号语言：a.(4)作用：面面垂直线面垂直；作面的垂线化解疑难对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个

3、：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.线面垂直性质定理的应用例1如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：平面BCE平面CDE.解证明：取CE的中点G，连接FG，BG，AF.F为CD的中点，GFDE，且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE.则GFAB.又ABDE，GFAB.则四边形GFAB为平行四边形于是AFBG.ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面AC

4、D，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，CD，DE平面CDE，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.类题通法1此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析2若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质活学活用如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB平面ABCD.(1)若AC6，BD8，PB3，求三棱锥APBC的体积；(2)若点E是DP的中点

5、，证明：BD平面ACE.解：(1)四边形ABCD为菱形，BD与AC相互垂直平分，底面ABCD的面积S菱形ABCD6824，SABCS菱形ABCD12.又PB平面ABCD，且PB3，三棱锥APBC的体积VAPBCVPABCPBSABC12.(2)证明：如图，设BD与AC相交于点O，连接OE，O为BD的中点，E是DP的中点，OEPB.又PB平面ABCD，OE平面ABCD.BD平面ABCD，OEBD，由(1)知ACBD，又ACOEO，BD平面ACE.面面垂直的性质的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是DAB60，且边长为a的菱形侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于

6、底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.解证明：(1)连接PG，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，则PGAD.又平面PAD平面ABCD，PG平面PAD，PG平面ABCD.BG平面ABCD，PGBG.又四边形ABCD是菱形，且DAB60，ABD是正三角形则BGAD.又ADPGG，且AD，PG平面PAD，BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又BG，PG为平面PBG内两条相交直线，AD平面PBG.PB平面PBG，ADPB.类题通法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故

7、可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线活学活用如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB2AD2CD4，ABE60，BADCDA90，点H是线段EF的中点(1)求证：平面AHC平面BCE；(2)求此几何体的体积解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为ABE60，所以AEF是等边三角形又因为H是线段EF的中点，所以AHEF，所以AHAB.因为平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，所以AH平面ABCD，所以AHBC.在

8、直角梯形ABCD中，AB2AD2CD4，BADCDA90，得到ACBC2，从而AC2BC2AB2，所以ACBC.又AHACA，所以BC平面AHC.又BC平面BCE，所以平面AHC平面BCE.(2)连接FC，因为VVEACBVFADCVCAEF，又易得SACB4，SADC2，SAEF4，所以VVEACBVFADCVCAEF(242224).线线、线面、面面垂直的综合问题例3已知：如图，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：ABC是直角三角形解证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DFAC于点F，作DGA

9、B于点G.平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.PA平面PAC，DFPA.同理可证，DGPA.DGDFD，PA平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.E是PBC的垂心，PCBH.又AE是平面PBC的垂线，PCAE.BHAEE，PC平面ABE，PCAB.又PA平面ABC，PAAB.PAPCP，AB平面PAC.ABAC，即ABC是直角三角形类题通法线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直活学活用如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点(1)求证：EF平面PAB；(2)若平面PAC平面ABC，且P

10、APC，ABC90，求证：平面PEF平面PBC.证明：(1)E，F分别为AC，BC的中点，EFAB.又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.(2)PAPC，E为AC的中点，PEAC.又平面PAC平面ABC，PE平面ABC，PEBC.又F为BC的中点，EFAB.ABC90，BCEF.EFPEE，BC平面PEF.又BC平面PBC，平面PBC平面PEF.典例已知两个平面垂直，有下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平

11、面其中正确命题的个数是()A3B2C1D0解析如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，对于AD1平面AA1D1D，BD平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60，错误；正确对于，AD1平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于，过平面AA1D1D内点D1作D1C.AD平面D1DCC1，D1C平面D1DCC1，ADD1C.但D1C不垂直于平面ABCD，错误答案C易错防范对于，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平

12、面内成功破障如果直线l，m与平面，之间满足：l，l，m和m，那么()A且lmB且mCm且lm D且答案：A随堂即时演练1下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案：D2设，为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()A若m，n，mn，则B若n，n，m，则mC若m，n，mn，则D若，n，mn，则m答案：B3若a，b表示直线(不重合)，表示平面，有下列说法：a，bab；a，abb；a，abb；a，bab.其中

13、正确的是_(填序号)答案：4平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_答案：平行5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1，求证：CF平面BDE.证明：如图，设ACBDG，连接EG，FG.由AB易知CG1，则EFCGCE.又EFCG，所以四边形CEFG为菱形，所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF，所以BDCF.又BDEGG，所以CF平面BDE.课时达标检测一、选择题1若l，m，n表示不重合的直线，表示平面，则下列说法中正确的个数为()l

14、m，mn，ln；lm，m，nln；m，nmn.A1B2C3D0答案：C2如果直线a与平面不垂直，那么平面内与直线a垂直的直线有()A0条 B1条C无数条 D任意条答案：C3(浙江高考)设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l答案：B4已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACmCAB DAC答案：D5.如图，线段AB的两端在直二面角l的两个面内，并与这两个面都成30角，则异面直线AB与l所成的角是()A30 B45 C60 D75答案：B二、填空题6.如图，已知平面平

15、面l，EA，垂足为A，EB，垂足为B，直线a，aAB，则直线a与直线l的位置关系是_答案：平行7.如图，四面体PABC中，PAPB，平面PAB平面ABC，ABC90，AC8，BC6，则PC_.答案：78.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)答案：三、解答题9.如图，三棱锥PABC中，已知ABC是等腰直角三角形，ABC90，PAC是直角三角形，PAC90，平面PAC平面ABC.求证：平面PAB平面PBC.证明：平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PAAC，PA平面ABC.又BC平面ABC，PABC.又ABBC，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，BC平面PAB.又BC平面PBC，平面PAB平面PBC.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAAB