高中数学 3.3.2简单的线性规划教案（二）新人教A版必修

1、3.3.2简单线性规划问题教学过程推进新课合作探究师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？生 由已知条件可得二元一次不等式组：师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 （板演）师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P

2、（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？生 则z=2x+3y.师 这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？教师精讲师 把z=2x+3y变形为,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点例如（1，2），就能确定一条直线，这说明，由

3、平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距最大.由图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.知识拓展再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l0:2x+y=0.然后，作一组与直线

4、l0平行的直线：l:2x+y=t,tR（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y3,12.若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求t的最大值和最小值.分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,tR（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y3,12.(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x

5、+y=t,tR.可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y0,即t0.而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以tmax=25+2=12,tmin=21+3=3.(2)(3)合作探究师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x

6、+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，

7、要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额成本1 0001 5006 000运费5004002 000产品9010

8、0解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则z=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由得令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.由此得出t的值也最大，zmax=90+100=440.答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分

9、别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，则目标函数为z=2x+3y.作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.解方程得M的坐标为（2，3）.答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.3.课本106页习题3.3A组2.第2课时推进新课师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.师 分析：先画出平面

10、区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组得C（,），令t=300x+900y，即,欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=3000+900125=112 500.师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y300，x+2y250， x0,y0的整数值.师 分析：画出约束条件表示的

11、平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示.四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组得点C的坐标为（,).因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70,y=90时，z取最大值为zmax=60070+300900=69 000.师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y1表示直线2x+y=1上及

12、其右上方的点的集合.可行域如右图所示.作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(tR).x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.由图可知：当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y的最大值，

13、使式中的x、y满足约束条件（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件教师精讲师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,tR.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.所以z max=22-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t在经过

14、不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.所以z min=3(-2)+(-1)=-11,z max=3+5=14.知识拓展某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？

15、师 分析：将已知数据列成下表： 消耗量 产品资源甲产品（1 t）乙产品(1 t)资源限额（t）A种矿石（t）104300B种矿石(t)54200煤(t) 利润（元）493606001 000解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，那么目标函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1 000y=0,即直线:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y取最大值.解方程组得M的坐标为x=12.4,y=34.4.答：应生产甲产品约12.4 t，乙

16、产品34.4 t，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设t=0，画出直线l0.（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A组3、4.第3课时推进新课师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供

17、0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少克？师 分析：将已知数据列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白质/kg脂肪/kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07若设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z，如何列式？生 由题设条件列出约束条件其目标函数

18、z=28x+21y.二元一次不等式组等价于师 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.生 考虑z=28x+21y,将它变形为,这是斜率为、随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距z28最小，即z最小.解方程组得点M(,)，因此，当,时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为1

19、6元.师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？学段班级学生数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226/班2/人高中40354/班2/人师 由前面内容知若设开设初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元,此时，目标函数z=0.1645x+0.2740y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y变形为，得到斜率为-，在y轴上截距为，随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.解方程组得点M（20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元.师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生 若设生