高三数学文一轮复习课件第2章第六讲函数与方程

1、目 录 Contents,考情精解读,考点1,考点2,A.知识全通关,B.题型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法3,专题,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,考试大纲,1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.,数学 第二章第六讲 函数与方程,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第二章第六讲 函数与方程,考纲解读,命题规律,返回目录,命题趋势,数学 第二章第六讲 函数与方程,1.热点预测利用函数零点的存在性定理或函数的图象,对函数是否存在零点(方程是否存在根)进行判断或利

2、用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围,是高考的热点,以选择题为主,分值为5分. 2.趋势分析预测2018年高考仍将以函数的零点、方程的根的存在问题为主要考点,重点考查相应函数的图象与性质.,知识全通关,考点一函数的零点,继续学习,1.函数零点的概念 对于函数y=f(x),xD,我们把使f(x)=0的 实数x叫作函数y=f(x),xD的 零点. 注意 函数的零点是实数,而不是点;并不是所有的函数都有零点,若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. 2.函数的零点与方程根的联系 由函数零点的概念可知,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象 与x轴的

3、交点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点. 3.二次函数的零点 对于二次函数y=ax2+bx+c(a0),其零点个数可根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判别式来确定,具体情形如下表:,_,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,4.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 注意： 在上述定理的条件下

4、,只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.,数学 第二章第六讲 函数与方程,【辨析比较】,f(a)f(b)0与函数f(x)存在零点的关系 1.若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点. 图2-6-1 2.由函数y=f(x)在闭区间a,b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0,如图2-6-1.所以f(a)f(b)0是y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号. 3.若函数f(x)在a,b上单调,且f(x)的图象是连续不

5、断的一条曲线,则f(a)f(b)0函数f(x)在 a,b上只有一个零点.,继续学习,数学 第二章第六讲 函数与方程,考点二用二分法求方程的近似解,1.二分法的概念 对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 2.用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度. 第二步:求区间(a,b)的中点x1.,继续学习,数学 第二章第六讲 函数与方程,第三步:计算f(

6、x1). (1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (2)若f(a)f(x1)0,则令b=x1(此时零点x0(a,x1); (3)若f(x1)f(b)0,则令a=x1(此时零点x0(x1,b). 第四步:判断是否达到精确度,即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b),否则重复第二、三、四步.,继续学习,数学 第二章第六讲 函数与方程,题型全突破,考法1判断函数零点(方程的根)所在的区间,继续学习,考法指导1.解方程法:当对应方程易解时,可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上. 2.利用函数零点的存在性定理:利用定理进行判断. 3.数形结合法:画出相应的函数图象,通过观察图象与x轴在给

7、定区间上是否有交点来判断,或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,考法示例1函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为 A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4) 思路分析 解析函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+),并且f(x)在(0,+)上单调递增,图象是一条连续曲线. 又f(1)=-10,f(3)=20,根据零点存在性定理,可知函数f(x)=log3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内. 答案B,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变

8、号零点,不能判断不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件,不是必要条件,所以在判断一个函数在某个区间上不存在零点时,不能完全依赖函数的零点存在性定理,要综合函数性质进行分析判断.,【突破攻略】,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,考法指导1.直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点. 2.零点存在性定理:利用定理不仅要求函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3.利用图象交点的个数:画出函数f(x)的图象,函数

9、f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数;将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差,根据f(x)=0h(x)=g(x),则函数f(x)的零点个数就是函数y=h(x)和y=g(x)的图象的交点个数. 4.利用函数性质:若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考察的函数是周期函数,则只需解决在一个周期内的零点的个数.,考法二 判断函数的零点个数,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,考法示例2函数f(x)= 2 +2,0, 1+ln,0 的零点个数为 A.3B.2 C.7D.0 思路分析可以直接建立方程求解零点,也可以画出函数图象确定零点个数. 解析解法一由f(

10、x)=0得 0, 2 +2=0 或 0, 1+ln=0, 解得x=-2或x=e. 因此函数f(x)共有2个零点. 解法二函数 f(x)的图象如图2-6-2所示, 由图象知函数f(x)共有2个零点. 答案B,数学 第二章第六讲 函数与方程,图2-6-2,点评图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象.在画函数的图象时,常利用函数的性质,如周期性、对称性等,同时还要注意函数定义域的限制.,继续学习,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,考法示例3设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=ex+x-3,则f(x)的零点个数为 A.1B.2 C.3D.4 思路分析先由函数f(x)

11、是定义在R上的奇函数确定0是一个零点,再令x0时的函数f(x)的解析式等于0,将其转化成两个函数,判断两个函数图象的交点个数,最后根据奇函数的对称性得出结论.,数学 第二章第六讲 函数与方程,解析因为函数f(x)是定义域为R的奇函数, 所以f(0)=0,即0是函数f(x)的一个零点, 当x0时,令f(x)=ex+x-3=0,则ex=-x+3, 分别画出函数y=ex和y=-x+3的图象,如图2-6-3所示,两函数图象有一个交点, 所以函数f(x)有一个零点, 根据对称性知,当x0时函数f(x)也有一个零点. 综上所述,f(x)的零点个数为3. 答案C,继续学习,数学 第二章第六讲 函数与方程,图

12、2-6-3,考法3 求与零点有关的参数的取值范围,继续学习,考法指导已知函数有零点(方程有根),求参数取值范围常用的方法: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.,数学 第二章第六讲 函数与方程,考法示例4已知a是实数,函数f(x)=2a|x|+2x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是. 思路分析把函数f(x)有两个零点问题转化为两个基本函数(一个含参另一个不含

13、参)的图象有且仅有两个交点问题,画出两个函数的图象,然后数形结合求出参数a的范围. 解析由题意易知a0,令f(x)=0,即2a|x|+2x-a=0,变形得|x|- 1 2 =- 1 x,分别作出函数y1=|x|- 1 2 ,y2=- 1 x的图象,如图2-6-4所示.,继续学习,数学 第二章第六讲 函数与方程,图2-6-4,继续学习,由图易知,当01时,y1和y2的图象有两个不同的交点, 所以当a1时,函数y=f(x)有且仅有两个零点,即实数a的取值范围是(-, -1)(1,+). 点评解决函数的零点问题,通常转化为方程的根,进而转化为函数图象的交点问题;在解决函数图象的交点问题时,常用数形结

14、合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.,数学 第二章第六讲 函数与方程,能力大提升,专题探究,继续学习,与函数零点有关的高考压轴题 1.函数零点常与导数知识结合用于判断函数存在唯一 一个零点等命题.解题时常先判断函数在某区间上存在零点(存在性),再说明函数在相应区间上单调递增(或单调递减)即可(唯一性). 2.当题目不是求零点,而是利用零点的个数求参数的范围时,一般采用数形结合法.,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,示例52016全国卷已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围; (2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当x

15、(-,1)时,f (x)0,所以f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增. 又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b 2 (b-2)+a(b-1)2=a(b2- 3 2 b)0, 故f(x)存在两个零点.,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,(iii)设a0,因此f(x)在(1,+)上单调递增.又当x1时f(x)1,故当x(1,ln(-2a)时,f (x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减,在(ln(-2a),+)上单调递增.又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+).,数学 第二章第六讲 函数与方程,(2)不妨设x1

16、f(2-x2),即f(2-x2)1时,g(x)1时,g(x)0. 从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.,继续学习,数学 章第六讲 函数与方程,返回目录,数学 第二章第六讲 函数与方程,示例6已知函数f(x)=-x2+2ex+t-1,g(x)=x+ e 2 (x0),其中e表示自然对数的底数. (1)若g(x)=m有实根,求m的取值范围; (2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 思路分析(1)可将g(x)=m有实根转化为一元二次方程有大于零的实根来求解,也可利用基本不等式或根据函数图象求解;(2)利用函数图象得到不等式,解不等式即可. 解析(1)解法一

17、因为x0,所以g(x)=x+ e 2 2 e 2 =2e,等号成立的条件是x=e. 故g(x)的值域是2e,+),图2-6-5 因而只需m2e,g(x)=m就有实根. 解法二作出g(x)=x+ e 2 (x0)的图象,如图2-6-5,观察图象可知g(x)的最小值为2e,因此要使g(x)=m有实根,则只需m2e. 解法三由g(x)=m有正根,得x2-mx+e2=0有正根, 结合图象知 2 0, = 2 4 e 2 0, 等价于 0, 2e或2e, 故m2e.,继续学习,数学 第二章第六讲 函数与方程,继续学习,(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点. 图2-6-6 因为f(x)=-x2+2ex+t-1=-(x-e)2+t-1+e2,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为t-1+e