高三数学文一轮复习课件第6章第四讲数列的综合应用

1、目 录 Contents,考情精解读,A.题型全突破,考法1,考法2,考法4,考法3,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,数学,能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.,第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学,第六章第三讲 等比数列及其前n项和,考纲解读,命题规律,返回目录,1.热点预测(1)预计高考仍会对本讲重点考查,多为等差、等比数列基本运算的综合题以及相互之间的转化.(2)适度创新的数列综合题与数列应用题可能会成为高考命题的新热点.题型为解答题,分值约为12分. 2.趋势分析数列的应用及数列与函数等的综合命题趋

2、势较强,2018年高考复习时应予以高度关注.,命题趋势,数学,第六章第三讲 等比数列及其前n项和,题型全突破,考法一等差、等比数列的综合应用,继续学习,考法指导1.在解决等差、等比数列的综合问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.但用“基本量法”并树立“目标意识”“需要什么,就求什么”,往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果. 2.等差数列与等比数列之间是可以相互转化的,即an为等差数列 (a0且a1)为等比数列;an为正项等比数列logaan(a0且a1)为等差数列.,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,考法示例1数列an的前n

3、项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n1). (1)求an的通项公式; (2)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn. 思路分析(1)根据已知的递推关系求通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n项和易求. 解析(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n2). 又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1. 故an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1. (2)设bn的公差为d.,继续学习,由T3=15,即b1+b

4、2+b3=15,可得b2=5, 故b1=5-d,b3=5+d. 又a1=1,a2=3,a3=9, 由a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2, 解得d=2或d=-10. 因为等差数列bn的各项为正,所以d0. 所以d=2,b1=3,所以Tn=3n+ (1) 2 2=n2+2n. 点评对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法.,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,继续学习,考法示例2在等差数列an中,a10=30,a

5、20=50. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn= 2 10 ,证明:数列bn为等比数列; (3)求数列nbn的前n项和Tn. 思路分析 (1)设出数列an的通项公式 -结合已知条件列方程组即可求解 (2)由(1)写出bn的表达式 -利用定义法证明 (3)写出Tn的表达式- 考虑用错位相减法求解 解析(1)设数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d,由a10=30,a20=50,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,得方程组 1 +9=30, 1 +19=50, 解得 1 =12, =2. 所以an=12+(n-1)2=2n+10. (2)由(1),得bn= 2 10 =

6、22n+10-10=22n=4n, 所以 +1 = 4 +1 4 =4. 所以bn是首项为4,公比为4的等比数列. (3)由nbn=n4n,得Tn=14+242+n4n, 4Tn=142+(n-1)4n+n4n+1, -,得-3Tn=4+42+4n-n4n+1= 4(1 4 ) 3 -n4n+1. 所以Tn= (31) 4 +1 +4 9 .,【突破攻略】,在等差数列与等比数列的综合问题中,如果等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示也要注意.,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,继续学习,考法指导 求数列的通项公式,

7、(1)若已知递推关系,则其解法详见高考帮P162【思想方法】内容;(2)若已知an和Sn的关系,其解法详见高考帮P160考法2的考法指导;(3)若数列是等差或等比数列,则可以通过数列的基本运算求解.关于数列的通项公式的求解,前几讲已经详细介绍,这里以数列的求和为主,常用的数列求和方法有错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 1.错位相减法求和 一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是在等式的两边同乘以等比数列bn的公比,然后作差求解.若bn的公比为参数(字母),则应对公比分等于1和不等于1两种情况分别求和.,数学 第六章第四讲 数

8、列的综合应用,考法二数列的通项与求和,2.裂项相消法求和 (1)把数列的通项拆成两项之差,相加过程中消去中间项,只剩有限项再求和,分式数列的求和多用此法. (2)利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.有些情况下,裂项时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等. (3)常见的拆项公式 1 (+1) = 1 - 1 +1 ; 1 (+) = 1 ( 1 - 1 + ); 1 (21)(2+1) = 1 2 ( 1 21 - 1 2+1 );,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用, 1 + +1 = +1 - ;

9、 1 (+1)(+2) = 1 2 1 (+1) - 1 (+1)(+2) ; 2 ( 2 1)( 2 +1 1) = 1 2 1 - 1 2 +1 1 ; 若an为等差数列,公差为d(d0),则 1 +1 = 1 ( 1 - 1 +1 ). 3.分组求和法求和 数列的通项较复杂时,把原数列的每一项拆成两项(或多项)的和或差,从而将原数列分解成两个(或多个)数列的和或差,而这两个(或多个)数列或者是等差数列、等比数列,或者是已知其和,求出这两个(或多个)数列的和,再相加或相减,得到原数列和的方法便是分组求和法.,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,考法示例3已知首项都是1的两个数列a

10、n,bn(bn0,nN*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令cn= ,求数列cn的通项公式; (2)若bn=3n-1,求数列an的前n项和Sn. 解析(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN*), 所以 +1 +1 - =2,即cn+1-cn=2. 所以数列cn是首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1. (2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是数列an的前n项和Sn=130+331+532+(2n-1)3n-1, 3Sn=131+332+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, -,得-2Sn=

11、1+2(31+32+3n-1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n, 所以Sn=(n-1)3n+1.,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,考法示例4已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)令bn=(-1)n-1 4 +1 ,求数列bn的前n项和Tn. 解析(1)因为S1=a1,S2=2a1+ 21 2 2=2a1+2, S4=4a1+ 43 2 2=4a1+12, 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得a1=1,所以an=2n-1.,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,(2)bn=

12、(-1)n-1 4 +1 =(-1)n-1 4 (21)(2+1) =(-1)n-1( 1 21 + 1 2+1 ). 当n为偶数时, Tn=(1+ 1 3 )-( 1 3 + 1 5 )+( 1 23 + 1 21 )-( 1 21 + 1 2+1 )=1- 1 2+1 = 2 2+1 . 当n为奇数时,Tn=(1+ 1 3 )-( 1 3 + 1 5 )+-( 1 23 + 1 21 )+( 1 21 + 1 2+1 )=1+ 1 2+1 = 2+2 2+1 . 所以Tn= 2+2 2+1 ,为奇数, 2 2+1 ,为偶数. (或Tn= 2+1+(1 ) 1 2+1 ),继续学习,数学 第

13、六章第四讲 数列的综合应用,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,考法示例5已知数列an的前n项和Sn= 2 + 2 ,nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= 2 +(-1)nan,求数列bn的前2n项和. 解析(1)当n=1时,a1=S1=1; 当n2时,an=Sn-Sn-1= 2 + 2 - (1 ) 2 +(1) 2 =n. 故数列an的通项公式为an=n. (2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n). 记A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,则A= 2

14、(1 2 2 ) 12 =22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.,考法指导 1.数列可看作自变量为正整数的一类函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,所以我们可以用函数的观点来研究数列.例如,要研究数列的单调性、周期性,可以通过研究其通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现.但要注意数列与函数的不同,数列只能看作是自变量为正整数的一类函数,在解决问题时要注意这一特殊性. 2.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种: 一是判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或

15、者借助数列对应函数的单调性比较大小; 二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题; 三是考查与数列问题有关的不等式的证明问题,此类问题常通过构造函数证明,或者直接利用放缩法证明.,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,考法3 数列与函数、不等式等的综合应用,继续学习,考法示例6设f(x)= (+2) ,且f(x)=x有唯一解,f(x1)= 1 1 003 ,xn+1=f(xn)(nN*). (1)求实数a的值; (2)求数列xn的通项公式; (3)若an= 4 -4 009,数列b1,b2-b1,b3-b2,bn-bn-1是首项为1,公比为 1 3 的等比

16、数列,记cn=anbn,求数列cn的前n项和Sn. 解析(1)由题意知 (+2) =x有唯一解, 方程ax2+(2a-1)x=0有唯一解x=0,a= 1 2 . (2)由已知得xn+1= 2 +2 , 1 +1 = 1 + 1 2 , 又f(x1)= 1 1 003 ,即 1 1 = 2 005 2 ,数学 第六章第四讲 数列的综合应用, 1 = 1 1 + 1 2 (n-1)= +2 004 2 , xn= 2 +2 004 . (3)由(2)可得an=2n-1, 又bn=b1+(b2-b1)+(bn-bn-1)= 3 2 (1- 1 3 ), cn=anbn= 3 2 (2n-1- 21

17、3 ), 数列2n-1的前n项和T1=1+3+5+2n-1=n2, 数列 21 3 的前n项和T2= 1 3 + 3 3 2 + 21 3 =1- +1 3 ,Sn= 3 2 (n2-1+ +1 3 ).,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,返回目录,考法示例7已知an是由正数组成的数列,a1=1,且点( ,an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足b1=1,bn+1=bn+ 2 ,求证:bnbn+2 +1 2 . 思路分析 (1)由点在函数图象上即可得出an+1与an的关系 写出通项公式

18、(2)结合(1)找出bn+1与bn的关系式,从而可得bn 利用作差法比较大小 解析(1)由已知,得an+1=an+1,即an+1-an=1, 又a1=1,所以数列an是以1为首项,1为公差的等差数列. 故an=1+(n-1)1=n.,(2)由(1),知an=n,从而bn+1-bn=2n. bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+2+1= 1 2 12 =2n-1. 因为bnbn+2- +1 2 =(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1)=-52n+42n=-2n0,所

19、以bnbn+2 +1 2 .,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,考法指导 现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、产品产量等问题,常常考虑用数列的知识去解决. 1.数列实际应用中的常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定的数,则该模型是等差模型,这个固定的数就是公差; (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,则该模型是等比模型,这个固定的数就是公比; (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化,则应考虑是第n项an与第n+1项an+1的递推关系还是前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.

20、,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,考法4 等差、等比数列的实际应用,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,2.解答数列实际应用题的步骤 (1)审题:仔细阅读材料,认真理解题意; (2)建模:将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题; (3)求解:求出该问题的数学解; (4)还原:将所求结果还原到原实际问题中. 在实际问题中建立数列模型时,一般有两种途径:一是从特例入手,归纳猜想,再推广到一般结论;二是从一般入手,找到递推关系,再进行求解.,继续学习,数学 第六章第四讲 数列的综合应用,考法示例8某企业为了进行技术改造,设计了两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种