高三数学文一轮复习课件第7章第二讲二元一次不等式组与简单的线性规划

1、目 录 Contents,考情精解读,考点1,考点2,A.知识全通关,B.题型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法4,考法3,易错,考法5,考法6,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,数学,1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决,第七章第二讲 二元一次不等式（组）与简单,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学,第七章第二讲 二元一次不等式（组）与简单,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学,第七章第二讲 二元一次不等式（组）与简单,考纲解读,命题规律

2、,返回目录,1.热点预测预计2018年高考对本讲内容的考查仍将以对目标函数的最值或取值范围的求解为主,题型以选择题、填空题的形式出现,难度不大,分值约为5分. 2.趋势分析预计对目标函数及参数的几何意义的理解和应用仍将是2018年高考考查的重点,与向量运算、概率相结合的趋势也在逐步增强,应给予充分重视.,命题趋势,数学,第七章第二讲 二元一次不等式（组）与简单,知识全通关,考点一二元一次不等式(组)与平面区域,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,1.二元一次不等式表示的平面区域,注意 不等式Ax+By+C0(0)表示的平面区域不包括边界,应把边界线画成虚线.

3、,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,2.二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分. 画二元一次不等式(组)表示的平面区域时,一般步骤为: 直线定界,虚实分明;特殊点定域,优选原点;阴影表示. 注意不等式中有无等号, 无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.特殊点一般选一个,当直线不过原点时,优先选原点.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,1.简单线性规划问题的有关概念,考点二 简单的线性规划问题,继续学习,数学 第七章第二讲

4、 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,说明 (1)最优解有时是唯一的,有时不是唯一的,甚至有无穷多个,也可能没有最优解; (2)如果目标函数存在一个最优解,那么最优解通常在可行域的顶点处取得;如果目标函数存在多个最优解,那么最优解一般在可行域的边界上取得. 2.简单线性规划问题的解法 (1) 画:在平面直角坐标系中,画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by). (2) 移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最值的点.具体做法是: 由z=ax+by(b0)变形为y=- x+ ,所以求z的最值可看成是求直线y=- x+ 在y轴上的截距 的最值,将直线y=-

5、x+ 平移,在可行域中观察使 最大或最小时所经过的点. (3) 求:求出使z取得最值的点的坐标(解方程组)及z的最值. (4) 答:给出答案.,【名师提醒】,把直线ax+by=0向上平移时,在y轴上的截距 逐渐增大,且b0时z的值逐渐增大,b0时z的值逐渐减小,b0时,直线向上平移z变大,向下平移z变小;当b0时,直线向上平移z变小,向下平移z变大.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,题型全突破,考法1二元一次不等式(组)表示的平面区域,继续学习,考法指导判定二元一次不等式表示的平面区域的方法 方法1:特殊点法 只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根

6、据Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0),大为右,小为左 当A0时,Ax+By+C0表示直线右方区域;Ax+By+C0表示直线左方区域. 方法3:一般式,同为上,异为下 观察B与不等式的符号,若B的符号与不等式符号相同,则表示直线上方区域;若B的符号与不等式符号相异,则表示直线下方区域.,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,方法4:直线l:Ax+By+C=0将平面分成两部分,则有“同正异负” (1)A(x1,y1),B(x2,y2)在l:Ax+By+C=0的同侧(Ax1+By1+

7、C)(Ax2+By2+C)0; (2)A(x1,y1),B(x2,y2)在l:Ax+By+C=0的异侧(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0; (3)A(x1,y1)或B(x2,y2)在l:Ax+By+C=0上(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)=0.,继续学习,考法示例1若不等式组 xy0, 2x+y2, y0, x+ya 表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 A.a 4 3 B.0a1 C.1a 4 3 D.0a1或a 4 3 思路分析先正确作出不含参数a的不等式构成的二元一次不等式组所表示的平面区域,然后通过直线x+y=a的平移来观察原不等式组所围成平面区域的形状

8、是否为三角形,从而得出参数a的取值范围.,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,继续学习,图7-2-2 解析不等式组 0, 2+2, 0 表示的平面区域如图7-2-2所示(阴影部分).由 =, 2+=2, 得A( 2 3 , 2 3 );由 =0, 2+=2, 得B(1,0).若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则直线x+y=a中的a的取值范围是0a1或a 4 3 . 答案D,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,继续学习,在画二元一次不等式(组)表示的平面区域时,要注意以下两个问题:(1)边界线是虚线还是实线;(2)选取的平面区域在直线的哪

9、一侧.,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,【突破攻略】,继续学习,考法指导 1.求平面区域的面积,要先作出不等式组表示的平面区域,然后判断平面区域的形状,若为三角形,求出底和高,利用面积公式直接求解,若为不规则图形,则利用割补法求解. 2.求面积时,注意与坐标轴垂直的直线及区域端点坐标,这样易求出底与高,必要时把平面区域分割为特殊图形.,考法二 不等式组表示的平面区域的面积,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法示例2不等式组 2+60, +30, 2 表示的平面区域

10、的面积为 A.4B.1C.5D.无穷大 思路分析 画出不等式组表示的平面区域 确定平面区域的形状 求出面积 解析不等式组 2+60, +30, 2 表示的平面区域如图7-2-3所示(阴影部分),ABC的面积即所求.求出点A,B,C的坐标分别为A(1,2),B(2,2),C(3,0),则ABC的面积为S= 1 2 (2-1)2=1. 图7-2-3 答案B,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法指导 1.确定最优解的方法 方法1几何意义法(常用方法) 根据目标函数表达式的特征找到其所代表的几何意义.线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关,当

11、b0时,最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线的交点,即平面区域的顶点)的位置得到的;当b0时,则向下方平移可得到最优解. 方法2变量替代法 把目标函数z代换到原约束条件中,得到新的不等式组,画出此时的平面区域,观察左右或上下边界即可得到最优解. 方法3解不等式法 当目标函数和约束条件分别是线性目标函数和线性约束条件时,把目标函数z代换到原约束条件中去,得到z的不等式组,直接放缩求解.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法三 求解线性目标函数的最值及取值范围,继续学习,方法4界点定值法 当目标函数和约束条件都是线性的,对应目

12、标函数的最值的最优解都是可行域所对应图形的边界顶点,这时要求目标函数的最值只要把可行域的几个顶点代入,通过对比目标函数的对应取值,即可得到最优解. 方法5斜率比较法 利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线l1,l2,ln的斜率分别为k1,k2,kn,且k1k2kn,而且目标函数的直线的斜率为k,则当kikki+1时,直线li与li+1相交的点一般是最优解. 2.线性目标函数的取值范围 此类问题实质也是线性目标函数的最值问题,通过求出最大值及最小值即可知道函数的取值范围,具体实施方法同上.,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法示例32016天津高考设变

13、量x,y满足约束条件 +20, 2+360, 3+290, 则目标函数z=2x+5y的最小值为 A.-4B.6C.10D.17 思路分析首先,根据不等式组画出可行域,其次,移动目标函数z=2x+5y所对应的直线,最后,根据目标函数的几何意义确定出其最小值. 解析解法一已知约束条件 +20, 2+360, 3+290 所表示的平面区域为图7-2-4中阴影部分(包含边界),其中A(0,2),B(3,0),C(1,3).根据目标函数的几何意义,可知当直线y=- 2 5 x+ 5 过点B(3,0)时,z取得最小值23+50=6.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,

14、图7-2-4 解法二由题意知,约束条件 +20, 2+360, 3+290 所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2),B(3,0),C(1,3).将A,B,C三点的坐标分别代入z=2x+5y,得z=10,6,17,故z的最小值为6. 答案B,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,化学 有机化学基础（选修五）,【突破攻略】,线性约束条件下的线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值.,继续学习,继续学习,考法指导 1.目标函数中设置参

15、数,旨在增加探索问题的动态性和开放性.从目标函数的结论入手,对图形的动态分析,对变化过程中的相关量的准确定位,是求解这类问题的主要思维方法. 2.约束条件中的参数影响平面区域的形状,这时含有参数的不等式表示的区域的边界是一条变动的直线,此时就要根据参数的取值确定这条直线的变化趋势,确定区域的可能形状,因此,增加了解题时画图分析的难度.求解这类问题时要有全局观念,结合目标函数逆向分析题意,整体把握解题的方向.,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法四 含参线性规划问题,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法示例4已知变量x,y满足

16、约束条件 +4130, 2+10, +40, 且有无穷多个点(x,y)使目标函数z=x+my取得最小值,则m=. 思路分析 作出可行域 对参数m进行分类讨论 数形结合得到满题意的m的值 解析作出线性约束条件表示的平面区域,如图7-2-5中阴影部分所示. 图7-2-5,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,若m=0,则z=x,目标函数z=x+my取得最小值的最优解只有一个,不符合题意. 若m0,则目标函数z=x+my可看作斜率为- 1 的动直线y=- 1 x+ , 若m0,数形结合知使目标函数z=x+my取得最小值的最优解不可能有无穷多个; 若m0,则- 1 0

17、,数形结合可知,当动直线与直线AB重合时,有无穷多个点(x,y)在线段AB上,使目标函数z=x+my取得最小值,即- 1 =-1,则m=1. 综上可知,m=1. 点评最优解有无穷多个,往往是指目标函数取得最值时所表示的直线与可行域中的一条直线重合.据此,本题也可以让目标函数所表示的直线与可行域中的每条边界直线重合,从而求解,利用这种方法求解时,切记要检验.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法示例5已知x,y满足约束条件 y3x, x4, x,yN*, x+2y+k0,其中k为常数,且z=x+y的最大值为12,则k的取值范围是. 思路分析 作出可确定的约

18、束条件表示的平面区域 结合目标函数确定最优解在平面区域中的位置 数形结合确定参数的取值范围 解析首先,将可确定的约束条件在图中作出,已知条件 3, 4, , N 表示的区域为图7-2-6(1)中阴影部分 (不包括坐标轴)内的整数点, 区域内能使z=x+y取得最大值12的整数点为(4,8), 因此只要使得约束条件x+2y+k0和 3, 4, , N 表示的区域内含有整数点(4,8)即可. 图7-2-6,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,注意到图7-2-6(1)所示区域内的3个整数点(4,9),(4,10),(4,11)以及x+2y+k0表示的是直线y=- 1

19、 2 x- 1 2 k左下方的区域,从而如图7-2-6(2)所示,区域的最大上界只能到直线CN:y=- 1 2 x+11(此时k=-22)的左下方,因为到了这条直线,则包含点(4,9),从而最大值为13,不符合条件. 同理,区域的最小上界必须要到直线BM:y=- 1 2 x+10(此时k=-20),因为不到这条直线,则不包含点(4,8),从而最大值小于12,也不符合条件. 所以满足条件的k的取值范围为-22k-20. 点评一般来说,对于这类问题的求解有一定难度,但只要紧紧抓住最值和最优解这两个条件,然后通过确定相应的已知区域,问题便不难解答.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)

20、与简单的线性规划问题,这类问题中目标函数的最优解一般是可知的,可行域中的参数则使得可行域不确定,需要借助目标函数的最值来求解.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,【突破攻略】,考法指导 用线性规划求解实际问题的一般步骤为: (1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据; (2)将影响该问题的主要因素作为决策量,设未知量; (3)根据问题的特点,写出约束条件和目标函数; (4)准确作出可行域,并求出最优解或其他要求的解; (5)将求解出来的结论反馈到实际问题当中,设计最佳方案. 注意 在实际应用问题中,变量x,y除受题目要求的条件制约外,可能还有一些隐含

21、的制约条件,如在涉及以人数为变量的实际应用问题中,人数必须是自然数,在解题时不要忽略了这些隐含的制约条件.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法五 利用线性规划解决实际问题,考法示例6某人有楼房一幢,室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需1000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,则他应隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益? 思路分

22、析先设出相关变量,列出线性约束条件,作出可行域,求出非整点最优解,再调整最优解,最后筛选出整点最优解即可. 解析设隔出大房间x间,小房间y间,获得收益为z元, 则 18+15180, 1 000+6008 000, ,N, 即 6+560, 5+340, ,N.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,图7-2-7 目标函数为z=200 x+150y=50(4x+3y),作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如图7-2-7中阴影部分(包含边界)内的整点. 作直线l:4x+3y=0,当移动直线l过点A( 20 7 , 60 7 )时,4x+3y取得最大值,由于A点

23、的坐标不是整数,而x,yN, 所以点A不是最优解. 调整最优解:由x,yN,知4x+3y37.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,令4x+3y=37,即y= 374 3 ,代入约束条件,解得 5 2 x3. 又xN,所以x=3,但此时y= 25 3 N. 再次调整最优解:令4x+3y=36, 即y= 364 3 ,代入约束条件,解得0 x4(xN). 当x=0时,y=12;当x=1时,y= 32 3 ; 当x=2时,y= 28 3 ;当x=3时,y=8; 当x=4时,y= 20 3 . 所以最优解为(0,12)和(3,8),这时zmax=1800. 所以应

24、隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,这样可以获得最大收益.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得,因此不能直接代入顶点坐标求最值,可用下面的方法求解.(1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移直线l,最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解.(2)检验优值法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解.(3)调整优值法:先求非整数点最优解及最优值,再借助不定方程知识调整最优值,最

25、后筛选出最优解.,【突破攻略】,考法指导 1.对于斜率型非线性规划问题的最值(值域) 目标函数形式一般为z= + + (ac0),求解步骤为: (1)需先弄清其几何意义,z= ( ) ( ) 表示的是可行域内的点(x,y)与点(- ,- )所连直线的斜率的 倍. (2)数形结合,确定定点(- ,- ),观察可行域的范围. (3)确定可行域内的点(x,y),看(x,y)取何值时,斜率最大(注意若可行域不含边界点,有可能取不到最大值);(x,y)取何值时,斜率最小(注意若可行域不含边界点,有可能取不到最小值);通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值. 2.对于距离型非线性规划问题的最值(值域)

26、目标函数形式为z=(x-a)2+(y-b)2时,求解步骤为:,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法六 非线性目标函数最值的求解,(1)其表示的是可行域内的点(x,y)与点(a,b)之间的距离的平方; (2)数形结合,确定定点(a,b),观察可行域的范围; (3)确定可行域内的点(x,y),看(x,y)取何值时,距离最大(注意若可行域不含边界点,有可能取不到最大值);(x,y)取何值时,距离最小(注意若可行域不含边界点,有可能取不到最小值);通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a,b)到可行域边界直线的垂足处取得. 目标函数形如z=|Ax+By+C|时

27、,一般步骤为: (1)将z=|Ax+By+C|= 2 + 2 |+| 2 + 2 ,问题转化为求可行域内的点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离的 2 + 2 倍的最值; (2)确定可行域,通过数形结合的方法求出所求的最值.,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法示例7已知变量x,y满足约束条件 +40, +20, 250, 则f(x,y)= +2 2+ 的取值范围是. 思路分析 作出可行域 对f(x,y)变形,转化为与斜率有关的式子 数形结合,求得f(x,y)的取值范围 解析作出

28、不等式组表示的平面区域,如图7-2-8所示(阴影部分), f(x,y)= +2 2+ = 1+2 2+ . 令 =k,则g(k)= 1+2 2+ =2- 3 2+ .,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,图7-2-8 而k= 表示可行域内的点P(x,y)与坐标原点O的连线的斜率,观察图形,可知kOAkkOB, 而kOA= 10 30 = 1 3 ,kOB= 30 10 =3, 所以 1 3 k3,即 5 7 f(x,y) 7 5 .,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法示例8设x,y满足约束条件 +50, +0, 3,

29、 则z=(x+1)2+y2的最大值为 A.80B.4 5 C.25D. 17 2 思路分析作出可行域 结合目标=函数的几何意义:两点间距离的平方 数形结合,求得z的最大值 解析作出不等式组 x-y+50, x+y0, x3,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,图7-2-9 表示的平面区域,如图7-2-9中阴影部分所示. (x+1)2+y2可看作点(x,y)到点P(-1,0)的距离的平方,由图可知可行域内的点A到点P(-1,0)的距离最大. 解方程组 =3, +5=0, 得点A的坐标为(3,8),代入z=(x+1)2+y2,得zmax=(3+1)2+82=80. 答案A,继续学习,数学 第七章第二讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考法示例9实数x,y满足不等式组 +20, 250, +40, 则z=|x+2y-4|的最大值为. 解析解法一作出不等式组表示的平面区域