高三数学理一轮复习课件第4章第三讲三角恒等变换

1、目 录 Contents,考情精解读,考点,A.知识全通关,B.题型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法4,考法3,专题探究,考点5,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式; 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式; 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第四章第三讲 三角恒等

2、变换,考纲解读,命题规律,返回目录,1.热点预测和差角公式、二倍角公式是高考的热点,常与三角函数式的求值、化简交汇命题.既有选择题、填空题,又有解答题,难度适中,主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力. 2.趋势分析预测2018年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点,高考复习时应引起足够的重视.,命题趋势,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,知识全通关,考点一三角恒等变换,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S(): sin()=sin cos cos sin ; C(): cos()=cos cos sin sin ; T(): tan()

3、= tantan 1tantan (, 2 +k,kZ). 名师提醒 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点如下:C()同名相乘,符号反; S()异名相乘,符号同;T()分子同,分母反. 2.二倍角公式 S2: sin 2=2sin cos ; C2: cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2; T2: tan 2= 2tan 1ta n 2 (k+ 2 且 2 + 4 ,kZ).,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,公式的常用变式 1.tan tan =tan()(1tan tan ),tan tan =1- tan+tan tan(+) = ta

4、ntan tan() -1. 2.降幂公式:sin2= 1cos2 2 ;cos2= 1+cos2 2 ;sin cos = 1 2 sin 2. 3.升幂公式:1+cos =2cos2 2 ;1-cos =2sin2 2 ;1+sin =(sin 2 +cos 2 )2;1-sin =(sin 2 -cos 2 )2. 4.辅助角公式:asin +bcos = 2 + 2 sin(+)(其中sin = 2 + 2 ,cos = 2 + 2 ).一般形式有sin x+cos x= 2 sin(x+ 4 ),sin x+ 3 cos x=2sin(x+ 3 ), 3 sin x+cos x=2s

5、in(x+ 6 ).,【规律总结】,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,3.半角公式 sin 2 = 1 2 ;cos 2 = 1+cos 2 ;tan 2 = 1cos 1+cos = sin 1+cos = 1cos sin .以上称之为半角公式,符号由 2 所在象限决定. 注意：若给出角的范围(即某一区间)时,可先求出 2 的范围,然后再根据 2 的范围来确定符号;如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号. 4.万能公式 (1)sin = 2tan 2 1+ta n 2 2 ;(2)cos = 1ta n 2 2 1+ta n 2 2 ;(3)tan = 2tan

6、2 1ta n 2 2 .,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,5.和差化积、积化和差公式 (1)和差化积公式 sin +sin =2sin + 2 cos 2 ;sin -sin =2cos + 2 sin 2 ; cos +cos =2cos + 2 cos 2 ;cos -cos =-2sin + 2 sin 2 . (2)积化和差公式 sin cos = 1 2 sin(+)+sin(-);cos sin = 1 2 sin(+)-sin(-); cos cos = 1 2 cos(+)+cos(-);sin sin =- 1 2 cos(+)-cos(-).,【规律总结】,三

7、角恒等变换中的技巧 1.巧变角:三角函数式中往往出现较多的差异角,注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系,运用角的变换,化多角为单角或减少未知角的数目,连接条件角与待求角,使问题顺利获解.对角变换时:(1)可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等;(2)注意倍角的相对性;(3)注意拆角、拼角技巧,例如,2=(+)+(-),=(+)-=(-)+,= + 2 - 2 =(+2)-(+),-=(-)+(-),15=45-30, 4 += 2 -( 4 -)等.,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,【规律总结】,2.将三角变换与代数变换密切结合:三角变换主要是灵活应用相应的三角公式,

8、对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等,例如,sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2- 2sin2xcos2x=1- 1 2 sin22x.,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,题型全突破,考法一 三角函数式的化简问题,继续学习,考法指导1.化简原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的转化,再使用公式. (2)二看“函数名”,看函数名之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”. (3)三看式子“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”

9、等. 2.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (2)式子中的分母尽量不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等. 3.化简方法 (1)异名化同名;(2)异次化同次;(3)复杂角化简单角; (4)切化弦,三角公式的正用、逆用.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,继续学习,考法示例1化简: 2co s 2 1 2tan( 4 )si n 2 ( 4 +) . 思路分析思路一运用两角和(差)的正弦(切)公式切化弦化简即可 思路二运用二倍角公式及诱导公式化简即可 解析解法一原式= co s 2 si n 2 2 1tan 1+tan (sin 4 cos

10、+cos 4 sin ) 2 = (co s 2 si n 2 )(1+tan) (1tan)(cos+sin ) 2 = (co s 2 si n 2 )(1+ sin cos ) (1 sin cos )(cos+sin ) 2 =1.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,继续学习,解法二原式= cos2 2tan( 4 )co s 2 ( 4 ) = cos2 2sin( 4 )cos( 4 ) = cos2 sin( 2 2) = cos2 cos2 =1.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,继续学习,考法指导一般所给出的角都是非特殊角,直接求很难,但非特殊角与特殊角总有一定的关系,解题

11、时,要利用其关系,结合公式转化为特殊角求解.,考法二 三角函数的给角求值问题,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,继续学习,考法示例2求值:(1) sin110sin20 co s 2 155si n 2 155 ; (2) 3 tan123 sin12(4co s 2 122) . 思路分析利用诱导公式及三角恒等变换即可求解. 解析(1)原式= sin70sin20 cos310 = cos20sin20 cos50 = 1 2 sin40 sin40 = 1 2 . (2)原式= 3 sin12 cos12 3 sin12(4co s 2 122) = 3 sin123cos12 2sin1

12、2cos12(2co s 2 121) = 2 3 ( 1 2 sin12 3 2 cos12) sin24cos24 = 2 3 sin(1260) 1 2 sin48 =-4 3 .,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,【突破攻略】,继续学习,给角求值问题一般是式子中已含有已知角,但很多不是特殊角,解决这类问题的基本思路有:(1)化非特殊角为特殊角;(2)化为正负相消的项,消去后求值;(3)化分子分母使之出现公约数,约分后求值.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,考法三 三角函数的给值求值问题,继续学习,考法指导给值求值”即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角

13、”,使相关角相同或具有某种关系. 解三角函数的给值求值问题的基本步骤: (1)先化简所求式子或所给条件; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系; (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,继续学习,考法示例3已知cos( 4 +x)= 3 5 ,若 17 12 x 7 4 ,求 sin2+2si n 2 1tan 的值. 思路分析注意x=( 4 +x)- 4 和2( 4 +x)= 2 +2x,巧妙地利用角的变换求解. 解析解法一由 17 12 x 7 4 ,得 5 3 x+ 4 2. 又cos( 4 +x)= 3 5 ,所以sin( 4 +x)=- 4 5

14、,所以cos x=cos( 4 +x)- 4 =cos( 4 +x)cos 4 +sin( 4 +x)sin 4 = 3 5 2 2 - 4 5 2 2 =- 2 10 , 从而sin x=- 7 2 10 ,tan x=7. 则 sin2+2si n 2 1tan = 2sincos+2si n 2 1tan = 2( 7 2 10 )( 2 10 )+2( 7 2 10 ) 2 17 =- 28 75 .,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,继续学习,解法二由解法一得tan( 4 +x)=- 4 3 .又sin 2x=-cos( 2 +2x)=-cos 2( 4 +x)=-2cos2( 4

15、+x)+1=- 18 25 +1= 7 25 . 则 sin2+2si n 2 1tan = sin2+2si n 2 1 sin cos = sin2cos+2si n 2 cos cossin = sin2(sin+cos) cossin =sin 2x 1+tan 1tan = sin 2xtan(x+ 4 )= 7 25 (- 4 3 )=- 28 75 .,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,【突破攻略】,继续学习,给值求值问题一般是将待求式子化简整理,看需要求相关角的哪些三角函数值,然后根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入即可.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,考法四 三角函数

16、的给值求角问题,继续学习,考法指导1.通过先求角的某个三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数; (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0, 2 ),选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),选余弦函数较好;若角的范围为(- 2 , 2 ),选正弦函数较好. 2.解给值求角问题的一般步骤: (1)求角的某一个三角函数值; (2)确定角的范围; (3)根据角的范围写出所求的角的大小.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,考法示例4(1)设(0,2),已知sin 3 cos ,则的取值范围是 A.( 3 , 2 )B.( 3 ,) C.(

17、3 , 4 3 )D.( 3 , 3 2 ) (2)已知锐角,满足sin = 5 5 ,cos = 3 10 10 ,则+等于 A. 3 4 B. 4 或 3 4 C. 4 D.2k+ 4 (kZ) 思路分析 (1)思路一sin 3 cos sin(- 3 )0 的范围 思路二利用排除法 验证=,= 4 3 即可 (2)已知sin ,cos 的值 cos ,sin 的值 cos(+)的值 +的值,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,继续学习,解析(1)解法一因为sin - 3 cos 0,即 1 2 sin - 3 2 cos 0, 所以sin(- 3 )0,所以2k 3 cos ,符

18、合题意,排除A,B;取= 4 3 ,因为sin 4 3 =- 3 2 , 3 cos 4 3 =- 3 2 ,则sin 4 3 = 3 cos 4 3 ,不符合题意,排除D. (2)由sin = 5 5 ,cos = 3 10 10 ,且,为锐角,可知cos = 2 5 5 ,sin = 10 10 , 故cos(+)=cos cos -sin sin = 2 5 5 3 10 10 - 5 5 10 10 = 2 2 ,又0+,故+= 4 . 答案(1)C(2)C 点评对于第(2)小题,因为+(0,),y=cos x在(0,)上是单调函数,所以本题通过求cos(+)的值来确定角+的大小.因为

19、y=sin x在(0,)上不是单调函数,如果求sin(+)的值,则需要求出+的取值范围,才能确定角+的大小.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,【突破攻略】,继续学习,对角的范围的限定是求角问题中的难点,一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行:(1)题目给定的角的范围;(2)利用给定的各个三角函数值来限定,如由三角函数值的正负可挖掘出角的范围,也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,考法五 已知asin +bsin (cos )=c的求值问题,继续学习,考法指导对于形如asin +bsin =c和asin +bcos =c的正、余弦的条件

20、式,通过平方可得到乘积项sin sin 和sin cos ,再结合恒等式sin2+cos2=1消去平方项,使之与两角和与差的三角公式相符合,总之,“平方相加”是基本方法.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,考法示例5已知13sin +5cos =9,13cos +5sin =15,求sin(+)的值. 解析将已知等式平方后相加,得169sin2+130sin cos +25cos2+169cos2+130cos sin +25sin2=81+225,整理得194+130sin(+)=306,所以sin(+)= 56 65 .,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,考法示例6 已知sin

21、x+sin y=1,求cos x+cos y的范围. 解析令cos x+cos y=a,两边平方得cos2x+2cos xcos y+cos2y=a2. 将sin x+sin y=1两边平方,得sin2x+2sin xsin y+sin2y=1. +,得2+2cos(x-y)=a2+1,从而a2=1+2cos(x-y). 讨论cos(x-y)的最值: 因为sinx+sin y=1,则sinx=1-sin y0, 同理,siny=1-sin x0,从而x,y2k,(2k+1),kZ, 所以x-y(2k-1),(2k+1),kZ, 故-1 cos(x-y) 1,所以-1 1+2cos(x-y) 3

22、, 则有0a23,可得- 3 a 3 . 即cos x+cos y的取值范围是 - 3 , 3 .,继续学习,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,能力大提升,三角恒等变换的综合问题,继续学习,类型1 三角恒等变换与三角函数性质的综合 利用三角恒等变换先将三角函数式转化为y=Asin(x+)的形式,再求其周期、单调区间、最值等,一直是高考的热点. 示例72016天津高考 已知函数f(x)=4tan xsin( 2 -x)cos(x- 3 )- 3 . (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间- 4 , 4 上的单调性.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,返回目录,解析(1)

23、f(x)的定义域为x|x 2 +k,kZ. f(x)=4tan xcosxcos(x- 3 )- 3 =4sin xcos(x- 3 )- 3 =4sin x( 1 2 cos x+ 3 2 sin x)- 3 =2sin xcos x+2 3 sin2x- 3 =sin 2x+ 3 (1-cos 2x)- 3 =sin 2x- 3 cos 2x =2sin(2x- 3 ). 所以,f(x)的最小正周期T= 2 2 =.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,返回目录,(2)令z=2x- 3 ,函数y=2sin z的单调递增区间是- 2 +2k, 2 +2k,kZ. 由- 2 +2k2x- 3 2

24、 +2k,得- 12 +kx 5 12 +k,kZ. 设A=- 4 , 4 ,B=x|- 12 +kx 5 12 +k,kZ,易知AB=- 12 , 4 . 所以,当x- 4 , 4 时,f(x)在区间- 12 , 4 上单调递增,在区间- 4 ,- 12 上单调递减.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,返回目录,2.三角恒等变换与三角形的综合 三角恒等变换经常出现在解三角形中,与正弦定理、余弦定理相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等,是高考热点内容. 根据所给条件解三角形时,主要有两种途径: (1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于,可以根据此关系把未知量减少,

25、再用三角恒等变换化简求解; (2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系,再用三角恒等变换化简求解.,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,返回目录,示例8在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ 2 ab=c2. (1)求C; (2)设cos Acos B= 3 2 5 , cos(+)cos(+) co s 2 = 2 5 ,求tan 的值. 解析(1)因为a2+b2+ 2 ab=c2, 由余弦定理,得cos C= 2 + 2 2 2 = 2 2 =- 2 2 . 故C= 3 4 . (2)由题意,得 (sinsincoscos)(sinsincoscos) co s 2 = 2 5 ,数学 第四章第三讲 三角恒等变换,返回目录,因此(tan sin A-cos A)(tan sin B-cos B)= 2 5 , tan2sin Asin B-tan (sin AcosB+cosAsin B)+cos Acos B= 2 5 , tan2sin Asin B-tan sin(A+B)+cos Acos B= 2 5 . 因为C= 3 4 ,A+B= 4 , 所以sin(A+B)= 2 2 , 因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即 3 2 5 -s