高三数学理一轮复习课件第6章第一讲数列的概念与简单表示法

1、目 录 Contents,考情精解读,考点1,考点2,A.知识全通关,B.题型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法3,考点3,类型1,类型5,类型4,类型3,类型6,类型7,类型8,类型9,类型2,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,考纲解读,命题规律,返回目录,1.热点预测预计高考会重点考查以下两个方面:(1)重点内容重点考查,如通项公式、递推公式及性质等

2、;(2)以数列为背景的新情境题目.题型为选择题、解答题,分值5 12分. 2.趋势分析预计2018年高考仍将以Sn与an的关系为主要考点,重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力.,命题趋势,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,知识全通关,考点一数列的相关概念,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,1.定义 按照 一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫作首项.排在第二位的数称为这个数列的第2项,排在第n位的数称为这个数列的第n项.数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,

3、an,简记为an. 注意 (1)an与an是不同的概念,an表示数列a1,a2,a3,an,而an表示的是这个数列的第n项;(2)数列中的项与项的序号是不同的,项是一个确定的数,项的序号是数的具体位置.,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,数列与集合的区别 集合中的元素具有确定性、无序性和互异性.与集合中的元素相比较,数列中的项也有三个性质: (1)确定性:一个数是不是数列中的项是确定的. (2)有序性:一个数列不仅由“数”构成,而且与这些数的排列次序有关. (3)可重复性:数列中的数可以重复,如1,-1,1,-1,1,;2,2,2,2,.,【辨析比较】,继续学习,数学 第六

4、章第一讲 数列的概念与简单表示法,2.数列的分类,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,【名师提醒】,(1)在写数列时,对于有穷数列,要把末项写出.例如,数列1,2,3,4,100表示有穷数列.但是如果把数列写成1,2,3,4,100,则表示无穷数列. (2)从第2项起,观察数列的每一项跟它的前一项的大小关系,并结合有关定义,即可判断出是递增数列、递减数列、常数列,还是摆动数列. (3)有穷无穷看项数,递增递减看趋势,有界无界看每一项的绝对值是否小于等于某个常数.,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,考点2 数列的通项公式,数学 第六章第一讲 数列的

5、概念与简单表示法,1.通项公式 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式,即 an=f(n)(nN+).数列的通项公式就是相应函数的解析式. 注意 (1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一;(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的. 2.递推公式 如果已知数列an的第一项(或前几项),且任一项an(n2)与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.,【辨析比较】,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念

6、与简单表示法,通项公式和递推公式的异同点,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,考点三数列的函数特性,1.数列的图象 由于数列是特殊的函数,因此,数列也可以像函数一样用图象表示,即以数列的项的序号n为横坐标,相应的项an为纵坐标,描出各点表示一个数列. 数列的图象是无限个或有限个孤立的点. 2.数列的表示法 数列是特殊的函数,因此数列的表示法也有三种:解析法、列表法、图象法. 3.数列的单调性 (1)数列an是递增数列,从第2项起,每一项都大于它的前一项,即an+1an(nN+). (2)数列an是递减数列,从第2项起,每一项都小于它的前一项,即an+1an(nN+). (3)

7、数列an是常数列.数列的各项都相等,即an+1=an(nN+).,继续学习,考点4 数列的前n项和与通项的关系,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,数列的前n项和通常用Sn表示,记作Sn=a1+a2+an, 则通项an= 1 ,=1, 1 ,2. 若当n2时求出的an也适合n=1时的情形,则用一个式子表示an,否则分段表示.,题型全突破,考法1已知数列的前几项求通项公式,继续学习,考法指导给出数列的前几项求通项时,需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系,在所给数列的前几项中,先看看哪些部分是变化的,哪些是不变的,再探索各项中变化部分与序号间的关系,主要从以下几个方面来考虑: (1)分

8、式形式的数列,分子、分母分别求通项,较复杂的还要考虑分子、分母的关系; (2)若第n项和第n+1项正负交错,那么符号用(-1)n或(-1)n+1或(-1)n-1来调控; (3)熟悉一些常见数列的通项公式; (4)对于较复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,这就需要将数列各项的结构形式进行变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,考法示例1写出下列数列的一个通项公式: (1)1,3,5,7,; (2)- 1 12 , 1 23 ,- 1 34

9、 , 1 45 ,; (3)1,5,1,5,1,5,; (4)9,99,999,9 999,. 思路分析 分析各数列中已知项的数字特征的共性 结合常见的描述方法写出各数列的通项公式 解析(1)这个数列的前4项都是序号的2倍减去1,所以它的一个通项公式为an=2n-1.事实上,该数列是由连续的正奇数组成的.,继续学习,(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=(-1)n 1 (+1) . (3)已知数列可以变换为3-2,3+2,3-2,3+2,所以已知数列的一个通项公式为an=3+(-1)n2. (4)这个数列的前4项可以写

10、成10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,所以它的一个通项公式为an=10n-1.,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,返回目录,【突破攻略】,常见数列的通项公式如下:(1)数列1,2,3,4,的通项公式为an=n;(2)数列2,4,6,8,的通项公式为an=2n;(3)数列1,2,4,8,的通项公式为an=2n-1;(4)数列1,4,9,16,的通项公式为an=n2;(5)数列1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,的通项公式为an= 1 .,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,考法指导 数列an的前n项和Sn与通项an的关系为an= 1 ,=1,

11、1 ,2, 通过纽带:an=Sn-Sn-1(n2),根据题目已知条件,消掉an或Sn,再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列进行求解. (1)若消掉Sn,应利用已知递推式,把n换成n-1得到另一个式子,两式相减即可求得通项. (2)若消掉an,只需把an=Sn-Sn-1代入递推式得到Sn,Sn-1的关系,求出Sn后再利用an与Sn的关系求通项. 注意 需要注意公式an=Sn-Sn-1成立的条件, 由an=Sn-Sn-1求出an后,一定不要忘记验证n=1是否适合an(n2). 若a1适合n2时的an,则需要把数列的通项公式合并在一起,否则写成分段形式.,考法2 利用an与S

12、n的关系求通项公式,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,考法示例2已知数列an的前n项和Sn=3n+1,求数列an的通项公式. 思路分析利用an= 1 ,=1, 1 ,2 求数列an的通项公式. 解析当n=1时,a1=S1=3+1=4; 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=23n-1. 当n=1时,231-1=2a1,所以an= 4,=1, 2 3 1 ,2. 点评在利用数列的前n项和求通项公式时,往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n2的情形.所以在求出结果后,要看看这两种情况能否整合在一起

13、.,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,考法示例3已知数列an的前n项和Sn=- 1 2 n2+kn,kN*,且Sn的最大值为8.试确定常数k,并求数列an的通项公式. 思路分析数列an的前n项和Sn是关于n的二次函数,利用Sn的最大值为8可确定常数k;根据数列的前n项和与通项的关系可求通项公式. 解析因为Sn=- 1 2 n2+kn=- 1 2 (n-k)2+ 1 2 k2,其中k是常数,且kN*,所以当n=k时,Sn取最大值 1 2 k2,故 1 2 k2=8,k2=16,因此k=4,从而Sn=- 1 2 n2+4n. 当n=1时,a1=S1=- 1 2 +4= 7 2 ; 当n2

14、时,an=Sn-Sn-1=(- 1 2 n2+4n)- 1 2 (n-1)2+4(n-1)= 9 2 -n. 当n=1时, 9 2 -1= 7 2 =a1,所以an= 9 2 -n.,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,考法指导 1.数列的单调性的判断 (1)作差比较法.an+1-an0数列an是递增数列;an+1-an0时,则 +1 1数列an是递增数列; +1 1数列an是递减数列; +1 1数列an是递增数列; +1 =1数列an是常数列. (3)结合相应函数的图象直观判断.,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,考法3 数列的单调性及其应用,继续学习,

15、2.数列单调性的应用 利用数列单调性可以求数列中的最大(或最小)项问题.常见方法: (1)构造函数,确定出函数的单调性,进一步求出数列的最大项或最小项. (2)利用 +1 , 1 求数列中的最大项an;利用 +1 , 1 求数列中的最小项an.当解不唯一时,比较各解大小即可确定.,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,考法示例4已知数列an的通项公式为an= 9 (+1) 1 0 ,试判断此数列是否有最大项?若有,第几项最大,最大项是多少?若没有,说明理由. 解析解法一an+1-an= 9 +1 (+2) 1 0 +1 - 9 (+1

16、) 1 0 = 9 1 0 8 10 , 当n0,即an+1an; 当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n8时,an+1-ana10a11,故数列an有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9= 9 8 9 1 0 8 = 9 9 1 0 8 .,解法二设数列an的第n项最大,则 1 , +1 , 即 9 (+1) 1 0 9 1 1 0 1 , 9 (+1) 1 0 9 +1 (+2) 1 0 +1 , 解得8n9,又nN*,则n=8或n=9.故数列an有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9= 9 9 1 0 8 .,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继

17、续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,考法示例5已知an是递增数列,且对于任意的nN*,an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是 解析解法一(定义法)因为an是递增数列,所以对任意的nN*,都有an+1an,即(n+1)2+(n+1)n2+n,整理,得2n+1+0,即-(2n+1).(*) 因为n1,所以-(2n+1)-3,要使不等式(*)恒成立,只需-3. 解法二(函数法)设f(n)=an=n2+n,其图象的对称轴为直线n=- 2 ,要使数列an为递增数列,只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数,故只需满足f(1)-3.,【突破攻略】,已知数列的单调性求解某个参数的取值范围

18、,一般有两种方法:(1)利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;(2)利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n的取值范围.,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,能力大提升,思想方法 求解九类递推式通项常用的方法和技巧,继续学习,递推数列是高考考查的热点,由递推公式求通项时,一般需要先对递推公式进行变形,然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题.下面给出几种常见的递推数列,并讨论其通项公式的求法.,数学 第六章第一讲 数列的概念

19、与简单表示法,返回目录,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,类型1 an+1=an+f(n) 把原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用叠加法(逐差相加法)求解. 示例6已知数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,求an. 思路分析 解析因为a1=2,an+1-an=n+1, 所以an-an-1=(n-1)+1, an-1-an-2=(n-2)+1, an-2-an-3=(n-3)+1, a2-a1=1+1, a1=2=1+1, 将以上各式相加得an=(n-1)+(n-2)+(n-3)+2+1+n+1= (1)(1)+1 2 +n+1= (1) 2 +n+1= (+1)

20、2 +1.,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,类型2 an+1=f(n)an 把原递推公式转化为 +1 =f(n),再利用叠乘法(逐商相乘法)求解. 示例7已知数列an满足a1= 2 3 ,an+1= +1 an,求an. 思路分析 an+1= +1 an 变形 利用叠乘法即可得出an 解析由an+1= +1 an,得 +1 = +1 , 当n2,nN*时,an= 1 1 2 2 1 a1= 1 2 1 1 2 2 3 = 2 3 ,即an= 2 3 .又当n=1时, 2 31 = 2 3 =a1,故an= 2 3 .

21、.,返回目录,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,类型3 an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)0) 先用待定系数法把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中t= 1 ,再利用换元法转化为等比数列求解. 示例8已知数列an中,a1=1,an+1=2an+3,求an.,继续学习,解析设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,解得t=-3. 故an+1+3=2(an+3). 令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且 +1 = +1 +3 +3 =2. 所以bn是以4为首项,2为公比的等比数列. 所以bn=42

22、n-1=2n+1,即an=2n+1-3.,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,类型4 an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)0) (1)一般地,要先在递推公式两边同除以qn+1,得 +1 +1 = + 1 ,引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1= bn+ 1 ,再用待定系数法解决; (2)也可以在原递推公式两边同除以pn+1,得 +1 +1 = + 1 ( )n,引入辅助数列bn(其中bn= ),得bn+1-bn= 1 ( )n,再利用叠加法(逐差相加法)求解. 示例9已知数列an中,a1= 5 6 ,a

23、n+1= 1 3 an+( 1 2 )n+1,求an.,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,解析解法一将an+1= 1 3 an+( 1 2 )n+1两边分别乘以2n+1,得2n+1an+1= 2 3 (2nan)+1 令bn=2nan,则bn+1= 2 3 bn+1, 根据待定系数法,得bn+1-3= 2 3 (bn-3). 所以数列bn-3是首项为b1-3=2 5 6 -3=- 4 3 ,公比为 2 3 的等比数列. 所以bn-3=- 4 3 ( 2 3 )n-1,即bn=3-2( 2 3 )n. 于是,an= 2 = 3 2 - 2 3 .,解法二将an+1= 1 3

24、an+( 1 2 )n+1两边分别乘以3n+1,得3n+1an+1=3nan+( 3 2 )n+1. 令bn=3nan,则bn+1=bn+( 3 2 )n+1, 所以bn-bn-1=( 3 2 )n,bn-1-bn-2=( 3 2 )n-1,b2-b1=( 3 2 )2. 将以上各式叠加,得bn-b1=( 3 2 )2+( 3 2 )n-1+( 3 2 )n, 又b1=3a1=3 5 6 = 5 2 =1+ 3 2 , 所以bn=1+ 3 2 +( 3 2 )2+( 3 2 )n-1+( 3 2 )n= 11( 3 2 ) +1 1 3 2 =2( 3 2 )n+1-2, 即bn=2( 3 2

25、 )n+1-2. 故an= 3 = 3 2 - 2 3 .,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,类型5 an+1=pan+an+b(p1,p0,a0) 这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列,即令an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y),然后与已知递推式比较,解出x,y,从而得到an+xn+y是公比为p的等比数列. 示例10设数列an满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n2),求an. 思路分析 an=3an-1+2n-1 利用待定系数法得到一个等比数列 利用等比数列的知识可解 解析设递推公式可以转化

26、为an+An+B=3an-1+A(n-1)+B,化简后与原递推式比较,得 2=2, 23=1, 解得 =1, =1. 令bn=an+n+1,(*)则bn=3bn-1, 又b1=6,故bn=63n-1=23n,代入(*),得an=23n-n-1.,返回目录,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,类型6 an+1=p (p0,an0) 这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为an+1=pan+q型,再利用待定系数法求解. 示例11已知数列an中,a1=1,an+1= 1 2 (a0),求数列an的通项公式. 思路分析 an+1= 1 2 等式两边取对数 适当换元后,构造等比数列即可得解

27、解析对an+1= 1 2 两边取对数,得lg an+1=2lg a n +l g 1 .令b n=lg an,则bn+1=2bn+lg 1 . 由此得bn+1+lg 1 =2(bn+ lg 1 ),记cn=bn+lg 1 ,则cn+1=2cn.所以数列cn是首项c1=b1+lg 1 =lg 1 ,公比为2的等比数列.所以cn=2n-1lg 1 . 所以bn=cn-lg 1 =2n-1lg 1 -lg 1 =lga( 1 ) 2 1 ,即lgan=lga( 1 ) 2 1 ,所以an=a( 1 ) 2 1 .,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,继续学习,数学 第六章第一讲 数列的概念与简单表示法,类型7 an+1= + (p,q,r0且an0,qan+r0) 这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后,再进一步处理.若p=r,则有 1 +1 = + = 1 + ,此时 1 为等差数列.若pr,则有 1 +1 = 1 + ,此时可转化为类型3来处理. 示例12已知数列an中,a1=1,an+1= 2 +2 ,求数列an的通项公式. 思路分析 将an+1= 2 +2 两边取倒数 整理可得 1 为等差数列 先求出 1 ,再求an,解析因为an+1= 2 +2 ,a1=1,所以an0,所以 1 +1 = 1 + 1 2 ,即 1 +1 - 1