高考数学浙江省专用复习专题测试第二章函数23二次函数与幂函数

1、考点二次函数与幂函数 1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m() A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关,五年高考,答案B本题考查二次函数在闭区间上的最值,二次函数的图象,考查数形结合思想和分类讨论思想. 解法一:令g(x)=x2+ax,则M-m=g(x)max-g(x)min. 故M-m与b无关. 又a=1时,g(x)max-g(x)min=2, a=2时,g(x)max-g(x)min=3, 故M-m与a有关.故选B. 解法二:(1)当-1,即a-2时,f(

2、x)在0,1上为减函数,M-m=f(0)-f(1)=-a-1. (2)当-1,即-2a-1时,M=f(0),m=f,从而M-m=f(0)-f=b-=a2. (3)当0-,即-1a0时,M=f(1),m=f,从而M-m=f(1)-f=a2+a+1. (4)当-0,即a0时, f(x)在0,1上为增函数,M-m=f(1)-f(0)=a+1.,即有M-m= M-m与a有关,与b无关.故选B.,2.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中 有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是() A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点

3、C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上,答案A由已知得,f (x)=2ax+b,则f(x)只有一个极值点,若A、B正确,则有解得b=-2 a,c=-3a, 则f(x)=ax2-2ax-3a. 由于a为非零整数,所以f(1)=-4a3,则C错. 而f(2)=-3a8,则D也错,与题意不符,故A、B中有一个错误,C、D都正确. 若A、C、D正确,则有 由得 代入中并整理得9a2-4a+=0, 又a为非零整数,则9a2-4a为整数,故方程9a2-4a+=0无整数解,故A错.,若B、C、D正确,则有 解得a=5,b=-10,c=8,则f(x)=5x2-10 x+8, 此时f(-1)

4、=230,符合题意.故选A.,评析本题考查二次函数的性质、函数的零点和函数极值,考查推理运算能力.,3.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m0,n0)在区间上单调递减,那么 mn的最大值为() A.16B.18C.25D.,答案B当m=2时,f(x)=(n-8)x+1在区间上单调递减,则n-82时,f(x)的图象开口向上,要使f(x)在区间上单调递减,需-2,即2m+n12,而2m+ n2,所以mn18,当且仅当即时,取“=”,此时满足m2.故(mn)max=18. 故选B.,评析本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式.考查学生分析问题与解决问题

5、的能力.考查转化与化归的数学思想.,4.(2013重庆,3,5分)(-6a3)的最大值为() A.9B.C.3D.,答案B易知函数y=(3-a)(a+6)的两个零点是3,-6,对称轴为a=-,y=(3-a)(a+6)的最大值为y= 3+=, 则的最大值为,选B.,5.(2013辽宁,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=()

6、A.16B.-16 C.a2-2a-16D.a2+2a-16,答案B令f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2-4=0,解得x=a+2或x=a-2. f(x)与g(x)的图象如图. 由题意知H1(x)的最小值是f(a+2), H2(x)的最大值为g(a-2), 故A-B=f(a+2)-g(a-2) =(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)(a-2)+a2-8=-16.,评析本题考查了二次函数图象、最大及最小值,考查了数形结合思想,利用图象是直观的、简捷的方法.,6.(2017北京文,11,5分)已知x0,y

7、0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.,答案,解析解法一:由题意知,y=1-x, y0,x0,0 x1, 则x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2+. 当x=时,x2+y2取最小值, 当x=0或x=1时,x2+y2取最大值1, x2+y2. 解法二:由题意可知,点(x,y)在线段AB上(如图),x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方. x2+y2的最小值为(0,0)到直线x+y-1=0的距离的平方,即=,又易知(x2+y2)max=1,x2+y2 .,7.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间是减函数,则a的取值范围是 .,答

8、案(-,2,解析f(x)=cos 2x+asin x=1-2sin2x+asin x, 令t=sin x,x,则t,原函数化为y=-2t2+at+1,由题意及复合函数单调性的判定可知y= -2t2+at+1在上是减函数,结合二次函数图象可知,所以a2.,评析本题的解题关键在于通过换元,将原函数转化为二次函数,再结合复合函数单调性即可求解.考查转化能力、数形结合思想.,8.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x0)图象上一动点.若 点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.,答案-1,解析设P,则|PA|2=(x-a)2+ =-

9、2a+2a2-2, 令t=x+2(x0,当且仅当x=1时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2. (1)当a2时,(|PA|2)min=22-2a2+2a2-2=2a2-4a+2, 由题意知,2a2-4a+2=8,解得a=-1或a=3(舍). (2)当a2时,(|PA|2)min=a2-2aa+2a2-2=a2-2. 由题意知,a2-2=8,解得a=或a=-(舍). 综上知,a=-1或.,评析本题考查两点间距离公式,考查分类讨论思想及换元意识,考查运算求解能力.,9.(2017课标全国文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(

10、0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,10.(2015浙江文,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR). (1)当b=+1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式; (2)已知函数f(x)在-1,1上存在零点,0b-2a1,求b的取值范围.,解析(1)当b=+1时,f(x)=+1, 故对称轴为直线x=-. 当a-2时,g(a)=f(1)=+a+2. 当-22时,g(a)=f(-1)=-a+2. 综上,g(a)= (2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则

11、由于0b-2a1,因此s(-1t1). 当0t1时,st,由于-0和-9-4, 所以-b9-4. 当-1t0时,st, 由于-20和-30, 所以-3b0. 故b的取值范围是-3,9-4.,1.(2017浙江台州质量评估,7)已知函数f(x)=ax3+ax2+x(aR),下列选项中不可能是函数f(x)的 图象的是(),三年模拟,一、选择题,A组 20152017年高考模拟基础题组,答案D由题易知,f (x)=ax2+ax+1,所以f (1)=10,即曲线y=f(x)在(0,0)处的切线斜率大于0,所以D不可能是函数f(x)的图象,故选D.,2.(2017浙江杭州二模(4月),9)设函数f(x)

12、=x2+ax+b(a,bR)的两个零点为x1,x2,若|x1|+|x2|2,则 () A.|a|1B.|b|1C. |a+2b|2D.|a+2b|2,答案B由根与系数的关系,知b=x1x2,所以|b|=|x1|x2|1(当且仅当|x1|=|x2|时,等号 成立),故选B.,3.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,9)f(x)=ax2+bx+c,当0 x时,f(x)2,4,则a的最大值为 () A.8B.16C.32D.64,答案C考虑x分别取0,时的函数值,由2f(x)4得不等式组 又a=8, a=8. 当f(0)=f=4,f=2时,a取最大值32,此时联立三个等式可以求得a=32,b=-

13、16,c=4符合题意,故 选C.,4.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知f(x)=则y=f(x)-x的零点有 () A.1个B.2个C.3个D.4个,答案C由条件知f(x)=其中n=0,1,2, 作出函数y=f(x)和y=x的图象,知它们共有3个不同的交点,故y=f(x)-x的零点有3个.,5.(2017浙江衢州教学质量检测(1月),16)若f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,且|f(x)|的最大值为, 则4a+3b=.,二、填空题,答案-,解析由题可知,即而|1-a+b|+|1+a+b|2|1+b|,所以2|1+b|1, 解得-b-,另一方面|b|等价于-b

14、,所以b=-,所以解得a=0. 综上,故4a+3b=-.,6.(2016浙江名校交流卷,9)已知幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(x)=;函数y=f(x)2+f(x)-2的零点是.,答案;1,解析设f(x)=x,R.由题意得4=2,得=,则f(x)=.故y=f(x)2+f(x)-2=()2-2=(-1) (+2),令y=0,得 -1=0,即x=1.,7.(2015浙江杭州一模,10)设函数f(x)=x2-(k+1)x+2(kR),则f=;若当x0时,f(x) 0恒成立,则k的取值范围为.,答案-+;(-,2-1,解析f=-(k+1)+2=-+. 当x0时,f(x)0恒成立,等价于当x0

15、时,k+1恒成立.x0,=x+2(当且仅 当x=时,“=”成立),故k2-1.,8.(2016浙江宁波“十校”联考,18)若存在区间A=m,n(mn),使得y|y=f(x),xA=A,则称函数f(x)为“可等域函数”,区间A为函数f(x)的一个“可等域区间”.已知函数f(x)=x2-2ax+b(a,bR). (1)若b=0,a=1,g(x)=|f(x)|是“可等域函数”,求函数g(x)的“可等域区间”; (2)若区间1,a+1为f(x)的“可等域区间”,求a,b的值.,三、解答题,解析(1)由题意知,g(x)=|x2-2x|是“可等域函数”. 因为g(x)=|x2-2x|=|(x-1)2-1|

16、0,所以nm0, 结合函数图象,由g(x)=x得x=0,1,3, 当1m1,即a0. 当02时,解得(15分),1.(2017浙江稽阳联谊学校联考,10)设二次函数f(x)=x2+ax+b,若对任意的实数a,都存在实数x,使得不等式|f(x)|x成立,则实数b的取值范围是() A.2,+)B. C.D.,一、选择题,B组 20152017年高考模拟综合题组,答案D“对任意的实数a,都存在实数x,使得不等式|f(x)|x成立”等价于“存在实 数a,对任意实数x,使得不等式|f(x)|x成立”, 即对任意x,-1x+a1,令g(x)=x+,x. 故只要g(x)=x+,x的最大值与最小值之差小于2即

17、可. 当b4时,g-g(2)2,此时无解; 当b4时,得b; 当b时,g(2)-g2,得-b, 所以,-b. 综上可得,所求实数b的取值范围是b-或b.,2.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),10)已知在(-,1上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2,则实数t的取值范围为() A.-,B.1, C. 2,3D.1,2,答案B对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2转化为f(x)max-f(x)min2.由f(x)在(-,1)上是减函数,得-1,即t1,从而有t-0t+1-t,即x=0比x=t+1更偏

18、离对称轴x=t,故f(x)在0,1+t上的最 大值为1,最小值为1-t2,故有1-(1-t2)2,解得-t,又t1,所以1t.故选B.,3.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,8)已知函数y=x2-6|x|+2,当a-2xa+2时,函数的最大值为M(a),则M(a)的最小值为() A.2B.-7C.-5D.-3,答案Dy=画出函数图象,如图所示. (1)当a-20且03,即a3时, 且x=a+2时函数取最大值,M(a)=a2-2a-6; (4)当a+20且-3a,即-3a-2时,且x=a+2时函数取最大值,M(a)=a2+10a+18; (5)当a+20且-3a,即a-3时,且x=a-2时

19、函数取最大值,M(a)=a2+2a-6.,综上,M(a)=可求得M(a)的最小值为-3.,4.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),17)已知a,bR且0a+b1,函数f(x)=x2+ax+b在上 至少存在一个零点,则a-2b的取值范围为.,二、填空题,答案0,1,解析设t=a+b,t0,1,则a=t-b.设x0为方程x2+ax+b=0的根,则b=-ax0. 所以,b=-(t-b)x0,因此b=,故a-2b=t-3b=t+3=t+3. 因为t0,1,所以a-2b. 再设u=1-x0,则=3=30(当=1时取等号), =3+-81(当=1时取等号). 综上可知,a-2b0,1.,一题多解因为函

20、数f(x)=x2+ax+b在上至少存在一个零点, 所以或即或 作出a,b所确定得可行域(图略)可知,当a=b=0时,a-2b有最小值0;当a=1,b=0时,a-2b有最大值1,所以a-2b的取值范围是0,1.,5.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)记M(x,y,z)为x,y,z三个数中的最小数,若二次函数f(x)=ax2+bx+c(abc0)有零点,则M的最大值为.,答案,解析abc0,中,最小, 因此需要求的最大值, 又二次函数f(x)=ax2+bx+c(abc0)有零点, b2-4ac0,即b24ac,c, 故=+. 设=t,t(0,1,则y=t+=(t2+4t)=(t+2)2

21、-1. 当t=1,即a=b时,y取得最大值.,6.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),17)已知f1(x)=x+1,且fn(x)=f1fn-1(x)(n2,nN*),若关于x的函数y=x2+nfn(x)-n+10(nN*)在区间(-,-2上的最小值为-3,则n的值为.,答案3或6,解析由题意知,fn+1(x)=fn(x)+1,所以fn(x)=fn(x)-fn-1(x)+fn-1(x)-fn-2(x)+f2(x)-f1(x)+f1(x)=n-1+f1(x)=x+n,因此y=x2+nx+n2-n+10(nN*). 当-2,即n4,nN*时,y的最小值在x=-2处取得,即n2-n+14=-3,所以n

22、=3; 当-2,即n4,nN*时,y的最小值在x=-处取得,即=-3,所以n=6. 综上,n的值是3或6.,7.(2016浙江六校联考,15)设a,b,cR,对任意满足|x|1的实数x,都有|ax2+bx+c|1,则|a|+|b|+|c|的最大值为.,答案3,解析设f(x)=ax2+bx+c,则 所以 所以|a|+|b|+|c|=+|f(0)|+|f(0)|+|f(0)|= max|f(1)|,|f(-1)|+2|f(0)|3. 故|a|+|b|+|c|的最大值为3.,8.(2016浙江宁波一模,18)已知函数f(x)=x2-1. (1)对于任意实数x1,2,4m2|f(x)|+4f(m)|f

23、(x-1)|恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对任意实数x11,2,存在实数x21,2,使得f(x1)=|2f(x2)-ax2|成立,求实数a的取值范围.,三、解答题,解析(1)由题意得,对任意实数x1,2,4m2(x2-1)+4(m2-1)2x-x2恒成立, 整理得(4m2+1)x2-2x-40.(3分) 所以对任意的x1,2,m2恒成立. 又=+-. 所以m2,故实数m的取值范围为.(7分) (2)由题意知,y=f(x1)(1x12)的值域为D1=0,3. 令g(x)=2f(x)-ax,即g(x)=2x2-ax-2, 原问题等价于g(x)=0在1,2上有解,且g(x)=3或-3在1,2上有解.(9分) 若g(x)=0在1,2上有解,即a=2在x1,2上有解,从而0a3; 若g(x)=3在1,2上有解,即a=2x-在x1,2上有解,从而-3a; 若g(x)=-3在1,2上有解,即a=在x1,2上有解,从而3a. 综上,所求a 的取值范围为0a或a=3.(15分),1.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),17)已知函数f(x)=2ax2+bx+1-a.若对任意实数x-1,1,均有f(x)0,则a-b的最大值为() A.-1B.0C.1D.2,一、选择题,C组 20152017年高考模拟创新题组,答案Df(x)=a(2x2-1)+bx+1